Диссертация (786295), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда:dW G dW d 3 W 1 2 dWvГ 3  k0d 3 dd2d3(3.15)dW U / перепишем (3.15) в виде уравненияdангармонического осциллятора с кубической нелинейностью (уравнениеДуффинга):И с помощью заменыd2U/ aU /  bU / 3  02d1где a   k 2  v  Г ; b  G 3Г .2(3.16)Уравнение (3.16) имеет первый интеграл21  dU /   E  f ( U / ) , который можно интерпретировать как закон сохранения2  d энергиидляангармоническогоосциллятора.ЗдесьЕ–константаинтегрирования, имеющая смысл начальной энергии системы, а функцияf U /   (a / 2)U / 2  (b / 4)U / 4 имеет смысл потенциальной энергии.Вид решения уравнения (3.16) зависит от коэффициентов a и b, и начальнойэнергии E.

Знак коэффициентов a и b зависит от параметров k,v. Рассмотримслучаи изменения коэффициентов.1.Еслиk 2  2v ,v  0,тогдаa  0, b  0 .Вэтомслучаефункцияпотенциальной энергии f U /   (a / 2)U / 2  (b / 4)U / 4 имеет минимум f min  0 приU /  0 (рис.3.7 а). На фазовой плоскости ( U / , d U / / d ) точка с координатами(0,0) является устойчивым положением равновесия типа «центр» (рис.3.7 б).Ограниченные решения уравнения (3.16) существуют при 0  E   .

Полином61E  f ( U / ) в этом случает имеет два действительных корня U1/ , 2   и двамнимых корняU/3, 4 i , где a  a 2  4bE 2 a  a 2  4bE ; bb2ипринимает положительные значения при    U /   (рис.3.7 а)Рис.3.7 а – функция потенциальной энергии при различных значениях U / ;б – фазовые траектории.В соответствии с [13] решение, описывающее нелинейные периодическиеколебания представляется в виде:U / ()  A cn( , s)где62(3.17)   2aA   a  a 2  4bEs 2   a  a 2  4bE1/ 2 1/ 21/ 2; L  4K (s) b1 / 2 ;   a 2  4bE2 4bEА – амплитуда колебаний, –1/ 21/ 4;(3.18)пространственная частота (волновое число), s –модуль эллиптической функции, имеющий смысл коэффициента нелинейныхискажений формы колебания u () , L – длина волны, K(s) – полныйэллиптический интеграл первого рода.

Из соотношений (3.18) видно, что приизменении E от 0 до +  амплитуда и пространственная частота колебанийизменяются в пределах 0  A   , a     , а коэффициент нелинейныхискажений – в интервале: 0  s2  1/ 2 .Исключая из выражений (3.18) константу интегрирования Е, получаемзависимостьамплитудыипространственнойчастотыколебанийоткоэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга:A  2as 2 b1  2s 1/ 22 1/ 2;   a 1/ 2 1  s 20  s1/ 22 1 / 2.(3.19)Подставим в выражение (3.19) значения коэффициентов a и b : 1A  6s 2  k 2  v  21/ 21/ 2G1  2s 2 6 u 0  k 2  2v  s 21   k 2  v21/ 2 1  2s 1/ 22 1/ 2;(3.19 а)1/ 2Г1  s 2   2 N1  1 N 2  k 2  2v R 2 D 1  s 1/ 22 1/ 20  s2  1/ 2Качественный вид зависимости амплитуды и пространственной частоты волныот ее скорости представлен на рисунках 3.8(а,б), 3.9(а,б) соответственно.63абРис.3.8 – Зависимость амплитуды волны от ее скорости.

Графики построены1 1 1при следующих значениях: k  1;  1,5;  2;  1,7 ; s 2  ; ; ; 0 .5 4 364абРис.3.9 – Зависимость пространственной частоты волны от ее скорости.1 1Графики построены при следующих значениях: k  1; 1,5; 2 ; s 2  0; ; .5 4Зависимости амплитуды и пространственной частоты волны от параметра kпредставлены на рисунках 3.10 (а,б), 3.11 (а,б).65абРис. 3.10 – Зависимость амплитуды волны от параметра k. Графики построены11 1 2при следующих значениях: v  ; 1; 2 ; s 2  ; ;24 3 566.абРис.

3.11 – Зависимость пространственной частоты волны от параметра k.1 2Графики построены при следующих значениях: v  1; 1,5; 2 ; s 2  0 ; ; .5 567При E  0 (s2  0 и A  0) выражение (3.17) описывает квазигармоническиеколебания вблизи положения равновесия вида [13]:U /  A cos( )(3.20)При E  , s 2  1 / 2, и в этом случае (3.17) описывает существеннонелинейные колебания [13]:U /  A cn( , s)(3.21)которые имеют пилообразную форму (рис. 3.12 а,б)sаРис.3.12 а – нелинейные колебания (трехмерный вид).68бРис.3.12 б – нелинейные колебания (двумерный вид).2. Если k2=0, v>0, тогда a<0, b>0.

Коэффициенты уравнения (3.16)vGперепишутся в виде: a   ; b . В этом случае функция потенциальнойГ3Гэнергии f U /   (a / 2)U / 2  (b / 4)U / 4 имеет локальный максимум f max  0 приU/  0и локальные минимумыf min   a 2 4bв точкахU/    a / b(рис. 3.13 а). На фазовой плоскости ( U / , d U / / d ) точки   a / b ,0 являютсяустойчивыми положениями равновесия типа «центр», а точка (0,0) является«седлом» (рис.

3.13 б).69Рис. 3.13 а – функция потенциальной энергии при различных значениях U / ;б – фазовые траектории.Ограниченные решения уравнения (3.16) существуют, если константаинтегрирования изменяется в диапазоне f min  E   , причем различнымзначениям начальной энергии Е соответствуют качественно различные режимыдвижения.Пустьf min  E  0 . В этом случае полиномдействительных2 корняU1/ , 2   , a  a 2  4bE 2  a  a 2  4bE; bbиE  f (U / )имеет четыреU3/ , 4   ,принимаетгдеположительныезначения при   U /   (рис.3.13 а). На фазовой плоскости им соответствуютзамкнутые траектории, лежащие внутри сепаратрисы.70В соответствии с [13] решение, описывающее нелинейные периодическиеколебания имеет вид:U / ()  A dn( , s)(3.22)где A   a  a  4bE2s 2  2 a 2  4bE1/ 21/ 2 1/ 21/ 21/ 2 1b ;     a  a 2  4bE  ;2 a  a1/ 22 4bE1/ 2(3.23); L  4K(s) Из соотношений (3.23) видно, что при изменении Eот E min  a 2 / 4b до 0пространственная частота увеличивается от    a / 2 до    a , амплитудапериодических колебаний изменяется от значения A   a / b до значенияA   2a / b .Коэффициентнелинейныхискаженийформыколебанийизменяется в пределах 0  s 2  1.Исключая из выражений (3.23) константу интегрирования Е, получимзависимость между амплитудой и пространственной частотой колебаний откоэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга.b2  s    a  2  s A   2a 2 1/ 21/ 2,2 1/ 21/ 2(3.24)2( 0  s  1).Подставим в выражение (3.24) значения коэффициентов a и b :G2  s   6 u 2v 2  s  ,  v Г2  s     N   N 2vR D 2  s A  6v2 1/ 21/ 221/ 2021/ 22211220  s2  1711/ 2(3.24 а)Зависимости амплитуды и пространственной частоты волны от ее скоростипредставлены назначениях: s 2  0 ;рис.

3.14, 3.15. Графики построены при следующих1;12Рис.3.14 – Зависимость амплитуды волны от ее скорости.Рис.3.15 – Зависимость пространственной частоты волны от ее скорости.72Нелинейные периодические колебания по замкнутым фазовым траекториямвнутри сепаратрисы не имеют линейного вырождения, так как приE  Emin  a 2 / 4b s  0 и dn( ,0)  1.При E  0 s  1 из (3.22) получаем вырождение в сепаратрисное решение [13]:U / ()  A ch( / ) ,(3.25)где A   2a b ,    1 a1/ 21/ 2(3.26)Подставим в выражение (3.26) значения коэффициентов a и b :A  6v G1/ 2  Г v1/ 2 6 u 0 2v ,1/ 2  2 N1  1 N 2   2vR 2 D1 / 2(3.26 а)А – амплитуда колебания,  – его длительность.На рисунках 3.16, 3.17 приведены зависимости амплитуды и ширины солитонаот его скорости.Рис.3.16 – Зависимость амплитуды солитона от его скорости.73Рис.3.17 – Зависимость ширины солитона от его скорости.Качественный вид нелинейных периодических движений, описываемых дельтаамплитудой (3.22) приведен на рисунке 3.18 (а,б), а на рисунке 3.19 (а,б)показан вид сепаратрисного решения (3.25).74абРис.

3.18 Нелинейные периодические движения, описываемые дельтаамплитудой: а – трехмерный вид; б – двумерный вид.75абРис. 3.19 Сепаратрисное решение.76Пусть E=0. В этом случае полином E  f ( U / ) имеет два действительных корняU1/ , 2   , и два мнимых U3/ , 4  i , где  2  a  a 2  4bE 2 a  a 2  4bE; bbи принимает положительные значения при    U /   (рис. 3.13 а). на фазовойплоскости ограниченным решениям при таких значениях E соответствуютзамкнутые фазовые траектории, лежащие вне петли сепаратрисы (рис. 3.13 б).Решение, описывающее нелинейные периодические колебания представлено ввиде [13]:гдеA   a  a 2  4bE 1/ 2s 2   a  a 2  4bE 1/ 2U / ()  A сn( , s)(3.27);   a 2  4bE ;(3.28) b1/ 2 2a21/ 4 4bE  ; L  4K (s) 1/ 2Анализируя соотношения (3.28), получим, что при изменении Е от 0 до  пространственная частота колебаний возрастает от значения    a до   ,амплитуда колебаний также неограниченно возрастает от значения A   2a / b ,а коэффициент нелинейных искажений при этом уменьшается от 1 до 1/2.Исключая из (3.28) константу Е, получим зависимости:A   2as 2 b2s 2  1 ,1/ 2   a 2s 2  11/ 21  s2(3.29) 1 / 2.Подставим в выражение (3.29) значения коэффициентов a и b :A  6vs 2 G 2s 2  11/ 2  v Г2s 2  11/ 21  s2 6 u 0 2vs 2 2s 2  1 ,1/ 2   2 N1  1 N 2 2vR 2 D 2s 2  11/ 2 1 / 277(3.29 а)На рисунках 3.20, 3.21 приведены зависимости амплитуды и пространственнойчастоты волны от ее скорости.

Графики построены при следующих значениях:s 2  0,6 ; 0,75; 1Рис. 3.20 – Зависимость амплитуды волны от ее скорости.Рис. 3.21 – Зависимость пространственной частоты волны от ее скорости.78Решение (3.27) описывает нелинейные колебания, которые не имеют линейноговырождения.

Их форма при s 2 ,близких к единице,показана на рисунке 3.22(а,б).аРис. 3.22 а – нелинейные колебания (трехмерный вид).79бРис. 3.22 б – нелинейные колебания (двумерный вид).80ЗаключениеВ заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.1.Предложен подход к исследованию динамики составных элементовконструкций, основанный на применении уточненных моделей стержней ипластин, и сходстве дисперсионных зависимостей.Выявлено, что составной стержень, совершающий продольные колебания посвоим дисперсионным свойствам эквивалентен модели Миндлина-Германа.Составная струна, совершающая поперечные колебания, эквивалентна балкеТимошенко с натягом. Составная мембрана эквивалентна пластине Тимошенкос натягом.2.В рамках математической модели составного стержня с вязкоупругойсилой контактного взаимодействия проведен анализ дисперсионных идиссипативных свойств волн, показывающий, что в низкочастотном диапазонекоэффициент затухания зависит от частоты, в высокочастотном диапазонеусиливается влияние дисперсионных эффектов, а коэффициент затуханиястановится частотно-независимым.3.В результате проведения аналитических исследований показано, что внелинейно-упругом составном стержне могут существовать нелинейныеуединенные стационарные волны (солитоны).

Исследование зависимостимежду основными параметрами (амплитудой, скоростью, шириной) солитонапоказывает, что поведение нелинейных уединенных волн может быть какклассическим, когда с ростом скорости уединенной стационарной волны ееамплитуда возрастает, а ширина уменьшается, так и неклассическим, когда сростом скорости волны ее амплитуда убывает, а ширина возрастает.4.Показано, что поперечные колебания составной мембраны с учетомгеометрической нелинейности можно описать модифицированным уравнениемКадомцева-Петвиашвили, решения которого получены в виде одномерных идвумерных солитонов. Проведен расчёт параметров волн (амплитуды,81пространственной частоты) и представлены различные формы нелинейныхпериодических волн.82Список литературы1.Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории стержней, пластини оболочек.

Характеристики

Список файлов диссертации