Диссертация (786252), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

[82] проанализировано точное решениезадачи о распространении сейсмических волн в пористой водонасыщеннойсреде, описываемой моделью Био. Решение получено для плоских волн водномерной постановке. Определены параметры дисперсии волн 1-го и 2-города.Kumar R., Miglani A., Garg N. R. [83,84] исследовали динамическуюзадачу Лэмба о возбуждении изотропной насыщенной пористой среды.Поведение среды описано теорией пороупругости Био.

Для решения задачииспользованособственныхпреобразованиезначенийЛапласа-Ханкеля.системы.ВыполненыПолученаматрицачисленныерасчетыдинамического отклика среды на внутреннюю точечную нагрузку. Получены16оценки амплитуд смещений и напряжений в ближней и дальней зоне от точкивозбуждения.В статье Quiroga-Goode G., Carcione J. M. [86] рассмотрено три типаисточников возбуждения (непроницаемый поршень, жидкий поршень ипроницаемый поршень) и три типа граничных условий, соответствующихразличной степени перетекания жидкости через границу раздела. Решениесоответствующих задач получено в пространстве Фурье-изображений, апереход в пространство оригиналов выполнен численно.Aramaki Gunji, Yasuhara Kazuya [74] рассмотрели консолидациюпористой среды в осесимметричном теле согласно теории линейнойконсолидации Био.

Приведены дифференциальные уравнения фильтрации иупругости, а также описан процесс получение интегральных уравненийзадачи и их дискретизация. Уравнение фильтрации моделировалосьлинейными, а уравнения упругости - постоянными граничными элементами,дляинтерполяциипообластиприменялисьтреугольныеэлементы.Рассмотрены два численных примера консолидации грунта в образцах при ихиспытании в трехосном приборе, (примеры отличались граничнымиусловиями).

Сравнение результатов расчетов с опытными данными показалоих хорошее согласование.В статье [79] Diebels S., Ehlers W представили математическую модельдля описания динамических процессов в насыщенной деформируемойпористой среде. Расчеты проводились с использованием метода конечныхэлементов. Приведены результаты расчета плоского поля течения грунтовыхвод при наложении ударной нагрузки на часть свободной поверхности.17В статье Dziecielsk`a R. [80] исследовано распространение волнускорения в среде, состоящей из упругого (вязкоупругого) пористогокаркаса, насыщенного вязкой сжимаемой жидкостью. Изучены общиесвойстватакихволн,построеныуравненияихраспространения,проанализированы уравнения для амплитуд. Показано, что форма фронтаволны и амплитуды перемещений на фронте изменяются в зависимости отпройденного расстояния.

Установлено, что изменение амплитуд на фронтеволны связано не только с относительным движением каркаса и жидкости(как в случае линейной двухфазной среды), но зависит также от начальноговозмущения среды на фронте волны. При этом скорость перемещений независит от энергии диссипации при относительном движении каркаса ижидкости.Sarmcu К.S., Thayuddin M.

[87] рассмотрели динамическую задачу окрученииполубесконечногокруглогостержняизупруго-пористогоматериала с вязким жидким заполнителем. На боковой поверхности стержнявыполняютсяусловиянепроницаемостииотсутствиякасательногонапряжения. Задача решена методом конечного преобразования Ханкеля сиспользованием операционного исчисления.Из приведенного обзора следует, что точные аналитические решениярассматриваемых в диссертации осесимметричных нестационарных задачдляупруго-пористогополупространстваотсутствуют.18влитературепрактически1.2.

Уравнение осесиметричного движения среды Био вцилиндрической системе координатПредполагается, что свойства материала полупространстваz0описываются моделью Био [8], уравнения движения которой имеютследующий вид: 2u 2U,12t 2t 2 2u 2UQgrad divu  Rgrad divU  12 2  22 2 .ttN u   A  N  grad divu  Qgrad divU  11(1.1)Здесь u и U - векторы смещения скелета и жидкости соответственно;A и N - упругие постоянные скелета среды; t - время; R - давление, котороедолжно быть приложено к жидкости, для того чтобы заполнить пористыйобъем (при этом общий объем остается неизменным); Q - величинасцепления между твердыми и жидкими компонентами при деформации;11  1  0   s  12 ; 22  0 f  12 ; 0 - пористость среды; 12 - коэффициентдинамической связи между твёрдыми и жидкими компонентами;  s и  f плотность твёрдого и жидкого компонента соответственно;  - операторЛапласа.Уравнения (1.1) эквивалентны следующим волновым уравнениямотносительно скалярных 1 , 2 и векторного  потенциалов перемещений[13]:1  2 kk  2ck t 21  2 k  1, 2  ,   2 2 ,c3 tгде19(1.2)u  grad  1  2   rot , U  grad  11   22   rot  3  ,ck2 (1.3)P  Q kN, 3   12 , P  A  2 N , (1.4) k  1, 2  , c32 11  12k11  312 22а числа 1 и 2 являются корнями уравнения22Q  12 P  2    22 P  11 R    12 P  11Q  0 .Компоненты eij и ij тензоров деформаций в скелете и в жидкостисвязаны с векторами перемещений следующим образом:eij 11 i u j   j ui  ,  ij    iU j   jU i  ,22(1.5)где i u j и iU j - ковариантные производные ковариантных компонентвекторов u и U в некоторой криволинейной системе координат.Напряжения в скелете и давлениев жидкости определяютсяфизическим законом.ij  2 Neij   Ae  Q  gij ,   Qe  R, e  eij g ij ,   ij g ij ,(1.6)где gij , g ij - компоненты метрического тензора, а e и  - первые инвариантысоответствующих тензоров.Далее ограничимся вариантом симметричных относительно оси Ozповерхностных возмущений и нулевых начальных условий.

При этом вцилиндрической системе координат r , z ,        перемещения иостальные компоненты напряженно-деформированного состояния являютсяфункциями только времени, r и z . Тогда соотношения (1.2), (1.3), (1.5) и20(1.6) относительно физических компонент векторов и тензоров (имсоответствует координаты в нижних индексах) с учетом формул дляоператоров принимают следующий вид [10]:- уравнения движенияk 1  2 kck2 t 2 k  1,2  ,   1  22 1 2,,r 2 c32 t 2r 2 r r z 2(1.7) r   z  0,    ;- кинематические соотношения  1  2    1  2  1  (r ), uz  w , u  0,rzzr r  11  22   11  22  3  (r ) 3, U z  W  1, (1.8)Ur  U r rrzzU   0;ur  u - выражения деформаций e и  , где,   r, z, ,скелета ижидкости через перемещенияu1  w u uw, erz    , e  , ezz ,r2  r z rz1  W U UUW rr ,  rz  ,,, zzrrz z2  re  err  e  ezz ,    rr      zz , er  ez   r   z  0;err (1.9)- связь напряжений  , где ,   r , z ,  , в скелете и давления  вжидкости с кинематическими параметрами21uw  Ae  Q  ,  zz  2 N  Ae  Q  ,rzu w u   2 N   Ae  Q  , rz  N   ,   Qe  R,r r z u w uU W U , .er z rrzrrr  2 NДалеебудемиспользоватьбезразмерныевеличины(1.10)(штрихисоответствуют безразмерным величинам; в последующем изложении ониопущены):rxyzuwUWct, x  , y  , z  , u  , w  , U   , W   ,   1 ,LLLLLLLLL   , ,   r , z ,  ,   ,  j  2j  j  1,2  ,NNLcAQR  2 ,  k  1  k  1,2,3 , 1  , 2  , 3  , H  P  2Q  R,LckHHHr где L - некоторый линейный размер; Oxyz - прямоугольная декартовасистемакоординат,связаннаясцилиндрическимикоординатамистандартным образом.В безразмерном виде уравнения (1.7) принимают следующий вид(точками обозначено дифференцирование по  , k  1,2 ): kk   k2 ,   ;  32 2r(1.11)Соотношения (1.8), (1.9) сохраняют свой вид, а физический закон (1.10)преобразовывается так:22uw  1e  2   ,  zz  2  1e  2   ,rzuw u   2   1e  2   ,  rz  ,   2 e  3 .rr z rr  2(1.12)1.3.

Дополнительные условия и интегральные представлениярешенийЛинейныеуравнения(1.2)описываютволновыедвиженияводнородной изотропной насыщеной пористой среды. Для полной постановкиначально-краевой задачи динамики насыщеных пористых сред эти уравнеиянеобходимо дополнить начальными и граничными условиями.Полагаем что, в начальный момент  возмущения отсутствуют:j0  0  j0  0  0 .(1.13)Основные граничные условия для насыщеных пористых сред имеютслудующий вид [43]:- кинематические условия ( u 0 - заданное перемещение)u   u 0 ,  U, ν     u 0 , ν  ;- силовые условия ( P- заданная сила;(1.14)p   ij  j ei - векторнапряжений)p   (1  )P,      P, ν  ;(1.15)- смешанные условия первого типа (заданы нормальное перемещениеun 0 и вектор касательной силы P )23 u, ν   U, ν    un 0 , p   p  , ν  ν   P ;(1.16)- смешанные условия второго типа (заданы вектор касательногоперемещения u  и нормальная сила P )u   u, ν  ν    u  ,  p  , ν    (1  ) P,    P .(1.17)Здесь  - граничная поверхность; ν   i e i - единичный векторвнешней нормали; ei и ei - ковариантные и контравариантные базисныевекторы.Применительно к полупространству z  0 в случае осевой симметриисоотношения(1.14)-(1.17)имеютвид( ν  ez ;u0  u0 e r  w0e z ;P  Pe z  P , P  Qe r ; e r , e z , e  - базисные векторы цилиндрической системыкоординат):u z 0  u0 (r ,), w z 0  W rzz 0 (1  )Q (r , ),  zzw z 0  Wz 0z0z 0z 0(1.18) (1  ) P (r , ),  z  0  P (r , ); w0 (r , ), rzu z 0  u0 ( r , ),  zz w0 (r , ) ;z 0 Q (r , ) ;(1.19)(1.20) (1  ) P( r , ),  z 0   P( r , ) .(1.21)Искомые перемещения как решения начально-краевой задачи (1.11),(1.13), (1.18) (или (1.19), или (1.20), или (1.21)) записываем в виде сверток(ониобозначаютсязвездочками)попространственнымкоординатамx, y ( x 2  y 2  r 2 ) и времени [19, 20, 24, 26].

При этом G – поверхностные24функции влияния, где  и  индексы принимают одно из следуюшихзначений: u, w,U ,W , zz , rr ,  .1. Граничные условия (1.18) (первая группа):1u  r , z ,    u0  r ,      Guu  1 w0  r ,      Guw1  r , z ,    GuW r , z ,   ,1w  r , z,    u0  r ,      Gwu r , z,   11 w0  r ,      Gww r , z ,    GwW r , z ,    ,U  r , z ,    u0  r ,      GUu1  r , z ,   (1.22)11 w0  r ,      GUw r , z ,    GUW r , z ,    ,1W  r , z ,    u0  r ,      GWu r , z,   11 w0  r ,      GWw r , z ,    GWW r , z ,   ;1 zz  r , z ,    u0  r ,     Gzzu r , z,   11 w0  r ,     Gzzw r , z,    GzzW r , z ,   ,1rz  r , z ,    u0  r ,     Grzu r , z,   11 w0  r ,      Grzw r , z,    GrzW r , z ,    ,(1.23)  r , z,    u0  r ,     G1u  r , z ,    w0  r ,     G1w  r , z ,    G1W  r , z ,    .Здесьа) функции11111Guu1  u, Gwu w, GUu U , GWu W , Gzzu  zz , Grzu  rz , G1u   (1.24)- решения уравнений (1.11) с начальными условиями (1.13) и следующимиграничными условиями (первая подгруппа)25u z 0    x, y,   , w z 0  Wz 0 0;(1.25)б) функции111111Guw u , Gww w, GUw U , GWw w, Gzzw  zz , , Grzw  rz , G1w   (1.26)- решения уравнений (1.11) с начальными условиями (1.13) и следующимиграничными условиями (вторая подгруппа)w z  0    x, y ,   , u z  0  Wz 0 0;(1.27)в) функции111111GuW u , GwW w, GUW U , GWW w, GzzW  zz , GrzW  rz , G1W   (1.28)- решения уравнений (1.11) с начальными условиями (1.13) и следующимиграничными условиями (третья подгруппа)Wz 0   x, y,   , u z 0  wz 0  0 .(1.29)2.

Характеристики

Список файлов диссертации