metodichka-statrad (774122), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В две символов «1» и «О» и Если д > ио,то принимается решение о ншпзчии сигнала я>(1), в противном случае — о наличии сигнала ас(1). Прн равнове1хмпных сима«3>ах по1юг и>> = О. Определим вероятность оптибкп. Для этого необходимо знать л'т ' распределение величины д при передаче сигналов ат(1) и ао(1). Замепси, что отсчеты и;, >' = 1,2, З„являются гауссовскими случайными величинами с дисперсией па и математическим ожиданием А (прп передаче символа «Ь>) илн --А «при передаче символа «О»). Сумма независимых гауссовских величин имеет также гауссовское распределение с математическим ожиданием и диене репей, равными сумме математических ожиданий и дисперсий исходных величин.
Поэтому условные плотности вероятностей суммы отсчетов записьпиются в виде (д — ЗА)з 2 Зпз (д+ ЗА)з 2 Зс>з 1 ' 1М)) = ЛжЗоз ш1(д)ас) = ' ех,> Даня 1 .:4 ' Теперь нетрудно найти вероятности ошибочных решений Р~(яс~ьт) и Р~л(я>~аа) при равновероятной передаче символов ',Д «Ь> и «О» соответственно; 56 и дисперсия ЗЕ СГ Ха Используя (4,32)„(4.33) и (4.15), находим, что алгоритм рабаты разлнчнтеля сводится к вычислению значения случайной велнчид = н1 + ня + 'нз и сравнению его с порогом и р(О) пс = — 1п— 2А р(1) Р, (а«~я>) = и»(д(я>)дд = 1 — Ф >' ЛАЗ и Р (я>~яс) = ~ ид(д яа)>)д = 1 — Ф и о .:4 ' >:.
">,' '. ",,'>зя ' ичной системе для передачи равновероятных спользуются ситншзы я>(1) = Ас соа(оз>1+ >рс), О < 1 < 2*; аз(т) = -а>(1). Определить среднзою вероятность ошибки при условии, что в канале действует стационарный гауссовский шум с нулевым ма- Л'» тематическим ожиданием и корреляционной функцией — б(т). 2 Прием осуществляется приемником, оптимальным по критершо идеального наблюдателя. Решение. Алгоритм работы оптимального различителя для рассматриваемого случая своди>тл к вычислению значения слу- и сравнени>о его с путевым порогом. При д ~ О принимается решение о наличии сигнала а>(т), в противном случае — о налпчии сигнала аз(г). Пусть передается сигнал ят(г).
Тогда 4Е 2 Г д = — + —, ~ ~(1)(~~(1) — ~~(1))>11. А>о >~'о Величина д распределена по гауссовскому закону. Ее матема тическое ожидание 4К м(д) =— Р (зз«я») = ай«81)«(я = 1 ,. /ИЖ' ' -с~ з» й А» «1я = 1 — Ф где Г |2ЕЕ1 Р~ип(а»1зз) = 1 — Ф~ «» †, ) у»ззс) р..= ~ — в( /'~) Вероятность ошибки прн передаче снгнала з»(г) Аналог«г«но вероятность ошибки прн передаче слгнала зз(1) определяется выражением Соответственно средняя вероятность ошнбкн Ирнмер 3. В системе двончной фаз»вой манипуляции нспольюваны сигналы Г2Е гч(1) = ~» — соз[аог+ (« — 1)л1, « = 1, 2, 0 < 1 < т. где Е. — энергия сигналов а;(1), « = 1, 2; Т вЂ” длнтельность спгнала.
Опорное колебание имеет внд . /2Е з, (1) = К«) —, с«ж(ас1+ «р), 'т' 2' где «р — фаювый сдвиг, отлнчный от нуля. Определить вероятность ошибки, полагая„что в канале действует стационарный гауссовский белый шум со спектральнон плотностью мощности Ж», н оценить степень ухудшения помехоустойчивости системы по сравнению с идеальным случаем («р = 111. Какую можно допустнть фаювую расстройку Г, прн которой энергетический пронгрьпп») не превышает значение 1,! 2 Решенне. Пусть передается снпил з» (т).
Тогда на вьгходе корреля»Ора д, .(1) = К вЂ” 1 соз ас1соз(ао1+ «р)«й+ 2Е . |2Е ЕГ +Кз( — т «»(т)соа(«ц»г+ «р)«й = '~' т,| т »2Е»' = КЕ соа р+ К«( — ( ~(1) соа(ас1+ «р)с(1. 0 Напра»конце на выходе будет распределено по гауссовскому закону со средним значением и» = КЕ сов «р н днсперсией пз = К2ЕМс»»2: 1 ~ («» — КЕ соя «р) ~ «с(«»~з») = ехр ~- ( 2 Аналогично наход«пся распределение напряженая нв выходе коррелятора при передаче сигнала зя(1), Теперь нетрудно определить условные вероятности оп«вбок: / (ж2Е Р, (з21з») = и,Яз»)«1«1= 1 — Ф~ «,, —,с«ж«р у Л«» Р,(з»~яз) = / п»(4зз)«(д =1 — Ф~«(| — соя «р «Л «»»с Средняя вероятность ошнокн Р,зе = 1 — Ф~ 1 — соа «р 'з' Ко Таким образом, несннфазность принимаемого слгнала н опорного колебания прн фазовой манипуляции ведет к энергетическому роигр шу о Ж 1 Е з сова у' — сов ф Ло Прн В = 1, 1 допустимая фазовая расстройка ~р «К 18'.
Пример 4. В двоичной системе для передачи равновероятных символов «1» н «О» используются сигналы вт(!) = Ао сов(аз~1+ уг): вз(!) = Аосм(0~1+ ~рз)„ ::"!) г' ю(еа) = еа ехр ~ — з), где аз = 2Е/д!о; 1о(от ао) — модифицированная функция бесселя нулевого порядка. Ошибка возникает, если ез > с1 . Учитывал, что значенпя огибающих ег и ез в случае использования сигналов, ортогональных в усиленном смысле, статнстпчески независимы, вероятность где <р„и 9з — независимые случаиные величины, равномерно распРеделенные на интеРвале [- к, х[, пРичем ~ озз — ш~ ~Т >> 1, Определить среднюю вероятность ошибки при условии, что в канаве действует стационарный гауссовский шум с нулевым ма- Ь"о тематическим ожиданием и корреляцаонной функцией —,Ь(т).
2 Прием осуществляется в соответствии с критерием идеального наблюдателя. Решение. Пусть передается сигнал вг(!). Введем величины е1 — — Яг/ы н из —— Яз/ы, где Яг н Яз — значения огнбюощих напряжений на выходах каналов, настроенных на сигналы вг(1) н вз(1) соответственно; ыз — дисперсия сигнала на выходе сописованного фильтра. С учетом условий задачи сигналы вт(г) н вз(1) можно рассматривать как сигналы, ортогональиые в усиленном смысле. Тогда плотности распределения вероятностей ошибки [ — Я+ ао)1 Р (вз~вг) =р(ез > гп) = геехр ~ ~Хо(стао)х 2 х азехр — ~ Иезиде~ = -ехр и Аналогично находим в~ 1о (вг~вз) = — ехР ! - — ~ . 2 1, 2Л4' Средняя вероятность ошибки Р,„, = — ахр Пример 5. Определить комплексную часплную характеристику фильтра„согласованного с одиночным прямоугольным видео- импульсом: А, !1«1< т: в(!) = О дпя друглх 1.
Решение. Спектр сигнала в(1) Я(уа) = в(1) ехр( — уот1)Ф = = А~ ехр(-1гп!)41 = — [1 — ехр( — 1шт )[. зш Полагая 10 = г, по формуле (42!) находим комплексную частотную характеристику согласованного фильтра в вцле сА К(/ш) = — [1 — ехр(-ушт„)[. 3ш Пример 6. На вхол линейного фильтра воздействует аддитивная смесь и(!) = в(1) + и(!), г де А, 0<1 Сев,, в(1) = 0„1<0, 1>т; п(1) — стациоиарныи гауссовский шум со спектральной плотностью моппюсти 2 па Еп (го) ц' 4 озз' Найти комплексную частотную характеристику К(гоз) флльтра, максимизнрующего выходное отношение сигнал/шум. Решение. Спектр сигнала в(1) А Я(~гл) = —,[1 — ехр(--,1озт )[. з ез Полагая та = т, в соответствии с (4.24) находим [1 — ехр(-,1 сот,) [(аз + ал) з вз2яа = Ко[1 — ехр(-1озт )[[ — — За), Ка =— "Ь )' Пример 7.
Определить математическое ожидание и дисперсию оценки амплитуды А прямоугольио о радионмпулъса в(М А) Асов(озт + то)„О ~ Ф ~ Т гаТ ~~ 1 принимаемого на фоне гауссовскопз стационарного шума с корреХл ляционной функцией —, Ь( т). 2 Решение. Функционал правдоподобия параметра А г Г(А) = сопв1ехр — —, / [~(г) — Авг(1)[ЗА1 Е,/ о где вт(1) — полезный сигнал единичной амплпуды. Определим, при каком значении А функционал Г(А) макснма- 41пГ(А) лен. Для зтого найдем производную и приравняем ее к нулю: т И 2 à — Г(А) = —, ~ [~(1) — Ав1 (1)[вг(1)М = О. 4А Л;/ Из зтого уравнения получим ~(1)вг(1)са А'=" т вз (1)ае Значение А' берется в влчестве оценки амплитуды.
Математическое ожидание М(А') = Ао. Днсперсля с~ = М((А' — Ао)з) = —, 2Ез ' где Е1 — знергия полезного сигнала единичной амплитуды, Пример 3. Найти дисперсию оценки фазы радиоимпульса в(1) = А~(4) сов[озГ + зр(1) — 8), где А — амплитуда; ((1) н зр(1) — функции, характеризующие ам- плвтушзую н фазовую модуляции; 8 — начальная фаза. Решение. Найдем сигнальную функцию д, (8): т у,(8) = —, ~~з(1)сов[езГ+ з(г(1) — йа)х 'та 1 2Е х сов[он + у(1) — 8)41 - — „сов(8 -- Оо).
Л"о В соответствии с формулой (4.26) дзс 2Е. Пример 9. Найти дисперсию оценки смешения частоты пря- моугольного радиоимпульса со случайной начальной фазой Т Т в(1, П) = АД(1) сов[(ео — й)4 + у(1) — 6[, — — < Г ~ —, 2 2 принимаемого на фоне стационарного гауссовского шума с корре- „М) ляционной функцией — б(т). 2 Решение. Используя формулу (4,31) для рассматриваемого случая, можно показать, что коэффициент т/3 Задача 1. По каналу связи без памяти передвкпся равиовероятиые символы «1» и «О». Символ «1» передаегся сигналом я!(1) .= А = 10""з В, а символ «О» — сшпвлом яс(1) = О, В канале действует гауссовский стационарный шум с дисперсией ср = 10-' Вт.
Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию Котельникова, принимающий решение по одному отсчету аддитивной смеси п(1) = я(1) + н(1) ив интервале 'Г, если а момент принятия решения и = О, 008 Ву Ответ: символ «1». Задача 2. На вход приемника поступает сигнал п(1) = Хл(1) + и(1), где Х вЂ” случайная величина, и!зинина!отдал значения 1 н 0 с вероятностями р = (1- р) = 1/2; /м я(1) = ~ l — соя шог, 'т' Т и(1) — стационарный гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной фушщией 14(,) = ',"3(.).
Найти вероятность ошибки прн условии, что прием осуществляется приемником, оптимальным по критерию идеального наблюдателя. Ответ: Р „= 1 — Ф Задача 3. В двоичной системе для передачп рвановероятных спмвзьзов «!» и «0» исполызуются сигналы яз(1) = лс соя(шзг 4- из); яз(г) = Ас соя(оьзг + зрз): где .4, пь, шз.
фн рз — постоянные величины, причем ~жз — из~ х хТ 'Ь 1. Определить среднюю вероятность ошибки при условии, что в канале действует стационарный гауссовский шум с нулевым ма- Л'с тематическим ожиданием и корреляционной функцией — Ь(т). 2 Прием осуществляется приемником, оптимальным по критерию идеального наблюдателя, Ге~ Ответ Р©~ ' 1 Ф ~! ) ~0 Задача 4, Вычислить вероятность опшбкп в двоичной систе- ме с фазомянипули!юваиными сигналами, если сигнал иа переда че имеет средшою мощность р = 0„0 Вт„козффицпен"г передачи р = 1!Гз, длительность элементарной посылки Т = 10 мс, спек- тральная плотность мощности помехи Жс =- ПГт Втй "ц, Ответ: Р « = О, 8 ИГз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
