metodichka-statrad (774122), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Однаю следует заметить„что если входной сигнал не является гауссовским, то нельзя указать метод, юторый позволил бы непосредственно вычислять плотность распределения вероятностей выходного процесса. В общем случае эта задача решается путем нахождения моментных функций выходного процесса с последующим вычислением характеристической функции в соответствии с (1.10). Поэтому задачи группы 1) имеют самостоятельное значение. В частном случае, когда входной случайнь1й процесс имеет гауссовское распределение, процесс на выходе системы также будет иметь гауссовское распределение.
Если внешнее воздействие не подчиняется гауссовсюму закону, то зююн распределения выходного случайного процесса не будет гауссовским. Однако во всех случаях он будет ближе к нему, чем заюн распределения входного случайного процесса. Линейная система как бы нормализует заюн распределения, причем чем уже полоса пропускания системы по сравнению с шириной спектра входного воздействия, тем в большей степени проявляется эффект нормализации.
Если входной процесс является стационарным, то юрреляционная функция процесса на выходе линейной системы в установившемся режиме определяется формулой Я„,(01,~0) = К„(т) = К(т — и+ )Л( .)Л( )АНА „(2б) 0 0 где т = Фз — 11,' 11(т) — импульсная характеристика системы. Спектральная плотность мощности стационарного выходного процесса имеет вид б'ч(ш) = 1У~( )|Куш)," (2.7) К числу линейных преобразований атносатся, в частности, дифференцирование и интегрирование случайных процессов. СЛУчайный пРоЦесс Ч(Т) называетсл ДиффеРенЦиРУемым в среднеквадратическом смысле, если существует такая случайная функция т)(г), для которой й и ч('+~~ ~(') — 1)() 20 Дисперсию производной г(~(!) о! случайного процесса с(т) можно найти в виде 22 = — у ю В(ю)ла, — / и НР,(!) ,й случайного процесса Ц(!) математвчесяое ожидание г(пз!(!) и (!) = й (2.а) '' Кч(Фг,!з) = дзК!(!и !з) дФтд!з корреляционная функция Можно позлзать, что определяется как я„(е) = вэзя-(ю).
(2.!2) гзводные. Стационарнал смой, если существу- функции в точке т = О, = сслмь (2.! 3) е е г(т Не все случайные функции имеют п!кн случайная функция ~(!) будет дифферент!пру ег вторая производная ее корреляционной т. е. Ф Йрн этом ее называют производной процесса Г(г)в среднеквадратпческом смысле п обозначают как )(!) =— н~(!) !! либо ч(!) = М зя п опзводной з) (2.10) ':;:-;:( стационарным, то гп„(!) = 0; Вч(!т,Фз) = В, (т) = — "' . (2.11) с(зВ-(т) Спектральная плотность мощности стационарного процесса Из формулы (2.14), в частности„следует, что у дифференцируемого., а следовательно, у реального ютучайного процесса спектральнаа плотность должна убывать быстрее, чем в з. Интеграл от случайной функции ф(!) )(!) = 1(!) ~ определяют, как н производную, в средпеквадратическом смысле, а именно: случайная функция г1(!) является интегралом от случайной функции г,(г), если выполняется условие 1!ю М(1т)(!) — ~~~ г(И")1~) = О.
гпч(г) = т!(!)ай; (2.15) ц зз Вч(гы гз) = В!(т1. тз)пттнтз (2 16) Если случалный процесс ~(!) является стационарным, то гол(!) = т!1; ВЧ(1т,!З) = В!(тт — тГ)ИМтЗ. (2.17) с корреляционной функцией ь' В~(т) = —,о б(т). и дисперсией аз (Г) = а"„ (Г) + а~(1), од линейной снсте то закон распре, ет гауссовским. с т)(г) в виде Пример 2. Показать, дается гауссовский случ " выходного случайного проц Решение. Запишем в по если на вх аиный процесс есса также буд ыходной процес 1)(Г) = Ь(т)Ц(З вЂ” т)Ит Перейдем к приближен трала суммой: Ф/а Ч(Ф) = ~ Ь(1Ь «=1 По условию величина г„рас «взвешенная суммю1 случайных двинем Г, на Ь,, также будет нм Пример 3. На линейную си кой Ьф воздействует стациои пределена по величин, об еть гауссовско стему с имп~ арный гауссов ' а 'й Типовые примеры Пример 2.
Нанти математическое ожидание, дисперсию н плотность вероятностей случайного процесса п(1) = х(~) + у(г), где я(г) н у(г) — независимые гауссовские случайные процессы с математическими ожиданиями гп„,(г) н гп„(г) и дисперсиями а~ (г) и е~(Г) соответственно. Решение. Случайный процесс и(г) будет гауссовским с маге-;ь, магическим ожиданием ( гп (г) = пз (г)+ пзл(г) 1 / (и — (т (О)+ т„(г)))з ( ,г; ~Рр~+ур~ь ! 4~1Р~тчй 1 -4 ному выражению путем замены интет) г(2 — Ыт) Ьт.
гауссовскому заиэну разованиых произвее распределение. з1ьсной харакгерисги-,:;-':.::;„.': ский белый шум с(М) ? Определнзь взаимную корреляцноннузо функшпо В~, (т) процесса ф(1) на входе системы н выходного процесса 1)(г). Решение. Для установившегося режима взаимную корреляционную функцию Вгч(т) можно записать в виде Вгл(т) ™%11)г)(12)) ™й(11) 1(гз — о)Ь(в)пп) = — МД(О1)Ц(~З вЂ” п))Ь(и)ди = В-(т — п)Ь(и)ди = =-у = — ~ б(т — и)Ь(п)г2и = Ло Ь(о Ф1) 0 < 11 < 1з. 0',11 > гз Пример 4. Линейная система имеет комплексную частотную характеристику К(,~а) = Ко на интервалах частот (езо — Ьа ~~ ~~ а ~ ~еа1 + Ье) и (-гоо — Ье ~ ~е:ь -озо + Ьа) и К(Яа) = 0 вне зтих интервалов. На вход системы подается белый шум ф(1) с двусторонней плотностью мощности Я-(а) = Уо/2.
Найти корреляционную функцию Вя(т) процесса г)(г) на выходе. Как следует выбрать Ьа, чтобы дисперсия Оч выходного процесса не превьппала заданного значения .02 Решение. С учетом (2.7) спектральная плотность выходного процесса К~~ Л'о (ао — Ьа 4 оз 4 гяо + Ьа)., (-ао — Ье - а < — ее+ Ье):, 0 для другах значений а, 1 (п — (гп»(г) + тз(г)дз е(п) = ехр ,т; )уц„.
~(,) ) 4 .Р)+;(б) Пример 2. Показать, что если иа вход линейной с дается гауссовский случайный процесс, то закон распре выходного случапюго процесса также будет гауссовским Решение. Запишем выходной процесс т)(1) в виде нсгемы по- -г( гены инте-:':,!( Перейдем к приближенному выражению путем заь трапа суммой: По условию величина г,' распределена по гауссовсюму квзвешеннал сумма» случайных величин, образованных про дением 6( на Ь„, также будет иметь гауссовское распредепе Пример 3.
На линейную систему с импульсной харакге кой 6(г) воздействует стационарный гауссовский белый шум изве- рнсгн- Типовые примеры Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и плотность вероятностей случайного процесса п(~) = з)(~)+ у(~), где к(г) н р(г) — независимые гауссовские случайные процессы с математическими ожиданиями т,(г) и пзз(г) и дисперсиями гг~ (г) и пз((г) соответственно. Решение. Случайный процесс п(г) будет гауссовским с мате- матическим ожиданием гп„(г) = т,(г) + т (г) и дисперсией и,'.(!) = з(т)+ пз(г), с корреляннонной функдней Определить взаимную корреляпионную фунюппо Вгч(т) процесса г,(г) на входе системы и выходного процесса т)(г).
Решение. Для установившегося режима взаимную корреляционную функцию Вг,ч(т) можно записать в виде В~ч(т) = М(~(йт)з)(~з)) = М(~(~~) Ц(гз — п)й(и)Ни) = М(4П)~(тз — п))й(п)((п = Вг(т — п)й(н)(йз = = — о I Ь(т — и)Ь(и)(зи = 2 / < д(о — Ь(~з — Фз),0 » <Гг <» Гз: 2 О,йг > 1з. Пример 4. Линейная система имеет комплексную частотную характеристику КОа) = Ко на интервалах частот (во — ла < < е < во+ Лв) и (- ео — Ав < в — во+ Ав) и К(~в) = 0 вне этих интервалов. На вход системы подается белый шум г,(г) с двусторонней п(кпносгью мощности Вр(в) = )то/2. Найти корреляционную функцию Вч('г) пропесса з)(1) на выходе.
Как следует выбрать )зв, чтобы дисперсия Пч выходного пропесса не превышала заданного значения 1Э1 Решение. С учетом (2.7) спектральная плотность выходного процесса КзФо (ео — Ле< в = во+ Ье), (--ео — Ьв » <а <» — во + Ьв); 0 для других значений е. Величина Ла определяется пз выражения Корреляционная фуню1ия о соа втоа = 2М т КотФо а1п(во+ Ьв)т- аш(во — Ьа)т оо-~- ам Г Ко'Ь Вч(т) = — / и 2 К~тйо юп Авт Пример $.
На вход пропорционально-интегрирующего фпльтра (рнс. 1) поступает стационарное случайное напряжение г,(Ф) с "',';~" математическим ожиданием тх н корреляцлонной функцией В1(т) = 01ехр,' — а ~т~). Решение. Найк»и комплексную частотную характеристику фильтра 1 Вг+— (ас 1+1'всВ 1+,(аТг К(1а) = 1 1+ 1ас(В+ В1) 1+ т'вТк "'В";ОМ Математическое ожидание т, можно определить как т,.
= т1К(0) =т-. Спектральная плотность мощности Яч(в) = ~К(уа)~ Я. (в)+ 2кт„Ь(в) = ' х т, т 1+ (вТг) 1 + (ой"к)т х В1(т) охр(-1ат)~1»+ 2кт~~Ь(а) = 121ехр(-а~с~) ехр(-1вт)сИ+ 2кт1Ь(а) = 1+(аТ,)' / 1 + (вт1)2 2а 1+ (вТл)к гг'+ а' ц +2х 2Ь( ) Пример б. Найти математическое ожидание случайного процесса ф(1) на вьоюде ллнейной системы с импульсной характеристикой Ь(1), если на ее вход подан стационарный случайный процесс г,(г).
Решенпе. Выходной случайный процесс в установившемся ре- жиме Рн». 1. Схема пропорционально-ннторнрующего фильтра Определить математическое ожидание т, и спектральную плотность мощности Яч(в) напряжения ф1) на выходе фильтра, В(1) = Ь(т) »(1 — т)Ит. Его математическое ожидание т„= М(т((1)) = М Ь(т)г(1 — т)Ит о 1 Прпмер 7, Н айти спектральную ОнарнотО сАучайн й.„(т) = —, Х«д1(й)ехр(«йт)дй. г 2п/ Г1 родпфференцнруем выраженно (2.19) дважды: дзХ«1(т) 1 Х вЂ” 2 †.= - —, / йз®й)е'и'"пй И вЂ” 2н/ Подставляя (2,20) в (2.18), получаем — й д1(й) . РОйт)дй ехр(-«юани = " СЮ дХ(ш) = йзд,(й) д(й — ш)дй = ш'д,(«е). Прнмер й.
На вход дифференцпрующето устройства поступает случайный процесс Х„(«) с математическнм Ожппаппем пз1(«) = Я«п (1«п юррелкщюнной функцией йс(«ы«в) = Х11 Р1-а(«з " «!) 1. копной с(«) стацн Х 'ь ' дХ(ез) = й, ("«)ехр ;«с::., Найлом Запишем выршкенп :: "'1 плОтнОсть мОщиостн п1юпзого процесса с(«), пмеющето 'Е тность мощности производной Г дзй-(т) дт = — / с ахр(-,1 «От)дт. (2.1й) й() Определить математпчесюе вкнданне жч(«) н днсперсню Х1ч(«) процесса т)(«) на выходе системы. рещенпе.
Математическое ожнданне процесса «1(«) пзч(«) = М ~ — ') = —" = (3 соя )З«, «т«Х(«) 1 дпз1(«) ~д«) а Корреляционная функцня процесса д'й,,(«„«з) йч(«~,,«а) =- ' — — — х1«ехр1-а(«з — ««)з) = д«зд«т д««д«з = 2Х«1аехр~- а(«в — ««)Т1(1 —. 2а(«з — «ч)~1. ПОЛЯГЯЯ «З = «« = «, нахолпм ХЗЛ =- 2аХ«1, Прнмер Ф. Найти юрреляционную функцию случайното прот)(«) = Х1(«) + - 1(«) 1 ° тле с(«) — стацнонарный случайный процесс с юрреляцнонной ф1 нкцпей й1(т) ю ба ехр(-а т").
1зещеппе. В ахпъетстапп с формулой (1,7) нетрудно показать, й„(т) = Х«1(т) + — ай (т) + — й з(т) + — ХХ„С(т). 1 1 Корреляцнониая фупкцпя нроювц««пой сташюиарпого случайно«о процесса йз(т) = — — = 2пза ехр(- а т )(1- 2а тз). , ~зй1(т) з „з з 4Т Взапмная корреляпиОнная функппя йд(т) = — х — = -2та б Охр(- а т ), дй~(т) ~«т Учитывая, что й „(т) = й11(-т), н обращая вниманпе на нечетность функции й (т), получаем й Д(т) + й11(т) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
