metodichka-statrad (774122), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если ш(а;) = солзз, 1 = 1, 2,..., то средний риск В будет зависеть только от функции правдоподобня ш(и/а ). Решение принимается в пользу сигнала в, для кото(юго функция ш(и/а,) максимальна. Критерий, иэторому соответствует данное правнло приема ' !';";" слгнала, называется крптернем макснмаяьного правдоподобна. В радиолокации, как правнло.
попользуется критернй Неймана — Пирсона, при котором мннимнзнруется вероятносп одних ошнбок (пропуск снгналов) при условнн, что вероятность других не превьцпает заранее выбранное значенне а. Следует также отметить критерий Вальда. Он позволяет добиться минимума среднего времени наблюдения, необходимого для принятия решения прн обеспеченнп заданных вероятностей ошибок.
Процедура прпнятля решений в задачах обнаруженля сигнала прн использовании критериев Байеса, ндеальнш о наблюдателя, мжалмального правдоподобна н Неймана — Пирсона сводлтся к вычнсленшо отношения правдоподобпя 1(ц) = ш(нхат)/ю(п~яо) н сравнения этого опюшення с пороговым уровнем 1о (порогом): 1О = П„(1-р) 1- р 1а = —; 1о =1:, (о=С, (4З) Пшр где Пш = П(яо, у ), Пш = П(ам у„) — значенля функции потерь прн ошибочных решениях„р — вероятность присутствия полезного сигнала ят(1); С' — постоянная величина, которая находится нз условна, что вероятность выполнения неравенства 1(п) > С при отсутствии полезного сигнала не превышает а. Прн применении критерия Вальда на каждом шаге найподення вычисляется отношенне правдоподобия, которое сравниВаегся с двумя порогамн: Ве(эхннм Л = (1 — р)/я н нижним В = р/(1 — а). Наблюдение за сигналом ведется до тех пор, цока не будет выполнено одно пз неравенств: 1(и) > А: 1(п) < В.
(4.4) Прн выполнении первого неравенства (4.4) принимается решенне в пользу сигнала, а при выполненнн второго неравенства — в пользу шума. Ашорнтм работы оптимального обнаружнтеля в случае детерминированного сигнала н помехи тлпа белого гауссовского шума сводится к вычисленню значения случайной величины д = — l и(1) я(1) й зто / (45) ') н сравнению его с порогом Е хе= (л(о+ —,, Хо' где Š— энергия сигнала; Л'д — односторонняя спектральная плотность мощности шума. Белл л ~~ зо, то принимается решение о налпчии согнала, в противном случае — об его отсутствии. Вероятность ложной тревогп определяется как Е 1п(о+— ш=1 — Ф (4.6) а вероятность пропуска сигнала 1л (о —— — значение огибающей напряжения иа выходе оптимального приемника в момент времени 2 = Т.
Вероятность ложной тревоги для данного случая а = ехр вероятность правильного обнаружения / гз+ аз~ Х) = еехр ~ — ' " ~Хо(с(ов)(Хо. 2 (4.10) гле а,) = ),/2Ж~Ъо; ео = яо/а — нормированный порог. Алгоритм работы оптимального обнаружителя в случае сигнала со случайной начальной фазоЙ и флуктунрующей амплитудой по рэлеевспзму закову п2 ю(а) = — е в о. 2) (22 сводится к вьгчисленню значения случайной величины )то ~ 2 а 222 Е+ 10 "р [Ао(Е+ м4 ' з 22 где Ф(х) = — Х ехр( — —,)г)2 — интеграл вером)костей. ъХйлп Алгоритм работы оптимального обнаружителя в случае сигиа- ';7 ла со случайной начальной фазой сводится к вычислению значения случайной величины (2 = 1пХо ~ — „~ (4.3) 1, А"о/ и сравнению его с порогом во,' здесь Хо(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; где Š— средняя энергия сигнала; в = У,('а, п сравнению его с порогога ))0.
Вероятность ложной тревоги а= ехр (4.12) е2 1 ХХ = ехр '0 2 Е 1 4- —, Л'о Алгоритм работы оптимального различитыя длл случал сигналов сводится к вычислению отношения функшзй пра добия ц(п1вт) )л(п)во) ' илп и)(п~вз) 1п)(п) = 1и )в(и~во)' н сравиени)о с порогами 1(, нли 1п |о соответственно; зпаче выбирается исходя пз выбранною критерия оптимальн фо мулу (4З)). В случае детерминированных сигналов алгоритм свод вычислению значения случайной величины Т 2 о = — )1 и(2)1в)(2) — во(2))(12 ,»,./ 0 и сравнению его с порогом 1 — Р Е2 — Ео 20 — — 1п + Р Если (Х ~~ го, то принимается решение о наличии сигнала вт (г), В п)ютивиом случае — О наличии сигнала во(2) ° Прп р = 1/'2 и Ег = Ео = Е значение порога равно нулю.
Средняя вероятность ошибки в этом случае Р = 1 Ф [))", (1,.)1, (4.17) где гл — коэффициент взаимной корреляции между сигналами а вероятность правильного обнаружения (41З) (4.14) (с (4 1б) В случае спгншчов со случайными начальнымн фазамн алгоритм работы оптимального различителя сводится к вычислению значенна случайной велнчнны о возможное отношенп е мощности сигнала к среднеи р = — =2КТ о = 1~ Хо —, — (и Хо ие снгнал~шум на выходе коррелятора также равно (425) истика фильтра, Обеспечиааюшум в условиях действия гаусс произвольной спектральной кено-частотная характер имум отношения сигнал~ флуктуацнОннОЙ помехи ю Я„(В), имеет вид 5'.*.
(г в) ехР( — 1а1о) (424) Я„(в) шльно возможное отношение сигнал~шум АОв)!'й„ ,~'„(в) Р-=-е р — г задачи пзмерения параметров сигналов нсполь критерии: пнимума средне берется координата квадратичной погрешности (в кацентра тяжести апостерпорного рнорной плотности вероятности ение Х, для которого апостерннмальна); опала правдоподобия (в каче- Х, для которого функционал етнческого параметра полностью из рмулой 1 ."(М' (426 — г' я(1, Хо)а(Т, Х)й ~~о У 1,(1о) = гдето > Т. Согласованный фильтр в момент 1о при флухтуацнонной помехе типа белого гауссовского шума обеспечивает на своем выходе Г 52 53 где Ут и Яо — значения огибающих напряжений на выходах аптимальных приемников, настроенных на прием сигналов ят (г) н яе(г) соответственно, н сравнению его с порогом + 1п (4.19) № р Если о д зо, то принимается решенне о наличии сигнала ал(г), в противном случае — о налични сигнала ао(г).
Прп р = 1/2 н Ел — — Ео = Е значение порога равно нулю. Средняя вероятность ошибки в этом случаев при нспользованни сигналов, ортогональных в усиленном смысле (например, ортогональных частотно-маннпулнрованных сигналов), определяется формулой Оптимальные приемные устройства можно построить на основе коррелятора илн согласованного фильтра. Коррелятор представляет собой перемножптель и интегратор со сбросом. На входы перемнажнтеля подаются принятый и опорньш сигналы.
Для нормальной работы необходимо обеспечить точную синхронизацию (временную, частотную, фазовую). Согласованнын фильтр представляет собой линейный фнльтр с кОмплексноЙ частОтнОЙ ха(иктерисгикОЙ К(3в) = СЯ„*((в) ехр(-,)оМо) (421) где С = сопИ; Ь'„* ( г в) — комплексно-сопряженный спектр сигнала, то > Т; Т вЂ” длительность сигнала. Импульсная характеристика согласованного фильтра записывается в виде макс имальн мощности шума: СОВСКОй плотность При зтом максил При решении чуют следующие 1) критерий м чесгве оценки распределения); 2) критерий (а качестве оце орная плотность 3) критерий СТВО ОЦЕНКН правдоподобия й:.
Дисперсия о веспюго сигнал максимума алеете нки берется то знач вероятности макс максимума функцн берется то значение максимален). ценки неэнерг а определяется фо альной функции д„().) по из) с 2о — истинное значение,:,::,'!. — про меряе измеря взводная второго пор мому параметру в т емого параметра сигнала. Для радиосигнала со случайной начальной фазой ядка сиги очке Х = р~:"',',",:~ где ~д.(3о)! М).)!» = — П1юизводная Вто1юго порядка мол)'ля сигнальной фун измеряемому параметру в точке г.
= ):.с. В частности, дисперсия оценки временного полож импульса со случайной начальной фаюй где А — амплитуда рааиоимп3ньса; /(2) — оги п1зтьса единичной ампшпуды„характеризую дуляцию; у(1) — функция, характеризующая у при использовании критерпя максимума фун добия определяется как щая амплитуд гловую кц пенал .
'.(!д йц ф Здесь » — »(1, Хо)я(1, Х)г(1! с ения раппо- в(2) = АУ(1 — т) соа(езс(1 — т) + гр(2 — т) — О), баклцая радиоим- ..-':,",',:-',,'. иую момодуляцпю, а правдапод~ = (428) ()2 определяется выражением (4.30) (4.31) т аз = 12(д(1))2«2— а Цд(2) ~242 где д(1) = (/(2) ехр(д Й1+2 грг)) / и'2Ег — нормированная комплекс- ная огибающая сигнала»(2). Типовые примеры Пример 1. По каналу связи без памяти передаются символы «1» и «О» с вероятпоспгми р(1) н р(О). Символ «1» передается сигналом яз(2) = А, а сш«вол «О» — сигналом»с(2) = — А. В канале действует гауссовский стационарный шум с дпсперсией дз, Приемное устройство принимает решение о переданном символе по трем независимым отсчетам (иь згз н из) принимаемой смеси (а точках 2~ — — Т/3, 22 — — 2Т/3, 22 — — Т).
Найти алгоритм работы приемника, оптизгальпого по крптерпю минимума средней вероятности ошибки, оптимальный порог при равновероатных символах п вероятность ошибки. Решенпе. Функции правдоподобия сигналов яг(г) и»с(г) при заданных независимых отсчетах иг, иг и из определяются трехмернымп плотностями вероятностей: 2 (42д) ' ,"."б ()2 / 2~Р( - ) ~24 2л где Г(д нала и(1 амплитуд 'в) — спектр ) = /(2)ехр ой А =1. Дисперсия оценки (4.33) нормированной комплексной огибающей сиг(гзр(1)1/з/2Ез, Е» — энергия сигнала а(1) с .""12 смещения частоты Й радионмнульса »(2, а) = А/(2) соа((вс — а)2 + ЧФ) — 01, О < 2 < Т им(аг,из,из~аз) = ( ) х ~,/2 — 2) (из — АА) ) 2 2(иг — А) 2 (из — А) 2') х "хР 2дг 2 из 2дз 3 в:з(иы иг, из~за) = ( х 1,ь 2нд (и + 1)2 (и 1А)2 ( + 1)2 2дг "' 2дг 2 да определяется выражением пг = 1 аз2Е/Л'о (4.ЗО) Здесь т аг «г[д(«)[гА« «[д(«)[гй гг -й —,! / »(«,Хо)»(«, Х)ф Л'о « [д.(А)! = — производная второго порядка сигнальной функции д,(Х) по измеряемому параметру в точке ) = ),о, 3щ — истинное значение измеряемого параметра сигнала.
Для радиосигнала со случайной начальной фазой 1 [д (1о)!"' — производная второго порядка модуля сигнальной ф~нкцнн по измеряемому параметру в точке Х = Ао. В часпюсти, дисперсия оценки временного положения радио- импульса со случайиои начальной фазой а(«) = АУ(« — т) соа1во(« — т) + зр(« -- т) — 8[, где А — амплитуда радноимпульса; /(«) — огибающая раднсемпульса единичной амплитуды, характеризукицая амплпудную модуляцию; у(«) — функция, характеризующая угловую модуляцию, при испальзованин критерия максимума функционала правдоподобия определяется как (4З)) ) где д(«) = [/(«) ехрО Ж+ з у«) [/з/2Л« — нормированная комплекс- ная огибаюпря сигнала з(«).
Типовые примеры Пример !. По каналу связи без памяти передаются символы «1» и яй» с вероятностями р(1) и р(0). Символ к!» передается сигналом зз(«) = А„а символ вО» — сигналом ао(«) = — А. В канале действует гауссовский стационарный шум с дисперсией аг. Приемное устройство принимает решение о переданном символе по трем незавнсимым отсчетам (ис» иг и из) принимаемой смеси (в х «з — — Т/3, « = 2Т1'Л, «з = Т).
Иайти алгоритм работы приемника, оптимального по критерию минимума среднеи вероятности ошибки, оптимальный порог при равновероятных символах и вероятность ошибки. Решение. Функции правдоподобия сигналов яз(«) и ао(«) при з[ '! заданных независимых отсчетах иы иг и из определяются трехмернььми плотностями вероятностей: (4.32) — а [РОа)! Аа — 1 — в[КОа)[~да, (429) / 2% Г 2х где г'(«в) — спектр нормированной комплексной огибающей сигнала и(«) = /(«) ехр[уу(«)[/з/2Е«, Е« — энергия сигнала»(«) с амплитудой А = 1. Дисперсия оценки смещения частоты Й радионмоульса »(«, й) = АУ(«) соя[(ао — й)«+ зк(«) — 6]„й < «< Т 1 из(и1. иг, из!аз) = х 1,Яхпг/ (щ — А)г (иг — А)г (из — А)г1 2«тг 2 па 2пг г г 1з юз(и«, иг, из!за) = ) х („,+ ~)г (и, +А)г (,,+А)г 2пг 2пг 2 па г г Средняа вероятность ошибки Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
