Диссертация (781854), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Поэтому τ 0найдем из условия прохождения частицами, находящимися на высоте H, расстояния H  hNH  h   w(  k )  .k 1(2.15)79Здесь толщина слоя h  h0  h1 , h0 – начальная толщина слоя, h1 ( H  h0 )c–1 εприращение толщины слоя вследствие осаждения частиц, N – число шагов, прикотором выполняется равенство (2.15).Для рассматриваемого случая  f <  и поэтому используем первую формулу (2.14).Очевидно также, что 0  N .Моделирование зон тепловыделяющего слоя. Сформировавшийся слойпропитан натрием.

В процессе выделения остаточного тепла в топливе слой будет разогреваться, а температура пропитывающего его натрия повышаться. Вслое может возникнуть естественная конвекция, которая интенсифицируетпроцесс теплопередачи. Если тепловыделение превышает возможности теплоотвода, достигается температура кипения натрия и возникает зона кипящего натрия. По мере выкипания натрия появляется осушенная зона. Так как теплопроводность пористого слоя мала, его температура может достигать температурыплавления стали, а затем топлива, в результате образуется зона плавления. Стечением времени сталь в слое может закипеть, что приводит к возникновениюзоны кипения стали.В данной работе используется понятие эффективной теплоемкости длявсех состояний, присущих системе.

Эффективная теплоемкость выражается как[162]ceff  спри T [ TS , TL ] и ceff  c  2L  c p (TL  TS )3 (TL  T )1/ 3 (TL  TS ) 2 / 3при T [ TS , TL ].Плавление частиц стали и топлива учитывается путем моделированиястоков тепла в тепловыделяющем слое. Согласно работе [66], текущий размер(изменение во времени) крупинки определяется в результате решения задачиСтефана для шара методом Лейбензона. Для затвердевания шара она решена в[158]. При плавлении стали время расплавления крупинки находится по формуле80Lst ρ st (η  r0 ) 2 (2η  r0 ).6 mix (Tmix  Tm,st )r0(2.16)Из формулы (2.16) можно найти η(τ) , воспользовавшись методом Вегстейна [152].Текущая объемная доля стали равнаηε c  ε 0 ( )3 ,r0где ε 0  ε c (0).Задав ε 0 и d  2r , можно получить источники концентрации жидкой ста0ли в смеси при плавлении твердых включений сталиqc ,st 3Nu mix (Tmix  Tm,st ) ε c.1  εc2 Lst2(2.17)Соответственно, можно найти и стоки тепла qv,st  Lstqc,st .

Аналогичноопределяются стоки тепла при плавлении твердых частиц топлива.2.1.5. Учет процессов кипения и конденсацииКипение натрия учитывается следующим образом: предполагается, чтотепло, которое расходовалось на нагрев натрия, после достижения температурыкипения натрия идет на кипение натрия. Если в расчетном узле (i, k) сетки температура Ti ,k на некотором шаге по времени превысит значение, равное температуре кипения натрия TB ,sod , то в узле (i, k) устанавливается температура кипения натрия, а также начинают действовать стоки теплаqB ,sod ρi ,k c pi,kτ(Ti ,k  TB ,sod ) .Таким образом, выполняется учет кипения натрия в тепловыделяющемслое, а также кипения натрия вне слоя.

Отметим, что, рассчитав количество теплоты, которое идет на кипение жидкости на данном шаге по времени, можнонайти массу испарившейся на шаге по времени жидкости.В рассматриваемой математической модели зона натрия, расположеннаянад тепловыделяющим слоем, требует дополнительной детализации. Температура тепловыделяющего слоя может существенно превышать температуру на-81сыщения натрия. Натрий у поверхности слоя кипит. Образовавшиеся пузырипара натрия всплывают вверх и конденсируются в более холодном натрии, отдавая ему тепло.

Для оценки толщины слоя натрия, в котором появляются источники тепла от конденсирующегося пара, необходимо решить задачу движения пузыря пара переменной массы в жидкости. Задача специфична и решениеее не приведено в известных монографиях и обзорах [194,30,149, 225,165,140].Она рассмотрена и решена в работе автора [121].Математическая постановка задачиСферический паровой пузырь с начальным радиусом r0 движется в жидкости, температура которой меньше температуры насыщения пара в пузыре.Вследствие конденсации пара в пузыре его размер и, следовательно, масса будут уменьшаться.Используя подход при рассмотрении формирования тепловыделяющегослоя в пункте 2.1.3, по аналогии получим дифференциальное уравнение движения пузыряdwdt3C 8rE k 2w2  1, kg(2.18)где k ˗ коэффициент присоединенной массы [151,156], который для сферы равен k=0,5, E – коэффициент стесненности,с начальным условиемw(0) = 0.(2.19)Коэффициент сопротивления С определяется в соответствии с данными[200].Для определения изменения радиуса пузыря во времени используется результат работы [222]1dr T  32w  2dtrп   t 3 r с начальным условием(2.20)82r (0)  r0.(2.21)В уравнении (2.20) α – коэффициент температуропроводности жидкости.В качестве r0 берется радиус пузыря перед отрывом, определяемый по известной формуле Коула и Розенау1/ 2   c p tн r0  1,13  10 "   '' g (   )    rп 45/ 4,где tн – температура насыщения, выраженная в градусах Цельсия;  – коэффициент поверхностного натяжения.Введем безразмерные переменныеUwgr0, Rr,r0t,r02в которых система дифференциальных уравнений (2.18), (2.20) с начальнымиусловиями (2.19), (2.21) примет видdU aU 2  b,d(2.22)1dRJa  32  c ,dU(0) = 0,(2.24)R(0) = 1,(2.24’)гдеa3C Pe 8RE  k  ,2bPe (2.23)Pek 1, gr0 r0c Т2 PeU, Ja  P,c.rп3R83Решение системы уравненийа) Численное решение методом Рунге – КуттаПолученная система уравнений является нелинейной с коэффициентами,зависящими от времени.

Получить решение в замкнутом виде не представляется возможным. Поэтому необходимо решить систему численно. Наиболее подходящим для решения данной системы является метод Рунге – Кутта четвертого порядка, алгоритм которого приводится ниже. Запишем для краткостиU ′ = f (τ,U , R ), R′ = g (τ,U , R ) .Полагаем1(k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) ,6(2.25)1(m1 + 2m2 + 2m3 + m4 ) ,6(2.26)U k +1 = U k +Rk +1 = Rk +гдеk1 = f (τ k ,U k , Rk )∆τ,m1 = g (τ k ,U k , Rk )∆τ,km ∆τk2 = f  τk +,U k + 1 , Rk + 1  ∆τ,222 km ∆τ,U k + 1 , Rk + 1  ∆τ,m2 = g  τ k +22 2(2.27)km ∆τk3 = f  τ k +,U k + 2 , Rk + 2  ∆τ,222 km ∆τm3 = g  τ k +,U k + 2 , Rk + 2  ∆τ,222 k 4 = f (τ k + ∆τ ,U k + k3 , Rk + m3 )∆τ,m4 = g (τ k + ∆τ ,U k + k3 , Rk + m3 )∆τ.б) Приближенное аналитическое решениеЗапишем систему дифференциальных уравнений (2.22) и (2.23) в квазистационарном приближении (явный метод)84dU k 1 akU k21  b,d(2.28)1dRk 1Ja  32  ck  ,d (2.29)т.е.

коэффициенты ak и ck для момента времени k+1 = k+ являются постоянными и вычисляются по результатам значений функций на предыдущем шагепри    k .Решением уравнения (2.28) с начальным условием (2.24) является выражениеU k 1 bak bth( ak b τ).(2.30)Решение уравнения (2.29) сводится к интегралуRk 1 Ja12  3  c12k d,(2.31)0который относится к классу интегралов от дифференциального бинома. Как доказал П.Л. Чебышев (см., например, [193]), в зависимости от соотношения показателей степени у ' и скобки (в нашем случае m  11, n  1, p  ), толь22ко три типа интегралов вида (2.31) можно вычислить в квадратурах.

Используятретью чебышевскую замену переменной интегрирования3 ск  z 2 ,'находим с учетом условия (2.24’)JaRk 1  1 2 3  сk 2   3 ln2 ck13  сk   сk  .3  сk   сk  (2.32)Заметим, что функция (2.32) справедлива для уменьшения (увеличения)размера пузыря в зависимости от недогрева (перегрева) жидкости.В случае роста пузыря, зарождающегося на теплоотдающей поверхности,за начальный радиус r0 принимается критический радиус пузыря [149]85r0 2Ts.rп''TРадиус пузыря увеличивается до значения отрывного радиуса. Пузырьотрывается и начинает перемещаться в жидкости.Формула (2.30) при этом имеет вид=Uk+10, τ < τ0 bth ( a k b (   0 )), τ > τ0, a bkгде τ0 – время отрыва пузыря.Результаты расчета и сравнения с экспериментальными даннымиВ работе [222] представлены обширные экспериментальные данные поисследованию скорости роста паровых пузырей в воде, этаноле и изопропанолепри малых перегревах до 4,9 0 С при давлении 1 атм в свободном объеме жидкости при обычной и нулевой силе тяжести для конечных времен наблюдениядо 400 мс.На рис.

2.4,2.5 представлено сопоставление результатов расчета с опытными данными и решением Скривена [262] без учета движения пузыря для воды и этанола. С увеличением размера пузыря влияние сил плавучести становится заметным и пузырь начинает перемещаться. Поэтому экспериментальныеданные отклоняются от решения Скривена при больших временах. Решениеавтора удовлетворительно описывает экспериментальные данные во всем интервале времен наблюдения.Отметим, что в комплексе1R / 2 2 нарис. 2.4,2.5 R – радиус пузыря;  постоянная роста пузыря,   Ja ;   коэффициент температуропроводностижидкости.86Рис. 2.4. Сравнение результатов расчета с опытными данными и решениемСкривена для воды: 1 – расчет автора; 2 – решение Скривена.

Значенияперегревов в опытах (0C): ο – 3,6;– 3,9;– 3,9Рис. 2.5. Сравнение результатов расчета с опытными данными и решениемСкривена для этанола: 1 – расчет автора; 2 – решение Скривена. Значенияперегревов в опытах (0C): ο – 2,8;– 3,1;– 3,2На рис. 2.6,2.7 приведены зависимости скорости и радиуса пузыря отвремени для случая зарождения и роста пузыря на теплоотдающей поверхности.870,5Скорость, м/с0,410,320,20,10,0020406080100120140160Время, мсРис. 2.6. Зависимость скорости пузыря от времени: 1 – вода; 2 – этанол.

Характеристики

Список файлов диссертации