Диссертация (786295), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Система (3.2) сводится к одномууравнению относительно поперечного смещения:42 2u 2u2 I  4 u N  kGF   u N  kGF E   uF 2  N 2  EI 0. 4  ItxkG  x 2t 2 kG t 4 kGF  x kGFПри этом параметры эквивалентного стержня связаны с параметрами струнусловиями: N  kGF  N1 N 2F  1   2 ; N  N1  N 2 ; EI  kGF   R ;2 I N  kGF  E   N1 2  N 21 ;  I  1 2 .  kGFkG RkGR(3.3)Из (3.3) следует, что погонная плотность стержня равна сумме плотностейобеих струн, а натяжение стержня складывается из натяжений струн.

Система(3.3) является совместной, если скорости волн в балке Тимошенко связаны со1/ 2скоростями волн в струне соотношениями C0 = C1,C0  E 1/ 2N  N2 k C  C22  1 , где12 – скорость продольных волн в стержне, C  G 1/ 2волн сдвига, C1  N1 1  , C2  N 2 2 1/ 21/ 2– скорость- скорости волн в струнах. Наскорость поперечной волны в одной из струн необходимо также наложить49условие C2  N1  N 2  1  2  ,1/ 2которое приводит к тому, что дляэквивалентного стержня в модели Тимошенко поправочный коэффициент kнужно выбирать большим единицы.

При этом радиус инерции поперечногосечения балки Тимошенко выражается через параметры составной струныследующим образом ry  I F1/ 2Такимобразом, 12 R 1  2 1/ 2поперечныеколебания1/ 2 2 N1  N 2  C 2  .12 натянутойсоставнойструнысоответствуют изгибным колебаниям некоторого гипотетического стержнямодели Тимошенко с натяжением.3.2.

Поперечные волны в составной нелинейно-упругой струнеРассмотрим составную струну, представляющую собой совокупность двухнелинейно-упругих струн, находящихся в контакте друг с другом.Движение струны описывается системой уравнений:  2u 1  u1  2   2 u11ρ1 2  R (u1  u 2 )  N1 1    2t2x  x 1  u 2  2   2 u 2  2u 2ρ 2 t 2  R (u 2  u1 )  N 2 1  2  x   x 2 (3.4)где U1,2 – поперечные отклонения струн, 1, 2 – погонные плотности, N1,2 –натяжения струн, R – сила их упругого взаимодействия.Система (3.4) может быть сведена к одному уравнению.

Действительно,введём безразмерные переменныеU  u u0 ; y  x X ;   t T ;   11,2обозначенияD  N1  N 2 ; X  ; T 2  22  D ,50где u 0 –перемещение,  – длина волны, удовлетворяющие соотношениюu 0 /  = 10-4 , Т – период волныи пренебрегая величинами, в которых степень отношения u 0 /  выше 3,получим:2U 2Uρ1D  4 U ρ 2 N1  1 N 2  4 UN1 N 2  4 Uτ 2 у 2 Rγ 2 2 2 τ 4Rγ2 2 у 2 τ 2 R2 D у 42N1  N 2 u 02  U   2 U02D 2  у  у 2(3.5)Решение уравнения (3.5) будем искать в классе стационарных волн, тоесть в виде функции U=U(y–v  ), зависящей от y–v  =  , где v=const – скоростьстационарной волны. Аналогичные преобразования проведены в главе 2(стр.42).Уравнение в частных производных (3.5) сведется в этом случае куравнениюдеформацииангармоническогоосциллятораотносительнопродольнойdU w:d2dw аw  bw  0 ,dξгде3(3.6)2a  v 2  1 B ; b  - u 02 6B2 ;B1D N  NNNv4  2 1 2 1 2 v2  1 2 2 .2 2Rγ  2Rγ  2R DЗаметим, что корни уравнения B=0 имеют вид:v12  ρ 2 N1γ ρ1D ; v 22  N 2 γ D .

Они, в частности, могут удовлетворять условиюN2γρ Nγ 5  4 2 1 (для определенности считаем, что N1 > N2). В этом случаеDρ1D0N2γρ Nγ 1; 1  2 1  5 / 4 , тогда 0  v12  1; 1  v 22  5 / 4 .Dρ1D51Также определим знаки корней: между корней(-):корней(+): v 2 N2γρ Nγ v 2  2 1 ; внеDρ1Dρ 2 N1γ 2 N 2 γ.,v ρ1DDАнализ (3.6) показывает, что частными решениями уравнения (3.5)являются нелинейные уединенные стационарные волны (солитоны).В первом случае а<0, b>0солитон имеет положительную полярность.Сепаратрисное решение записывается в виде [13]:w()  Ac ch( / ) ,Амплитуда солитона A c и его ширина  описываются выражениями:  B vA c   12(v2  1)Λ 2  u 022 11/ 21/ 2;.На рис.3.2 (а,б) приведены зависимости амплитуды и ширины солитона от егоскорости.

Если 1  v 22  5 / 4аРис. 3.2 а – зависимость амплитуды солитона положительной полярности от егоскорости.52бРис. 3.2 б – зависимость ширины солитона положительной полярности от егоскорости.Во втором случае а>0, b<0 солитон имеет положительную полярность.Сепаратрисное решение имеет вид [13]:w()  Ac th   Амплитуда и ширина солитона описываются выражениями:A c   6(v2  1)Λ 2  u 02  2B v 2  11/ 21/ 2;.Зависимости амплитуды и ширины солитона от его скорости приведены нарис.3.3 (а, б).

Если 1  v 22  5 / 4 .53абРис. 3.3а – зависимость амплитуды солитона отрицательной полярности отего скорости; б – зависимость ширины солитона отрицательной полярности отего скорости.543.3. Поперечные волны в составной мембранеРассмотрим поперечные колебания составной мембраны (рис.3.4), которыеописываются системой уравнений:  2 u1 2 u1 2 u1R(uu)NN1211 1 t 2x 2y 2222  u 2  R (u  u )  N  u 2  N  u 22122 2 t 2x 2y 2(3.7)где u1,2 – поперечные отклонения струн, 1, 2 – погонные плотности, N1,2 –натяжения струн, R – сила их упругого взаимодействия.Рис.

3.4 – Составная мембрана.Система (3.7) может быть сведена к одному уравнению относительнопоперечного смещения u 1 . В результате получим уравнение в виде:  2u  2u  2 u 1 2  4 u(1   2 ) 2  ( N1  N 2 ) 2  2  tR t 4y  xN1 N 2   4 u 4u 4 u  N1 2  N 21   4 u 4u  2 2  2 2   0 2 2 2  4  R  x 4x yy Ry t  x tгде u  u1 (x, t ) .55(3.8)Заметим, что аналогичное уравнение (1.22) получено при распространениитеории Тимошенко для стержней на пластины. Таким образом, поперечныеколебания составной мембраны можно описать уравнением (1.22), параметрыкоторого выражаются через параметры мембран следующим образом: 12 (  2)h 2  1   2 ; 2 2 (1  ) 1 2 (  2)E  R ; 12 N N1  N 2 ;2(2)h 2 N(1  )NN1  1 2 ;R E 2(1  ) 2 N 2 (1  )N1 2  N 21 E  (  2)E    2 RПеремещение u считаем изменяющимся по закону бегущей гармоническойволны: u( x, y, t )  Ae i  A*ei , здесь t  k x x  k y y   – фаза волны.Уравнение в частных производных (3.8) сведем к бигармоническомууравнению:412  2 N12  N 21 k 2x  k 2y   N1 N 2 k 2x  k 2y   2 R 2 1 ) 2 R N1  N 2 k 2x  k 2y   0Частота и волновые числа связаны соотношением:2N12  N 21 k 2x  k 2y   R 2 1 )  N12  N 21 2 k 2x  k 2y 2 2 R 2  2 1 ) 2  2R k 2x  k 2y N12  N 21   2  1 )1/ 2 1/ 21/ 212 Качественный вид дисперсионных зависимостей k x , k y  приведен на рис.3.5.56Рис.

3.5 Зависимость частоты волны от волновых чисел.Из рисунка 3.5 видно, что купол, выходящий из начала координат движетсявперёд по оси  , расплываясь в стороны по осям k x , k y . С ростом k x , k yпарабола k x , k y  растёт до определенного предела, постоянно расплываясь встороны и двигаясь вперёд, приводя к крестообразной структуре.В случае пересечения поверхности вращения плоскостью k y , на дисперсионнойплоскости , k x  , где k x – волновое число, существуют две дисперсионныеветви, одна из которых выходит из начала координат и приближается кгоризонтальной асимптоте1/ 2 1/ 22222212 1/ 2R 2  1   R 2  1   2R k x  k y N1 2  N 2 1 2  1 257.

Вторая ветвь выходит из точки   R (2  1 )1/ 212 1/ 2и с увеличениемчастоты приближается к наклонной асимптоте   k x . Качественный виддисперсионных зависимостей k x , k y  приведен на рис.3.6.Рис. 3.6 Зависимость частоты от волнового числа при ky=0.583.4. Поперечные волны в составной мембране с учетом геометрическойнелинейностиРассмотрим далее поперечные колебания составной мембраны с учетомгеометрической нелинейности, которые описываются системой уравнений:  2u 1   u  2   2 u  1   u  2   2 u 111ρ1 2  R (u1  u 2 )  N1 1    21  1    21  2  y   y  t 2  x   x 1   u  2   2 u  1   u  2   2 u   2u 222  22  1    22 ρ 2 2  R (u 2  u1 )  N 2 1   2  y   y  2  x   x t(3.9)Система (3.9) может бытьбезразмерныхU= u u 0 ; X= x  ; T  t D1/ 2сведена к одному уравнению, которое ввеличинах:ρ1/ 2ρ 2 γ  ; Y= y  ; γ  1  1 (где u 0 – перемещение,ρ2 – длина волны, удовлетворяющие соотношению u 0 /  = 10-4 ) и с учётобозначения: D  N1  N 2 выглядит следующим образом:2U 2U 2Uρ1D  4 U ρ 2 N1  1 N 2   4 U4U T 2 X 2 Y 2 R2 γ 2ρ 2 T 4Rγ 2 2  X 2 T 2 Y 2 T 2 22N1 N 2   4 U4U 4 U  u 02   U   2 U  U   2 U 2 2 2 0R2 D  X 4X YY 4  22   X  X 2  Y  Y 2 Решениеуравнения(3.10)будемискатьввиде(3.10)функций  X  cT;   X;   Y , где с=const – скорость волны.

Предположим, чтослагаемые в уравнении (3.10) порядка  . Пренебрегаем величинами, в которыхстепень  выше 2. Это позволяет перейти от уравнения в частных производныхк системе алгебраических уравнений, где U представим в виде U=U0 +  U1:59 2U02(c  1) 0  с 1(а ) 2 2 U 0  2 U 0  ρ1D 2 U1ρ N  N 22с4  2 1 1 2 2 с2 (c  1)222 2 Rγ 2  R γ ρ 22422 N1 N 2   U 0  u 0  U 0   U 0  0(б ) R2 D   422      2(3.11)После сведения системы (3.11) к одному уравнению и дифференцированияполученного уравнения по  , получим:23U0 1 3U05U0u 02   U 0   2 U 0 Г 2  0, 2  2  2 54       2 (3.12)гдеГ1  ρ 2 N1  1 N 2ρ1DNN  12 222 22  Rγ2 R γ ρ 2 R D Уравнение (3.12) сводится к уравнению относительно продольнойдеформацииU 0 W:  W3W 1 2W2 WGWГ,  3 2  2(3.13)u 02где G .122 Таким образом, поперечные колебания составной мембраны с учетомгеометрическойнелинейностиможноописатьмодифицированнымуравнением Кадомцева-Петвиашвили (3.13).Решение уравнения (3.13) будем искать в виде функции    k  v , где k – параметр характеризующий диффузионное расплываниеволнового пучка вдоль поперечной оси ; v – скорость волны.Получаем уравнение:60d  dWd3W 1 2 d2W2 dWv GWГ 3   kd ddd 2d 2(3.14)Проинтегрируем уравнение (3.14) по d .

Характеристики

Список файлов диссертации