Диссертация (786295), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Бернулли и Л. Эйлера, принятую при описанииизгибных колебаний стержня, обобщают модели Релея (учет кинетическойэнергии инерции вращения элемента стержня при изгибе) и Тимошенко (учетеще и потенциальной энергии сдвиговых деформаций при изгибе).Для изгибных колебаний техническую теорию Кирхгофа уточняет теорияТимошенко.Уточненныемоделиприменяют,какправило.Приописаниивысокочастотных волновых процессов, когда длина волны становитсясравнимой с диаметром поперечного сечения стержня и инженерные моделипринципиально неприменимы.

Однако в упомянутом частотном диапазонеследует учитывать многомодовость волнового процесса и предпочтение, чащевсего, отдается не уточненным стержневым моделям, а моделям твердотельных9многомодовых волноводов – упругий слой (зада Лэмба) и толстостенныйцилиндр (задача Похгаммера-Кри).В этой главе остановимся на основных положениях трех уточненныхтеориях, которыми будем пользоваться в последующих главах: теорииМиндлина-Германа для стержня, совершающего продольные колебания; теорииТимошенко для стержня и пластины, совершающих изгибные колебания.Математическая модель стержня, соответствующая теории МиндлинаГермана, в механике часто называется «стержнем Миндлина-Германа», моделистержня и пластины, соответствующие теории Тимошенко, часто называются«балкой Тимошенко» и «пластиной Тимошенко».

В нашей работе также будетиспользоваться эта терминология.1.1. Стержень Миндлина-ГерманаУточненнаятеория,наиболееточноописывающаядисперсиюпродольных волн, была построена Миндлиным и Германом [17]. Как отметил всвоей книге Э.И. Григолюк: «Двумодовая аппроксимация модели МиндлинаГермана существенно лучше описывает динамику стержня, чем одномодовыеаппроксимации. Модель Миндлина-Германа является гиперболической».При выводе уравнений Миндлина-Германа следует отказаться от гипотезы ободноосности деформированного состояния стержня.

Для описания движениячастиц стержня в поперечном направлении необходимо ввести еще однуфункцию w(x, t), а так же принять систему перемещений:u1 ( x, y, z, t ) = u( x, t ),u2 ( x, y, z, t ) = y w( x, t),u3 ( x, y, z, t ) = zздесь  – радиус стержня.10w( x, t),(1.1)Тогда кинетическая и потенциальная энергии, согласно [13], равны:F l  u  1  w Wk      2 0  t  2  t 22dx,2222 222  u  u  1   w  222Wп  F      w  dx,  2    w 2x4xx 0(1.2)l(1.3)здесь 1, 2 – корректирующий коэффициент.Уравнения Миндлина-Германа, описывающие продольные колебания, согласно[13], имеют вид:2 2u2 w2  u cl 22 0,22 xtx4  u w w 8     12 c 2w 0.222 xtx222222(1.4)Представим продольное и поперечное перемещения в комплексной формегармонических волн для исследования дисперсионных свойств системы.u  u 0 ei ( t kx ) , w  w 0 ei ( t kx )(1.5)Подставляя соотношение (1.5) в уравнение (1.4), получим системуалгебраических уравнений: 2 c l2 k 2 u 0  222ikw 0  0; 2822    422 2 2 2w0 iku 0  0.   1 c  k  2  (1.6)Откуда частота и волновое число связаны дисперсионным уравнением: 2822     8242 22 2 2   c k    1 c  k  2   2 2 k  0.    22l211(1.7)Уравнение (1.7) является биквадратным относительно и частоты и волновогочисла.

Это означает, что имеются две дисперсионные ветви, одна из которыхвыходит из начала координат, а вторая из точки  222   , k  0.Дисперсионные зависимости представлены на рис.1.1а, закон измененияфазовой скорости в зависимости от частоты приведен на рис.1.1б.аРис. 1.1 а – зависимость частоты от волнового числа.12бРис. 1.1 б – зависимость фазовой скорости от частоты.При учёте геометрической и физической нелинейности, приходим кнелинейной обобщенной уточненной математической модели.Нелинейное обобщение модели Миндлина-Германа было рассмотрено вработах В.И.

Ерофеева, Н.В. Клюевой и Н.П. Семериковой [21,22,23].В указанных работах так же изучаются особенности распространениянелинейных стационарных волн деформации: периодических волн и солитонов[13].Согласно определению в [24]: «Солитоны – структурно устойчиваяуединенная волна в нелинейной диспергирующей среде. Солитоны ведут себяподобно частицам: при взаимодействии между собой и некоторыми другимивозмущениями солитоны не разрушаются, а расходятся вновь, сохраняя своюструктуру неизменной».13Солитонам посвящена обширная литература [25-28]. Физика солитоновизложена в [29].1.2.

Балка ТимошенкоОбобщением классической теории изгибных колебаний стержня являетсяуточненнаятеория,разработаннаяС.П.Тимошенко,основаннаянапредположениях [55-59]:1. Поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярнымидеформированной оси стержня;2. Нормальныенапряжениянаплощадках,параллельныхоси,пренебрежимо малы;3.Учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотомсечений.Обратимвниманиенапервоепредположение,изкоторогоследуетнеобходимость учёта сдвиговых деформаций.Угол поворота сечения (рис.

1.2) при малых поперечных перемещениях w 1 будет равен: xw ,xгде  – угол сдвига.14(1.8)Рис. 1.2 Изгиб балки с учетом сдвиговых деформаций.Плотность кинетической энергии, при переходе к обобщенным координатам ввиде поперечных перемещений срединной линии стержня w(x, t) иуглаповорота сечения  (x, t), согласно [13], определяется по формуле:1   w   Wk  F  J y  2   t  t 22dx,(1.9)а плотность потенциальной энергии, согласно [13]:1   wW п  EJ y    F 2  x  x22 dx.Выражение (1.10) состоит из двух частей:1  wF   – потенциальная энергия сдвига;1.2  x215(1.10)21 EJ y1  2. EJ y   dx – потенциальная энергия изгиба, где2 R / 2 2 x 1   wR     - новый радиус кривизны. x  x/Корректирующий коэффициент , учитывающий отклонение от теорииплоских сечений, зависит от способа определения среднего значения для угласдвига и характера распределения сдвигов по сечению.По формуле Журавского определяются касательные напряжения, возникающиепри изгибе:QS,(1.11)J ybгде Q - поперечная сила ; S - статический момент части сечения, отсеченного13 плоскостью z = const ; b - ширина поперечного сечения при z = const, а под понимается среднеквадратичное значение:2 1213 2 dF.FFТогда  определяется по формуле:1 F JyS 2 dF b 2 .FДля стержней прямоугольного сечения полагают Динамическое поведение стержня по теории Тимошенко, согласно [13],представлено в виде системы уравнений:2w2wF 2  F 2  F 0,xtx 2 2w J y 2  EJ y 2  F    0.x tx16(1.12)Для перехода к уравнению Тимошенко (односкалярное описание изгибныхколебаний), необходимо из первого уравнения выразитьчерез производныеxw, подставить во второе уравнение, предварительно продифференцировав егопо x.Тогда:2 J y  4 w2w4wE  4wF 2  EJ y J y 1  0. 2 2  t 4tx 4   x t(1.13)Следует обратить внимание, что в случае уравнение (1.13) будет носитьназвание уравнение Бресса.Решение уравнения (1.13), которое как и в предыдущих моделях находится ввиде бегущей гармонической волны, приведет к дисперсионному уравнениючетвертого порядка по k и четвертого порядка по  2c 2 2  k  c 0  c   2 2  c 02 c 2 k 4  0.ry k 422Дисперсионное соотношение запишется в виде:2c c r k  2 c 02  2c 2 ry   2 c 04 ry2  22 c 02c 2 ry2   22 c 4 ry2  4c 02 c 41/ 2 1/ 21/ 22 20  yНа рис.1.3 изображены дисперсионные зависимости.17(1.14)Рис.

1.3 Дисперсионные характеристики.Надисперсионнойплоскостиизначалакоординатвыходитперваядисперсионная ветвь, описывающая преимущественно изгибные волны, втораяветвь, описывающая преимущественно сдвиговые волны, исходит из точкис, k  0.ryДля каждого фиксированного значения ω или k будет существовать двазначения фазовой скорости:12v ф(1, 2)vф(1, 2)1222 2 c  1  2c 1  2222 2  c 0  c   2 2   c 0  c   2 2  c 0 c    .ry k   4 ry k  2  1/ 2 c 0 c  2ry  c 02  c 2 ry  2 c04 ry2  22 c 02c 2 ry2  22 c 4 ry2  4c 02 c 41/ 2 1/ 218(1.15)Аналогично два значения групповой скорости для каждого фиксированногозначения ω:v (гр1, 2 )  {2c0c  (2ry )1 2 [2c02  2c 2 ry  (2c04 ry2  22c02c 2 ry2  22c 4 ry2 4c02c 4 )1 2 ]1 2 } /{2c02  c 2 ry  [(2c04 ry2  4c02c 2 ry2)  (2c04 ry2  22c02c 2 ry2  22c 4 ry2  4c02c 4 )1/ 2 ] /[2(2c04 ry2  22c02c 2 ry2  22c 4 ry2  4c02c 4 )1/ 2 ]}На рис.

1.4 (а,б) изображены зависимости фазовых и групповых скоростейизгибных волн в стержне от частоты, на рис. 1.4 в изображены зависимостифазовых скоростей от волнового числа.аРис. 1.4 а – зависимость фазовой скорости от частоты.19бвРис. 1.4 б – зависимость групповой скорости от частоты; в – зависимостьфазовых скоростей от волнового числа.20Штриховыми линиямина рис. 1.4 в изображены зависимости,полученные [13] по теориям Бернулли-Эйлера и Рэлея, штрих-пунктиром зависимости, полученные по теории Тимошенко (Т1 и Т2).

Сплошнымилиниями изображены дисперсионные зависимости, соответствующие тремпервым антисимметричным нормальным волнам (a0, a1, a2), рассчитанные [13] спомощью решения уравнения Ламе для упругого цилиндра.В книге [2] показано, что путем введения не одного , а большего числапроизвольныхкоэффициентов,имеетсявозможность«улучшения»дисперсионных свойств модели Тимошенко, в частности, удается добитьсяколичественного совпадения ее дисперсионной ветви с кривой a1 .Особенности распространения нелинейных изгибных волн в стержнеТимошенкоизучаютсяН.П.Семериковой,в[69-71].работахПриВ.И.учётеЕрофеева,В.В.геометрическойиКажаева,физическойнелинейности в работе [72] было получено уравнение:Fw tt  Fw xx  x   [2 2 J 2 w x 2x  4 3Fw 3x  2 4 F2 w x   5 J 2 w 2x  3 6 Fw 2x   6 F3 ]x(1.16)J 2 tt  EJ 2 xx  F  w x   [41J1 3x  2 2 J 2x (2  w 3x )  2 5 J 2  x w x ]x  2 2 J 2 2x  2 4 Fw 2x  2 3F3   5 J 2 w x 2x   6 Fw 3x  3 6 F2 w xгде w(x,t) – поперечное смещение; ( x, t ) – угол поворота поперечного сечения;42 – объемная плотность материала; J1   z dF, J 2   z dF – осевые моментыFинерции;–коэффициентТимошенко;F j ( j  1,6)–коэффициенты,характеризующие геометрическую и физическую нелинейности среды.21Отметим работы, в которых построены более сложные модели (трех- ичетырехволновые) [1, 73-77], но в связи с громоздкими выкладками, уравнениеТимошенкоидвухволновыеуравненияявляютсяобщепринятымивинженерных расчётах конструкций на колебания.1.3.

Пластина ТимошенкоСогласно определению в [78]: «Пластинкой постоянной толщиныназывают тело, имеющее форму прямой призмы или прямого цилиндра ималую, по сравнению с размерами основания, толщину».В книге [1] показано, что результаты, относящиеся к стержням,распространяются на пластины. В случае нарушения условия классическойтеории пластин, при рассмотрении задач поперечных колебаний пластин,необходимо учитывать влияние инерции вращения и деформации поперечногосдвига [98, 99]. В этом случае так же учитывается натяжение пластины.Тогда плотность потенциальной энергии деформации пластины приизгибе имеет вид:2222  2 h 3        h 3    h 3        Wп          212  x   y   12 x y2 12  y   x  2222h  h w  w   N  w   w                 12 y x2 x  y   2  x   y  Здесь  – коэффициент Тимошенко, ,  – осредненные углы сдвига.3Плотность кинетической энергии пластины равна:222h  w  h 2        Wк       2  t  12  t   t   22(1.17)Тогда изгибные колебания пластины [33] с натяжением представлены в видесистемы уравнений:  2    2  2E 212E w      20   1   2 222tx2(1)y2h(1)xxy  2    2  2E 212E w      2     1  0 2 222ty2(1)x2h(1)yyx2w   2 w  2 w    EE 2   N   2  2    02(1  )  xy 2(1  )  x y  t(1.18)При решении задач динамики пластин в уточненной постановке удобно ввестив рассмотрение две потенциальные функции:  22 , , здесь   2  2x yy xxy(1.19)Тогда система уравнений (1.18) перепишется в виде:  2    212E  w   0  2 2t2h(1)  2 E12E 0 2 2t2(1)2h(1)2w EEw    0 2   N   t2(1)2(1)(1.20)Из системы исключаем второе уравнение, тогда система (1.20) перепишется ввиде:  2    212E t 2     2h 2 (1  )   w   0 2EE  w   N  w    02 t2(1  ) 2(1  )23(1.21)Для перехода к уравнению изгибных колебаний пластины с натяжением,необходимо из второго уравнения системы (1.21) выразить  , подставить впервое уравнение, предварительно умножив его на  .Тогда:12 2 w  2 N(1  ) 2 2 (1  )  4 w12 N 1w w 224(  2)h tE(  2)E t(  2)h 2 2(1  ) 2 N 2 (1  )   2 w0(  2)E   2  t 2 E(1.22)В работе 2016 года И.Т.

Характеристики

Список файлов диссертации