metodichka-statrad (774122), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таким образом, т) = В;(т) + —,Ь': (т) = 1 сз) + 2озехр( — а222)(1 — 2а плотность распределения веро Вч( = аз ехр(--аз Пример 16. Найти чайной величины ятностей слу- т г) = в(2)и(1 уМ, 0 ванный сигнал с длительно кий белый шум со спектральн где в(г) — детерминиро мошности Ло/2. Решение. Интеграл стью Т и зиерпг- ':,з ой плотиоспло,:.,:~. 1 = в(2)п(2)~В ауссовскую слу ийную величину, так юк лучайный процесс, а интегрирование — ли- аз = М(2)(2) 1)(1)) = = М п(тг)в(тз)~Из п(22)в(22)птз 0 о М(н(тг)п(тз))в(т,)в(22)221сИ2 = = — ~ ~ ь(тз — тт)в(тз)з(22)Итие = Лго ГГ Математическое ожидание т т шч —— М «(г)п(1)гй = М(н(2))в(2)й = О.
Дисперсия — / в(т1) б(тз — т1)в(т2)йт2йтт = й"0 Г й~, г МОЕ = — ~ в(тг)в(тг)йтт — — —. 2/ 2 Задачи дли самостоятельного решении Задача 1. Иайтп математическое ожидание, дисперсию н плотность распределения вероятностей для случайиопз процесса и(2) = в(1) + п(2), где в(2) = Я сов(022 + ~р) — детерминированная функция; п(2)— гауссовский случайный процесс с математическим ожиданием ги„(2) и днсперсиен ол(2). Ответ: гп„= пз (2) + Ясов(г02 + <р); аз(2) = оз(2); 1 ( (х — (оз„(2)+ Всоз(аз+ <р)))2 „/2 ха„(З) ( 2 а'„(2) Задача 2. Найти математическое ожидание, дисперсию и плотность вероятности случайного процесса н(г) = в(2) 1 в(г)~ где х(2) и у(г) — гауссовские стационарные случайные процессы 2 с математическими ожиданиями т и тз и дисперсиями а и»„, характеризующиеся взаимной корреляционной функцией В з(т) = В„,(т) = В(О)ехр(-112~).
Ответ: ги„= гп„+ пт„; а~ = а~ + азз + 2В(О); 1 ) — (и — (гл + гпя))2 ( Зт~~~.~вд 1ЗЧ+Ч".'вВЗ1' Ъщача 3. Найти плотность вероятности случайного процесса 11(2), представляющего собой сумму большого числа независтпнзх случайных процессов Ь„.(г), юокдьш из которых распределен по 31:1. :'.' Рве. 3. Схема Х««;-фияь«ра «4 закону Рзлея «(~1) = ~«р:*', Х„> О, « = (,2,...,Л' ("-"Л о . («1= р Звдвчв 4. Нк вход линеиной системы подеется скученный проне«ьс с произвольным зв«ОНОм («еспределейия. Сф««рмулйровкть условйя, при кот««рь«х звкой (июпределеййя вьпищной величины «)(Г) можно считать гвуссовскйм. Задача 3.
На вход дйфферейцирующей цепочки (рнс. 2) воздей-: ':,", ствует случяйное напряжение с(Г), представляющее собой шум, спект)жльнкя плотность котО(юго ( О,в< О;в> в«. Рнс, 2. Схема лифференцирухицей цепочки Найти дисперсию Х«ч няпряжеиия «)(«) нк выходе цепочки. )то 1 Ответ; Х«ч = — (⫠— — агс«й е«ЛС]. 2л ЛС Задача б. Нк вход системы (рис. 3) воздействует ограничен- ''( нос по полосе чкспп случайное напряжение Х(Г) со спектркльйой )' )уо, вс — Х«в~ в< во+ Х«в;.
О для всех друтих Оз. З2 Найти спектральную плотность Ял(а) напряжения т((Г) нк ны, ( ), Лз+ (всЛ«Х(з)з во = Ьв б в с,' щ« 4 Ьв, Звдвчв 7. Нк цепь, гоств«ьъенйую йз пес««едовктельй«1 соеди- ненных индуктнвности Х, н сопротйвления ХХ (рис. 4), в««здейстяу- ет напряжение ~(г), предстквляющее собой белый шум с нулевым матемвтическйм ожидкнием 1««( = О й спектральной плотностью ЯГ(В) = —, -ОО < В < ОС. ЖО 2 ' Найти спектральную ёлтжость мощности Вя (В) и корреляцп- онную функцй«о Лч(т) напряжения «)(г) йа сопрогивлеийи Л, М) Лз О «ы„(м 2 Лз+ (вА)з' Х(о Л г-Л~т)~ Л (т) —. — — Охр(— 22Х '1 Х Задача И, Определйть, какие нз случвйиых процессов с к««рре- ляциОйиыми ф~ икциямй являются д««ффереицнруемыми: 1) Л(т) = ехр[-Х)т)«~; 2) Л(т) = охр(-)«(тй сок вт; 3) Л(т) = ехр(-азтз); 4) Л(т) = ехр(-азтз) сок вт.
Ответ: 3) н 4). Задача 9. Определить корреляционную функцию процесса Ч(г) = —, «(Х(г) 4г где ~(т) — стационарный гауссовский случайный процесс с математическим ожиданием гл- = 0 и корреляционной функцией В1(т) = й1 ехр[-а[я[](1+- а]т[). Ответ: Вч(т) = азХ)г[1 — а',т]] ехр[ — а]т]!. Задача 10. Показать, что стационарный случайныв процесс г,'(г) н его производная в совпадающие моменты времени некоррелнрованы. Задача Н.
Определить корреляционную функцию п дисперсию '- ' ~-;; случайного процесса Ч(т) = ' если В1(т) = Аехр[-а]т]](сое [3т+ — епт [3[т]). Ответ: В 1(т) = А(аз + рз) ехр[-а[т[Цсоз рт — — еш [1[т[]; Р аз = Вч(О) = А(аз .+ рз). Задача 12. Определить взаимные спектральные плотности мощности В ь(ю) п Яз1(ез), если В1(т) = Аехр(-азтз). 'З ,lхА т' вз 'т Ответ: Я. с(оз) = -В' (оз) = тв — — ехр [ — —.(. ц а [, 4аз(' Задача 13.
Найти корреляционную функцию случайного процесса Ч(т) = ~(1)гН, О где Ц(1) — стационарный случайный процесс с корреляционной функцией З. НРОХОжДЕНИЕСЛУЧАйНЫХПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕИНЕРЦИОННЫЕ СИь ТЕМЫ Краткие теоретвчеспие сведении Простейшим нелпнейньен преобразованием является преобразование, прп котором значение выходного процесса Ч(1)в любой момент временл определяется только значением входного процесса ~(1)в тот же момент времени, т. е. (ЗА) Прн таком преобразовании плотность распределения вероятностей находится легко. Пусть входной случайный процесс имеет плотность распределения вероятностей лу(г), а выходной процесс Ч(г) = ~р[г(г)], причем обратная функция Ц(т) = тр[Ч(т)] является однозначной. Тогда плотность распределения вероятностей выходного случайного процесса определяется как ю(Ч) = ю[у(Ч)] Если обратная функция является К-значной„то (с=1;-ме1] "'"] Пусть случайные величины т)ы Чз,...
„Ч„опрелеляютсл как Ч; = р„дт, 1з,..., 6„),, 1 = 1, 2,..., и, причем обратные функции Ц = тру(Чт Чз ". Ч ) явлатотся однозначными. Тогда (ЗА) В1(т) = пзехр[--а[т]!. пз, Ответ: ВЛ(тт,тз) = — з[2аппп(тт,тз) — 1 + ехр(-ац) + + ехр( — тмФз) + ехр[ — а[от — тз] . с.(Ч1.Ч " Ч.) = [%(Ч . Чз.. Ч ) МЧп Чз Ч ) Чг (Чт Чз". Ч*)!'1Ч (3.й) (3.9) ИН ~1, Ч2,..., ~ К:,:!""!, (3.1б) (3.1 1) дЧ1 дЧ2 дЧ д42 др2 доз дЧ1 дЧ2 дЧ„ (35) — якобнан преобразований от случайных велич ~~у ай ве(пгчинам Ч„Ч2,"., Ч. Рассмотрим частный случай. Пусть 1 = 41: Чз = Р(1 12) причем обратные функцю1 (Чз)= (~1 Чз-~1) ~,: Ч2=~1+42; п((Ч2) = к(2(с1, Чз+ ~„)(»гн;. 112 = ~ — Р (Чз)= юз 1»ч ( ~~»11: Чз=Ы "1 (~11~ (Ч ) = '2(Я Ч 11)~1М11: Ч = 12/11.
~ =Ч:. 1 = У(Ч.Ч) явлюотся однозначными. Якобиан преобразований 1 О дз(»2 д'тз — — дЧ,,' дЧ1 дЧ2 Плотность распределения вероятностей случайных величин т)1 и 112 (Ч Чз)= (Ч МЧ Ч)1 д„~~ (3-б),';-'". д(рз ( Пропнтегрировав выражение (3.6) по переменной Ч1, найдем плотность распределения вероятностей ю(Ч2) случайнон величины т12, которая представляет собой функцию двух случайных величин: 'дМЧ1. 2)~ (ь(= / ~(ч,:г (ь,чд т'(""~ ~юц,.
(з.7( Используя формулу (3.7), нетрудно найти плопюсти вероятно;„,:!1( '<. стай сумма(, 1зазностн, п1юнзведеиия и отнощения двух случайных величин: ':! з В общем виде корреляционную функцию выходноп1 процесса 11(») можно определить как х„( „ь( = ~ ~ (((,(- ~(,(((((ь(- -,(ь(( ~2 (Ч1. Ч 2; "1.
»2)(»Ч1(»Ч2. (3.12) При однозначной связи Ч = (р(~) справедливо равенство п((Ч)НЧ = тД)(»~, и формулу (3.12) можно переписать а виде ЛЧ(»1:» ) = ф(Р )р(1 )х 2(Ч1! ~ »1. »2)(»Ч1(»42 гол(»1) Ч(»2) (313) Прн вычислении интеграла (3.13) прижздится прибегать к различным способам аппроксимации характеристики нелииеиного устройства, Часто используют полиномнальную н кусочно- линейную аппрокспмации.
Прн полиномиальной аппроксимации характеристику налипай-::ф ного устройства представляют в виде ряда Тейлора г) = «РФ = па+ а«(Р - с) +... + аи(с - с)", (3 14) где 1 4'ф(Ф)~ оь = — « — р-~ Й Функции ф(г) должна быть аналнтпческой в окрестности тачки ~ — — с. Число членов ряда определяется точностью аппроксима- «-' Корреляционная функция записывается в виде 1«««(1«,«з) = аД + аоа«[М(Ц(1«)) + М(~(«з)) — 2с)+ +айМ(1(1«)~(«з)) сМ(1(1«)) — сМФ«з))+ +сз! +...
+ а2М((1(1«) — с!" %12) — с!") — ««(1«)т««(зз), (3.15) т.е. является линейной комбинацией моментных функций входного процесса. Прн с = О ряд (3.14) переходит в ряд Маклорена. В случае кусочно-линейной аппроксимации используются сами нелинейные характеристпки и статистическое усреднение осуществляется непосредственно с плотностями вероятностей. При этом область интегрированлл разбивается на ряд подобластей, в каждой нз изторых нелинейная функция записывается в явном виде. При решенпи задач с гауссовскими стацпонарнь«ми случайными процессамн с нулевыми математическими ожиданиями часто оказывается удобным представление двумерной плотности вероятностп в виде ряда /з .л(т) .,Д„1з: ) = -'У Ф"' ~ — ") Ф" 0 ~ — ') ', (3.1б),';.::',:: и 1, «т,г и! ч — -о — интеграл вероятностей; Ф(" «) (з) — производная и + 1-го порядка ог интеграла веро- атно стай; г1(т) — нормированная корреляционная функция случайного процесса г,(г).
Разложение (3.16) позволяет легко находить двумерные моментные функции любого порядка: «««««(т) = ч«ч2«лз(ч«~ чз~ т)«1ч«442 аю гь(, ) = и'а'~~~,М,ьА ь ", ь-а (3 17) где Можно указать следук«щпй алгоритм Лля нахождения коэффициентов Ж ~, 1)Л„=О.
р<й; 2) Ж««ь = О, если индексы )«и й имеют различную четность; 3) во всех остальньгх случаях к заданному числу р добавляются в качестве сомножителей числа ()« — 1), (р — 2), (1« -- 2) и т.д. так, чтобы всего было й сомножителей, затем все нечетные числа от (р — )г + 1) до 1, исключав число (1« — й + 1): 4) коэффициент К„ь поло«витален„если индексы четные, в противном случае он берется со знаком мпнус. г Гпповые примеры «е(ч) = тг2 ехР— 2пг Пример 1. На безынерционный односторонний квадратичный детектор с характеристикой а~, Р>й,а>О; 0,~<0 г воздействует стационарный гауссовский шум фг) с плотностью вероятности -Ь,г, < -(); т) =- грЯ) = «~, -() с ь сй а,г,>п О, з)<О; ю(~) = — ехр ~- 1 ( (г,-пг)Ч ,йкп ео Определить плотность вероятности ю(г)) процесса з)(г) иа выходе детекюра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
