metodichka-statrad (774122), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Решение. Так как г) > О, то ю(з)) = О при т) < О. ) Все отрицательные значенил входного процесса дают на выходе путевое значение. Поэтому ю(з) = О) = ЯЬ(В), где Я— вероятность того, что г„< 0; Ь(з)) — дельта-функция, Для иахоидеиая ю(г)) прц г( > О воспользуемся формулой преобразования плотности вероятности (3,2): Пример 2. На безынерционный двусторонний юадрагичпьгй зг 3 детектор с характеристикой т) = сгс,, г«> О, воздействует стационарный гауссовский шум Цз) с плотностью вероятности ю(Д) = — ехр ~- )«1 =дЪ, ~ йз Определить плотность вероятности ю(п) процесса на выходе Решение. Так как т) Э О, то ю(з)) = О прн ~) < О.
Найдем плотность вероятности ю(т)) для т) .л О. В данном случае обратная функция двузначная: :Ф Воспользуемся формулой (3.3) н получим воздействует стационарный гауссовский случайный процесс с плотностью аероязиостп (3пределить плотность вероятности ю(В)процесса з)(г)иа выходе ограничителя при «> О, Решение. Все значения г, > а преобразукггся ограничителем в одно значение т) = а, а все «начеиня Р«< -)) преобразуются в одно значешю г) = -6, поэтому ю(т)) = О прн г) > о н В <:-6, 1«(г) = о) = Х«гб(з) — а), ю(т) = --6) = «зб(т) ч 6), где «1 и «з — вероятности того, что ~ > гз и Р < -)); Х вЂ” коэффициент пропорциональности„юторый находится нз условия иормнровки плотности вероятности ю(т)). Для нахождения ю(т)) на интервале -а < т) < 6 воспользуемся формулой (3.2), Учитывая, по В = «г„ Итак, окончательно 1 1 ехр в т72ип +Хвт Ь(з) — а) + Хвзб(т(-ь Ь)„-Ь < т) < а.
Пример 4. Найти шютность вероятно ния на выходе ограничителя с характери Пс~ ~~ах ~~ й для есля на вход подается случайнын процесс пением амплптуды. Решение. Очевидно, что ю(77, ) = вй(77, ) + (1 — в)Ь(77, — Ц) стп амплитуды напряже- .::„-„'; 7 "а,; других 7'вх. с рэлеевским распреде- . '":",:ь, где т'а т'в в = ш(77„)сИ7 = 7т —, ехр— 7 я„ „1 па' = — ехр ~, = 1 — ехр 1 2аз,1 а »* в р азер есс воздействует стационарный случайный проц Р(1) = в(1) + п(1), тде в(1) = Ас сов(юа1 + (р) — гармоннчес амплитудой, частотой и случайной началь распределенной на интервале [ — И; н[;п(т нарный шум с нулевым математическим с анной функцией В (Т) = бзг„(Т), Определить математнчесюе ожидани функцию Лч(т) процесса т((1) на выход кин сигнал с постояннои нон фазой у, равномерно ) — гауссовский стацио>жиланнем и юрреляцие птч и юрреляционную е злемента прн условии ':-':::.,' статистическая независимости сигнала н шума Пример 5.
На нелинейный элемент с 11 = атч+ азч 77з„1 2пз) (д) Решение. По условнто ~1(Т) = а,[в(1) + п(Т), + аз[в(1) + п(1)[з = а,в(Т)+ +атп(т) + азв (г) + 2азв(т)п(Т) + азп (1). Математическое ожидание процесса з) (1) шч —— М(т)(Т)) = М(атв(1)) + М(атп(Т)) + М(азвз(1))+ +М(2азв(1)п(1)) + М(азп (Т)). Учитывая, что М(в(Т)) = 0; М(п(Т)) = 0:, М(в(Ф)п(1)) = О, 4 аз + азп П Корреляционная функция Лч(т) = М(т)(Т)т)(Т 1- т)) — птзч = М([а1в(Т) + атп(Т) 1 азвз(Т)+ +2азв(Т)п(Т) -ь азпз(Я[атв(1+ т) + азп(Т+ т) + азв~(Т+ т)+ +2азв(1+ т)п(Т + т) + аапя(Т+ т)[) — т~~ = зА = от Ай сов аЬ т + ат ст г„(т) + аз — а сж 2озе т+ +2а~Аеттзг„(т) сов 6эот+ 2аззп„'гд(т).
Пример 6. На безынерционный ограничитель с харахтеристп- — Ь, ~< — [3: т) = 1, -[1 < 4 < ой а, р>а воздействует стащюнарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и юрреляционной функцией 771(т) = пКт). Вычислить математическое ожидание тл н корреляционную фУнкцито Вч (т) пРоцесса т)(1) на выходе огРаничитела.
Решение. Математическое ожидание -р а ~М = -6 ю(~)й', + я ~м(~)Н~+ а ю(6Щ, -ОО -Р а первый член суммы, что, по существу, соответствует линейному преобразованию процесса г,(з). Пример 7. Случайный процесс Р(6) с функцией распределения Рй(к) подвергается преобразованию после несложных вычислений получаем тч = зпз — 1 — Ф вЂ” — Ф вЂ” 1 Ф вЂ” +Ф где Ф'(и) — производи ая первого порядка от нвтеграла вероятно- с О2 2 Е(6з)4~" ) — ~1~ г".(т). 1 ч — -з Интегрируя по частям дважды и используя известные свойства фу н ФОО(2): Ф1"'О( ) = 0; Ф1 ~(0) = О рн и нечетном, получаем з„~ ) = ~.чГ ~ ~ ~"-н ( — ) я=з пй = пч~~ с„ с„= Ф(" Н вЂ”,.- Ф1 Следует заметить, что здесь определяющую роль для Вч (т) нграет '.
"',-',, козффнциент сз. Поэтому иногда при расчетах учитывают только В случае гауссовского входного процесса изрреляцнонная ',;,:,' функция Показать, что плотность вероятности зс(ц) = 1/(6 — а). Решение. Так как О < Г6(и) < 1, то случайная величина а < т) ~< 6. Поэтому ю(п) = 0 для з) < а и г) > 6. Прн а < т) < 6 обратная функция однозначная, н для нахождения ю(0) на данном интервале воспользуемся формулой (3.2). После простых вычислений находим, что 1 ю(0) = Таким образом, случайную величину с произвольной пл~тносп*ю вероятности можно преобразовать в случайную величину с равномерным распределением.
Задачи дли самвспштельнаго решенив Задача 1. Найти плотносп распределения вероятностп мпювенных значений тока на выходе нелинейного преобразователя с характернсгнкои цаса", и > О; О, в<0, если на его вход поступает гауссовский случайный процесс с ну- левым математическим ожиданием и дисперсией П~, ( (6 -1п1с)21 Ответ: ю(з) = ехр ~- з ~ + 0,6Ь(1), 2па„гХ; ' ~ 2ПЗаз з = О, 1:.
1о. Задача 3. На вход безынерционного квадратичного детелтора с характеристикой 1 = ап подается гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием н днспер«ней п~ . Найти выражение для плотности вероятности огибающей то~и„ считая входной процесс узкополосным с центральной частотой глв, 1 -1 Ответ: ш(У) = — ехр —,. цп2 а(у~ ' айного процесса ристнкой о пределення вероАо соа(вот + <р)„ частоту тоо и слуинтервале [- х; Н1. айного процесса '!.:;~ процесс с нулевым айнога процесса (т) с плотяоспю ШЕННЯ т) = ~з/~т елнчин ст и ~з с ерсиями ттт я ттзт коэффнцнент кор- ДВУХ ЯО нулев реляции Задача 3. Найти плотность вероятностн случ т1(Ь) на выходе нелинейного устройства с характе ,,т~а., г, > 0:, 0, т,<0, если на его вход поступает гауссовский случай левым математическим ожяданнем и дисперси " Задача 4. Найти одномерную плотность рас япюстей для гармонического колебания г,(г) = имеющего постоянную амплитуду Ао, угловую чайную фазу ~р, равномерно распределенную на Ответ: ю(~) =:, ~~) < Ао л)/Ао ' ч Задач» 5.
Найти плотность вероятности случ т)(Ь) = ~ с(Ь) ~, где г(т) — гауссовский случайный математическим ожнданяем и дисперсией ттз. ъ'2 / -т)з'т Ответ: ш(т1) = ехр ~ —,, (. Ъ . ~2 '( Звавча 6. Найти плотность вероятности случ на выходе нелинейного устройства с характерис т) = 1пг,', если на его вход поступает случайный процесс ~ вероятности 1 иД)= —; а>0; Ь>0. Ь-а' Ответ: ю(т1) =; 1па < т) < 1пЬ. ехр(т1) Ь вЂ” а Задача 7. Нанти плотность вероятности атно ррелироааняых гауссовских случайных в ыми математическими ожиданиями н дисп етственна.
Ответ: ит(т)) =, г— й — — 2гт) + — т1 ,а, .я Задача 8. На вход нелинейного устройства с характеристикой т1 = г~ поступает стацнонарпьш гауссовский шум с корреляционной фУнкцией ЛЬ(т) = пят ехР(-а~т~). Найти корреляционную функщпо и спектральную плотность мощности процесса т)(т). Ответ: Лч(т) = 2О4 ехр(-2стт 2 та Я„(ет) = Апт ьйтхз+ из Задача 9. Найтн плотности вероятностей огибающей н фазы гауссовсвэго узкополосного случайного процесса г,(г) А(ь)соа(пттг + <р(т)1 с нулевым математическим ожиданием и дисперсией и . А т' А'т Ответ и(А) = — ехр ~- — ); то(тр) = —: 0 < ~р < 2к. ттз т, 2ттзу ' 2х' 4. Оптимлльиык метОды рАдиош икмА Крвгияе теоретические сведенвв Любую задачу приема сигналов можно сформулировать как задачу О принятии ретпення, ката1тая состоит в там, чтОбы на ОснО- ванин априорных данных о пространстве сигналов 5, пространстве помех дт, распределениях вероятностей на этих пространствах ю(а) н ю(п), способе взаимодействия снгнала а и помехи и н заданной функции потерь П(а, у) по полученному сигналу и оптимальным образом приюпь решение у о тахт„какой конкретно из сигналов был передан.
При этом за показатель оптимальности правила принятня решения можно взять величину В = П(а, у„)ю(в, п)даИН, называемую средним риском„юторый характеризует средние потери, свктанные с прпнятием решения. Оптимальным правилом выбора решений будет такое, прн котором значение среднего риска будет нанменьшим. Такое правнло яазьшается байесовским, а критерий оптимальности — критерием Байеса. В технике связи ошибочные решения одинакова нежелательны„ поэтому целесообразно функцню потерь задавать в виде ( сопад з у'= у -',О, Тогда В = сопяз~~> ~~> ш(а;, у„), (4.2) т.е.
средний риск с точностью до постоянной совпаллет с поя- $ ной вероятностью ошибки. При этом критерий Белеса переходит в критерий мнннмума полной вероятности ошнбкн (он носит также следующие названня: крптернй идеального наблюдателя, критернй Котельникова — Знгерта, критерий макспмума апостернорной вероятности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
