Диссертация (786295), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для дисперсионного параметра легкополучить оценку, если воспользоваться неравенством Коши между среднимарифметическим и средним геометрическимОчевидно, что параметр дисперсии d a  b  2ab , a, b  0, a  b .1, а наличие диссипации приводит к2тому, частота и волновое число линейной волны связаны комплекснымдисперсионным соотношением:ω2  k 2  ω2 k 2  dk 4  ω4  iδω3  iδωk 2  0 .(2.26)Уравнение (2.26) является биквадратным относительно волнового числа k ,разрешая которое, получим зависимость в виде:35k1, 21  2 ω  1  iδω 2d 1ω  1  iδω  4dω  4id δω  4dω  2 .2243(2.27)2Из (2.27) видно, что волновое число является комплексным k  k  ik ,где k  Re( k) , k  Im(k) .

Это означает, что волна имеет постояннуюраспространенияkизатухаетпоэкспоненциальномузаконускоэффициентом затухания k .На дисперсионной плоскостиω, k ,где k  – действительная частькомплексного волнового числа k , существуют две дисперсионные ветви,выходящие из начала координат. При этом одна ветвь в низкочастотномдиапазоне приближается к прямой ω  k , а в высокочастотном – выходит наасимптоту ω kk  1 k2 1  4d   4 . Вторая ветвь выходит из началакоординат по прямой ω 22 dk , угол наклона которой уменьшается сδростом коэффициента диссипации δ. В высокочастотном диапазоне эта ветвьприближается к асимптоте ω kk  1 k2 1  4d   4 ,2не зависящейот δ.Качественный вид дисперсионных зависимостей ωk приведен нарис.2.2а при d  0,25 ; δ  0,1;   0,5 .36аРис. 2.2.

Дисперсионные характеристики вязкоупругой среды:а – зависимость частоты от действительной части волнового числа.На рис. 2.2б приведены зависимости мнимых частей k волнового числа k отчастоты  . На плоскости k, ω также имеются две ветви, одна из которыхвыходит из начала координат и с увеличением частоты приближается кгоризонтальнойp2kk  1 ω  0, k k асимптотеk 1  4d   4.Втораяветвьδ1  p 2 ,2p2dp 2  1kвыходитгдеизточки21и убывает с ростом частоты, приближаясь к горизонтальнойδ37δ1  p12 асимптоте k , где p1 2p1 2dp12  1kk  1 2k 1  4d   4.

Таким2образом, в низкочастотном диапазоне коэффициент затухания k зависит отчастоты волны, а в высокочастотном диапазоне затухание становится частотнонезависимым, так как в этом случае усиливается влияние дисперсионныхэффектов.бРис. 2.2. Дисперсионные характеристики вязкоупругой среды:б – частотная зависимость мнимой части волнового числа.38На рис.2.2в приведены частотные зависимости отношения Rek  / Imk  .НеравенствуRe k 1Imk соответствуютобластичастот,гдепроцессраспространения волны преобладает над процессом ее затухания.вРис.

2.2. Дисперсионные характеристики вязкоупругой среды:в – частотная зависимость отношения действительной части волнового числа кмнимой.В частном случае, при δ  0 из (2.27) получаем решение дисперсионногоуравнения :k1, 21  2 ω 1 2d 1ω  1  4dω  4dω  2 .224239(2.28), k В этом случае на дисперсионной плоскостисуществуют дведисперсионные ветви, одна из которых выходит из начала координат и имеетасимптоту   k в низкочастотном диапазоне, а при больших частотах выходитk k  1  k 2 1  4d   4на асимптоту ω (рис.2.3).2Рис.

2.3. Дисперсионные характеристики упругой среды.Втораядисперсионнаяветвьпоявляетсяпричастотахсоответствует в размерных переменных значению ω  2диапазоне асимптотическое решение имеет вид: ω ω 2,чтоα. В высокочастотномIk k  1  k 2 1  4d   4.2Сравнение дисперсионных зависимостей в обоих случаях показывает, чтодиссипация оказывает влияние на дисперсионные свойства волн только в40низкочастотном диапазоне. В высокочастотном диапазоне диссипация непроявляется, так как дисперсионные ветви при   0 и при   0 выходят наодинаковые асимптоты.Такимобразом,продольныенаколебания,примересоставногопоказано,чтостержня,уточненнаясовершающегостержневаямодельМиндлина-Германа может быть применена для описания динамическихпроцессов в составных вязкоупругих элементах конструкций.2.3.

Составной нелинейно-упругий стерженьЕсли в каждом из стержней учесть геометрическую и физическуюнелинейности, то динамика системы будет описываться уравнениями:u1   2 u1 2 u1E1S1 1  1 x  x 2  1S1 t 2  R u1  u 2 22E S 1   u 2   u 2   S  u 2  R u  u 22 221 2 2 x  x 2t 2(2.29)где ui – продольные перемещения стержней, E i , Si , i – их параметры (модулиЮнга, площади поперечных сечений и плотности) (i=1,2), R – коэффициент,характеризующийкоэффициенты,силуупругогохарактеризующиеихвзаимодействиягеометрическиестержней, 1, 2 –ифизическиенелинейности.Система (2.29) может быть сведена к одному уравнению.

Действительно,введём безразмерные переменныеU  u u0 ; y  x X ;   t T ;   11S1,2S2обозначенияD  C22  C121S1; X  ; T 2  2  D ,2S241где u 0 –перемещение,  – длина волны, удовлетворяющие соотношениюu 0 /  = 10-4 , Т – период волныи пренебрегая величинами, в которых степень отношения u 0 /  выше 3,получим: 2 U  2 U 1S1D  4 U 1S1 C 22  C12   4 U1S1C 22 C12  4 U2 y 2 R 2 2 4R2y 22R2 D y 4 2S  C 2  2  C121 1 1 2S2  u 0 U  2 U0D y y 2Здесь: C1 (2.30)E1E2, C2 – скорости продольных волн в стержнях.12Решение уравнения (2.30) будем искать в классе стационарных волн, тоесть в виде функции U=U(y–v  ), зависящей от y–v  =  , где v=const – скоростьстационарной волны.Введен пересчет производных:  d  d ; vy  y d   dТогда уравнение (2.30) будет иметь вид:22441S1C 22 C12 d 4 Ud2U d2U4 1S1 D d U2 1S1 C 2  C1  d Uvvvd 2 d 2R 2 2 d 4R2d 4R2 D d 42 2S  C 2  2  C12 1 1 1 2 2S2  u 0 1 d  dU  0D 2 d  d Проинтегрируем уравнение (2.30а) по d и введем замену:(2.30а)dU w.dТогда уравнение в частных производных (2.30) сведется в этом случае куравнениюдеформацииангармоническогоосциллятораdU w:d42относительнопродольнойd2w aw  bw 2  0 ,2d(2.31)гдеa  v2  1 B; 21S1 2CCBD ;1 1 2 2 2S2 1S1D 4 1S1 C 22  C12  2 1S1C 22 C12B 2 2 v v .R R2RD2bu02Заметим, что корни уравнения B=0 имеют вид:C 22  2 C12 v ; v2 .DD21Они,вчастности,могутудовлетворятьусловиюC22 C12  54(для определенности считаем, что С1>C2).

В этом случаеDD0C22 C2  1; 1  1  5 / 4 , тогда 0  v12  1; 1  v 22  5 / 4 .DDТакже определим знаки корней: между корней(-):C 22 C12 2v ; внеDDC12  2 C 22 ,v корней(+): v .DD2Анализ (2.31) показывает, что частными решениями уравнения (2.30)являются нелинейные уединенные стационарные волны (солитоны).В первом случае а<0, b>0 солитон имеет положительную полярность.

Вэтом случае сепаратрисное решение имеет вид [13]:w()  Ac ch2 ( / )Амплитуда солитона A c и его ширина  описываются выражениями:S u A c  3( v 2  1)D  C 22  2  C12 1 1 1  0  ;2S2     2 v 2  1 / B1/ 243На рис.2.4 приведены зависимости амплитуды и ширины солитона от егоскорости.Рис. 2.4. Зависимость амплитуды (кривая 1) и ширины (кривая 2) солитонаположительной полярности от его скорости.В данном случае с ростом скорости уединенной стационарной волны ееамплитуда возрастает, а ширина уменьшается.

Такое поведение характерно дляклассического солитона [13,105].Во втором случае а<0, b<0 солитон имеет отрицательную полярность.Сепаратрисное решение записывается в виде [13]:w()   Ac ch2 ( / )Его амплитуда и ширина описываются выражениями:44S  u A c  3(1  v 2 )D  C22 2  C121 1 1  0  ;2S2     2 1  v 2 / B1/ 2Зависимости амплитуды и ширины солитона от его скорости приведены нарис.2.5.S  u A*с  3D  C 22  2  C12 1 1 1  0  ;2S2   *  2 RD2 1S1C22C121/ 2Рис. 2.5 Зависимость амплитуды (кривая 1) и ширины (кривая 2) солитонаотрицательной полярности от его скорости.45В этом случае с ростом скорости уединенной стационарной волныодновременно увеличивается и ее амплитуда, и ширина. Такое поведение нехарактерно для классического солитона и является аномальным.Таким образом, показано, что в составном нелинейно-упругом стержнемогут существовать локализованные волны (солитоны) деформации, имеющиекак отрицательную, так и положительную полярность.46ГЛАВА 3.

ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В СОСТАВНОЙ СТРУНЕ ИСОСТАВНОЙ МЕМБРАНЕВ главе исследована задача о поперечных колебаниях составной струны,которая сводится к задаче об изгибных колебаниях эквивалентного стержнямодели Тимошенко с натяжением. Также рассматривается совокупность двухнелинейно-упругих струн, находящихся в контакте друг с другом. Показано,что составная мембрана эквивалентна пластине Тимошенко с натягом.Исследована задача о поперечных колебаниях составной мембраны с учетомгеометрической нелинейности,получены и исследованы одномерные идвумерные солитоны, а также представлены различные формы нелинейныхпериодических колебаний.Глава написана на основании публикаций [121-128].473.1.

Поперечные волны в составной струне при линейно-упругомзаконе контактного взаимодействияРассмотрим задачу о поперечных колебаниях составной струны (рис. 3.1).Поперечныеколебаниясоставнойструныописываютсясистемойуравнений:  2 u1 2 u11 t 2  R (u1  u 2 )  N1 x 222  u 2  R (u  u )  N  u 2212 2 t 2x 2(3.1)где u1,2 – поперечные отклонения струн, 1, 2 – погонные плотности, N1,2 –натяжения струн, R – сила их упругого взаимодействия.Рис.

3.1 – Составная струнаСистема (3.1) может быть сведена к одному уравнению относительнопоперечного смещения u 1 . Для этого достаточно выразить u 2 из первогоуравнения и подставить во второе уравнение системы. В результате получимуравнение в виде: 2u 2 u N1 N 2  4 u N12  N 21  4 u(1  2 ) 2  ( N1  N 2 ) 2 txR x 4Rt 2x 212  4 u0R t 4где u  u1 (x, t ) .48(3.1а)Изгибные колебания балки Тимошенко с натяжением описываются системойуравнений:  2u 2uF(NkGF)kGF0 t 2x 2x22I    EI    kGF   u   0 t 2x 2x (3.2)Здесь u - поперечные отклонения срединной линии стержня,  - угол поворотапоперечного сечения балки,  - объемная плотность, E,G - модули сжатия исдвига, N – натяжение, F – площадь поперечного сечения, I – момент инерции,k – поправочный коэффициент Тимошенко.

Характеристики

Список файлов диссертации