Диссертация (786295), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Селезова [95] представлены этапы развитияобобщенных динамических теорий изгибных колебаний стержней, пластин иоболочек основанных на сдвиговой модели С.П. Тимошенко.24ГЛАВА 2. ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СОСТАВНОМ СТЕРЖНЕВ главе описано распространение продольных периодических волн всоставных элементах конструкций с линейно-упругими и вязкоупругимисилами контактного взаимодействия с помощью уточненных стержневыхмоделей.

Определено, что энергия волн в составных элементах конструкций,как и в диспергирующих системах, переносится с групповой скоростью.Показано, что уточненная стержневая модель Миндлина-Германа может бытьприменена для описания динамических процессов в составных элементахконструкций. Так же изучается существование нелинейных уединенныхстационарных волн (солитонов) в составном нелинейно-упругом стержне,поведение которых может быть как классическим, так и неклассическим.Глава написана на основании публикаций [106-120].252.1. Линейно-упругий закон контактного взаимодействияРассмотримраспространениеодномерныхпродольныхволнпобесконечному составному стержню.

Составной стержень представляет собойсовокупность двух стержней, находящихся в контакте друг с другом (рис.2.1).Сила контактного взаимодействия предполагается линейно-упругой.Движение стержней описывается системой уравнений [102]: 2 u1 2 u1E1S1 x 2  1S1 t 2  R u1  u 2 ,(2.1)22E S  u 2   S  u 2  R u  u ,2 221 2 2 x 2t 2где ui – продольные перемещения стержней, Ei, Si, i - их параметры (модулиЮнга, площади поперечных сечений и плотности) (i=1,2), R-сила упругоговзаимодействия стержней.Рис. 2.1 – Составной стержень.Система (2.1) может быть сведена к одному уравнению относительноперемещения u1 . Для этого достаточно выразить u 2 из первого уравнения иподставить во второе уравнение системы.

В результате получим:262 1S1   2 u  21S1   4 u 4u2 1S1   u221  2   C 2  C1 2  4  (C 2  C1 ) 2 2 StSxRt x t2 2 2 2 42 2 u C 2 C1 4   0x Здесьu  u1 ( x, t ), C1 E1E2, C2 12(2.2)– скорости продольных волн встержнях.Заметим, что аналогичное уравнение может быть получено в моделиМиндлина-Германа, описывающей продольные колебания стержня [2,13,33]:2 2u2  u2 2 w t 2  Сl x 2  k 2 H x  0, 22  w  k 2C 2  w  k 2 8    w  k 2 4 u  0.1 22 t 2x 2H 2H x(2.3)Здесь u(x,t), w(x,t) – продольные и поперечные перемещения частиц стержня, H– толщина стержня,  - плотность материала, Сl , C - скоростипродольных и сдвиговых волн, ,  - константы Ламэ, k1 , k 2 - корректирующиекоэффициенты, позволяющие увеличить частотный диапазон применимостимодели.

Система (2.3) сводится к одному уравнению относительно продольногосмещения:2 2    k 22    2 u H 2   4 u 4u u22 244СCkC 2l1 22 l  x 2 2k 2   t 4tx   t2  4u  Cl2 k12 C 2 4   0x (2.4)Таким образом, продольные колебания составного стержня можноописать уравнением Миндлина-Германа продольных колебаний некоторого27гипотетического стержня, параметры которого выражаются через параметрыисходных стержней следующим образом:1S1 41,  2S 2  2    k 22  S  C 22  C12 1 1 ,4 С l  2S 2  H 2  S1 1, 2 2kR2 H 2 2S 2 C l  k12 C 2   1 1 C 22  C12 ,R 2k 2  H 2S 2 k12 C 2 C l2  C12 C 22 1 1 . 2k 2 R(2.5)Сведение к модели Миндлина-Германа возможно, если параметрысоставного стержня удовлетворяют условию 1S1  32S2 , или (что тоже самое)h1 3 1 , где h1, 2 -толщины стержней.

Для совместности системы (2.5)h22необходимо также предположить равенство скоростей Cl  C1 , k1C  C2 (илинаоборот). В этом случае толщина эквивалентного стержня выражаетсясоотношением H C C 22 R, которая будет увеличиваться с ростом силы21S121упругого взаимодействия стержней по законуR и уменьшаться как1с1S1ростом погонной плотности первого стержня. Корректирующие коэффициентыв модели Миндлина-Германа связаны с параметрами исходных стержнейзависимостямиk12  2C 22 1S1  2S2 2 C12  C 22 1S1  2S2, k2 , что позволяет8C12C12 1S1  32S2 2S 2получить выражение для скорости волн сдвига в виде: C   C1 2281S1  32S2.1S1  2S2В частном случае, если считать плотность одного из стержней малой(пусть 2  0 ), система уравнений (2.1) сводится к уравнению продольныхколебаний стержня модели Бишопа: 2u 2u 4u 4u22ρS 2  ES 2  ρν I 0 2 2  μν I 0 4  0txt xx(2.6)Здесь  - коэффициент Пуассона, I 0 - полярный момент инерции, а параметрыэквивалентногостержняспараметрамиисходныхстержнейсвязанысоотношениями:S  1S1ES  E S  E S1 12 2 2SE S I 0  1 1 2 2R 2E1S1E 2S2 I 0 R(2.7)В этом случае параметры составного стержня должны удовлетворять условиюE 2 S1 , а полярный радиус инерции и коэффициент Пуассона эквивалентногоE1 S 2стержняопределяютсясоотношениямиrp 2E1S1E 2S2  E1S1E 2S2,RE 2S2  E1S1.

Скорости продольной и сдвиговой волн в стержне модели2E1S1Бишопа выражаются через скорость продольной волны в исходном стержнеC0  C12 E 2S 2, C   C1 .1S1Известно (см., например, [103]), что энергия волн в диспергирующихсистемах переносится с групповой скоростью. Исследуем, сохраняется ли этазакономерность для составных элементов конструкций.29Система (2.1) может быть получена из вариационного принципа Гамильтона –Остроградского с помощью уравнений: t tL LL 0, u1  x  u1  u1 t  x LLL 0. u 2  x  u 2  u 2 t  x (2.8)Здесь лагранжиан L задается в виде: S  u  E S  u   S  u  E S  u  RL  1 1  1   1 1  1   2 2  2   2 2  2   ( u1  u 2 ) 22  t 2  x 2  t 2  x 22222(2.9)Уравнение переноса энергии (уравнение Умова-Пойнтинга), соответствующее(2.8), запишется в виде:W S0t x(2.10)Здесь [13]L  u1 L  u 2 W  L  u1   t   u 2   t  t   t – плотность энергии;(2.11)LuLuS 1 2   u1   t   u 2   t    x  x  (2.12)– плотность потока энергии.Для лагранжиана (2.9) явный вид выражений (2.11), (2.12) следующий:ρ S  u  E S  u  ρ S  u  E S  u  RW  1 1  1   1 1  1   2 2  2   2 2  2   (u1  u 2) 22  t 2  x 2  t 2  x 2222302(2.13) u  u  u  u S  E1S1  1  1   E 2S2  2  2  x  t  x  t (2.14)Скорость переноса энергии волн введем как отношение:v эн S,W(2.15)где в числителе стоит среднее значение плотности потока энергии, а взнаменателе – среднее значение плотности энергии.Перемещения u1 (x, t ), u 2 (x, t ) считаем изменяющимися по закону бегущейгармонической волны:u1 (x, t )  Ae i  A*e i , u 2 (x, t )  Вe i  В*eiгде A, B – комплексные(2.16)амплитуды, A*, B*– их комплексно-сопряженныезначения,   t  kx – фаза волны,  – круговая частота, k – волновое число.Усреднение в (2.15) проведено по периоду изменения фазы гармонической1 21 2волны (  S  (S)d ,  W  2  (W)d ).2 00Скорость переноса энергии, вычисленная по формуле (2.15), описываетсявыражениемv эн  [2E1S1kR 2  2E 2S2k (1S12  E1S1k 2  R ) 2 ] /[R 2 (1S12  3E1S1k 2  R )  (2S22  E 2S2 k 2  R )(1S12  E1S1k 2  R ) 2 ],(2.17)в котором учтена связь между комплексными амплитудами A и B:(1S12  E1S1k 2  R )АBR(2.18)Частота и волновое число связаны законом дисперсии:312 1S1   4 12S21 2 1S1 2  2 1S1 222 2C1  C2   1    k 2 C1  C2   1   k2 RR 2S2   2S2   S S 2k 2 1 1 C12  C 22 1  1 1 R 2S2 1/ 21/ 2 R  (2.19)1S1 1/ 2Это соотношение получается из (2.1) подстановкой решения в виде (2.16).Групповую скорость v гр определим, продифференцировав (2.19) по волновомучислу.

Она равна:v гр  3 12S12 22  1S1 222 2kCC2kCC1212 24  RR  S   2k1S1 C12  C 22 1  1 1   R   2S2     S S 2k 1 1 C12  C 22 1  1 1 R  2S 2  1/ 222 4  2S21 2 1S1 2 21C1  C2   1   k2R  2S 2 R  2 1S1 2C1  C22   kR (2.20)2 1S1   4 12S21 2 1S1 2 2  kC1  C2   1    1 2SR  2S 2 2 2 1/ 2  S   S 2k 2 1 1 C12  C 22 1  1 1   R R  2S2   1/ 21S1 1/ 21S1 Если частоту, входящую в (2.17), заменить волновым числом по формуле (2.19),то убедимся, что v эн  v гр .Таким образом, показано, что энергия упругих волн и по составнымэлементам конструкций переносится с групповой скоростью.322.2. Линейный вязкоупругий закон контактного взаимодействияЕслив контакте действует как упругая сила, пропорциональнаяотносительномуперемещению,такисилатрения,пропорциональнаяотносительной скорости перемещения частиц срединных линий стержней, тодвижение стержней, согласно [104], описывается системой уравнений: 2 u1 2 u1 u1 u 2 ESSRuuR,1111121x 2t 2t  t22E S  u 2   S  u 2  R u  u   R  u 2  u1 ,2 2211 2 2 x 2t 2t  t(2.21)где u i – продольные перемещения частиц срединных линий стержней, E i , Si , ρii  1,2– их параметры(модули Юнга, площади поперечных сечений иплотности), R , R1 – коэффициенты упругого и вязкого взаимодействиястержней.Система (2.21) может быть сведена к одному уравнению относительноперемещения одного из стержней, например u 1 .

Складывая оба уравнениясистемы(2.21),получаем 2 u1 2 u1 2u 2 2u 21S1 2  E1S1 2  E 2S2 2S2 2 .txx 2tсвязьввиде:Выразим такжеиз первогоu 2 2 u1 2 u1uуравнения Ru 2  R1 ρ1S1 2  E1S1 2  Ru 1  R1 1ttxtиполученныесоотношения подставим во второе уравнение системы. В результате получаетсяуравнение относительно u  u1 x, t  :2 ρ1S1   2 u  2ρ1S1   4 u 4u2 ρ1S1   u221  2   C 2  C1 2  4  (C 2  C1 ) 2 2 ρStρSxRt x t2 2 2 2 43R 1   ρ1S1   3 u  22 2 u2 ρ1S1   u  0. C 2 C1 4  1CC21x  R   ρ 2S2  t 3 ρ 2S2  tx 2 33(2.22)ЗдесьR1R– коэффициент диссипации,u  u1 ( x, t ), C1 E1E2, C2 ρ1ρ2–скорости продольных волн в стержнях.Заметим, что продольные колебания составного стержня можно описатьуравнениемМиндлина-Германапродольныхколебанийнекоторогогипотетического стержня:22224 4u λ  μ   u  2 λ  μ k 2λ   u H ρ   u22 24 Cl  k1 C   2 2  2  4 Сlλρ  x 2 2k 22 λ  t 4t x λ  t Cl2 k12C 2(2.23) u  λμ u  2 λμ k λ  u   0.   4 4 Сlx 4    λ  t 3λρ  tx 2 43223Здесь u ( x, t ) – продольные перемещения частиц стержня, H – толщина стержня,ρ – плотность материала, Сl сдвиговыхволн,, –λμμ, Cτ – скорости продольных иρρконстантыЛамэ,k1 , k 2 –корректирующиекоэффициенты, позволяющие увеличить частотный диапазон применимостимодели.Параметры гипотетического стержня выражаются через параметрыисходных стержней следующим образом: λμ 2 λ  μ k 22 λ ρ1S1ρS  C 22  C12 1 1 ; 1; 4 С l4ρ 2S 2λρ ρ 2S 2 λ 22 H ρ  ρ1S1 ; H ρ C l2  k 12 C 2τ   ρ1S1 (C 22  C12 ); 2k 22 λRR2k 22 λ 2R H ρ 2 2 2 ρ1S1 2 2C 2 C1 ; χ  1 ; 2 Cl k1 C τ RR 2k 2 λ λμ R ρS 4χ   1 1  1 1 ;  λ  R  ρ 2S2 2 4χ  С 2 λ  μ  k 2 λ   R 1  C 2  C 2 ρ1S1 .21 l λρ  R ρ 2 S 2 34(2.24)Для анализа дисперсионных и диссипативных свойств волн перейдем вуравненииt (2.22)кбезразмернымпеременнымC 22ρ 2S2  C12ρ1S1 txu, x  , u  , где u 0 – характерная амплитуда волны,ρ 2S2  ρ1S1 rru0C12  C22 ρ1S1ρ 2S2r(ρ 2S2  ρ1S1 )R–C12  C22 ρ1S1 .(ρ 2S2  ρ1S1 )C12  C22 В результате уравнение (2.22) принимает виднекоторыйпространственныймасштаб,2(штрихи над безразмерными переменными опущены): 2u  2u 4u 4u 4 u   3u  3u   0. d 4   4  δ 3 t 2 x 2 t 2x 2xttx 2  tВd(2.25)входятдвабезразмерных(ρ 2S2  ρ1S1 )C12 C 22C ρ S22 2 2 C12ρ1S1  C 22  C12 2(2.25)параметра,определяетодинизнихдисперсию,аC 22ρ 2S2  C12ρ1S1δC22  C12 ρ2S2ρ1S1R R1 – диссипацию.

Характеристики

Список файлов диссертации