metodichka-statrad (774122)
Текст из файла
!. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 1Л. Краткие теоретические сведения Случайный процесс описьпиется случайной функцией ф(1), значение ютарой в любой момент времени 1 представляет случайную величину с определенным законом распределения. Наиболее полными характеристиками случайного процесса 1(1) являются: ° и-мерная функция распределениа вероятностей У„(хг, хз,..., х„; 11, 12 „.. „1„) = = Р(~(11) < х11ч(12) < х2*'' ' '.'1(1п) ' хв) ( ) (ана определяет вераатность совместного выполнения и неравенств ~(11) < хг, ~(12) < хз,..., ~(1„) < х,„где Ч(1ч)., 1' = 1,2,..., и — значение случайнога процесса в момент времени 1;); ° и-мернаа платность расгцзеделения вероятностей Я (х1; Т2 ° ° ° 1 ° 12 ° ° ° ° 1 ) дпР~(х х, х.1 1, 1 ) дхгдхг...
дх„ ° и-мерная характеристическая функция ес.,.1',...,~.„;к,ь...,~.~-м(п ~С.1))= где М(с) — математическое ожиданно случайной величины ~, Чем болыле значение и, тем более детально описывается случайный процесс. указанные характеристики равноценны в смысле количества информации о случайном процессе, содержащейся в каждой из Плотность распределения веролгностей удовлетворяет следующим условиям: 1) п1„(хг, х 2,... „хч ', 11, 12,..., 1 ~) > 0 (условие положительной определенности); 2) ...
М4х1, хз,..., х„; 11. 12,..., 1„)дгг 1(хг... дЪ, = 1 (условие нормировки); 3) юь(хг..хз,",хь:11,12, ",11) = " иР(хг,хз., ", х„;11,12,...,1„)дх~+1й:ь+2...Нх„,к < л. (условие согласованности); 4) плотность распределения вероятностей ю„(хг, хз,..., х„: 11,12,..., 1„) не изменяется при любой перестановке аргументов 2 1, 22, ° ° °, хи (условие сг1ммегрии) Многомерные характеристики случайных процессов являготся наиболее полными.
Однако прн решении ряда задач оказывается достаточным знание более простых характеристик. К ним относятся так называемые моментные функции. Различают начальные и центральные моментиые функции. В общем виде и-мерная начальная моментика функция порядка ч = т1 4 тз + ... + зг„, где т1 — целые числа., определяется слелуюпгим образом: м„„„,„(11,12,...,1„) = м(ф1,)1" [~(12)]"... (г(1„))') = х1гхгз...хъ ю (х1 х2 ... х;11 12..., 1 )х ЕХР(г П1Х1 + ° ° ° + Яадяч) Х хю~(х1,...
хд',11,... 1д)Нх1 ...1(хд~ х:гх11гхз ° ° ахи ° (1.4) Центральные моментные функции определяются так же, как и начальные, но вместо случайных величин ~(11), 1 = 1,2,..., и, в формуле (!.4) берут центрированиые случайные величины ~(11) — пз1(11), где ш-(й) — математическое ожидание случайной величавы г,(г„), На практике наибольшее применение получили: 1) одномерная начальная моментная функция первого порядка й21(1) = М(Щ) = Хшз(Х;1)ИХ = пзО(1) (15) — математическое ожидание случайного процесса Ц(г); 2) двумерная начальная моментная функция второго порядка Ы11(О1 12) = М %11)и!2)) = Х1 Х21л21 Х Х2 11 12) ИХ 1 ИХ2 О О + —,.Р ~~> ~~1,.
л111(1Ю2О)иаит+ Х „,„1 О О О + — /~~1 ~~1 ~~1'М111(2„,1„,21)п„и„их+... (!.1й) Я1 а=1 у=1 2=-1 Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если плотность распределения вероятностей произвольного порядка не меняется при одновременном сдвиге всех точек г1, 12,..., 1„ вдоль оси времени на любой промежуток времени т. В частности, лля таких процессов 1л1(х,т) = 1с(х); газ(х1.
х2111,22) = газ(хг,хз;22 — !1) = шз(хг>хз' т); (1.1 1) МД(1)) = гп~ = сопя!; В~(2) = ЙГ = сопз1; Вф1,22) = В~(т). Случайный процесс называется стацпонарным в широком смысле, если Мй(1)) = гп6 ОФ = .0(! ВР1 22) = Вг,(т) (1-12) Очевидно, что случайный процесс стацлонарный в утина смысле является стационарным и в широком смысле. Обратное утверждение несправедливо за искшочением гауссовских случайных процессов„для которых оба пон1пия стационарности совпадают.
Случайный процесс называется зрп1дическим, если все его статистические характеристики„полученные пугем усредненпя по множеству реализаций, с вероятностью, равной единице, совпадают с характерисгикамп, полученными пз одной достаточно длин- = Вф1,42) (1.7) — корреляционная функция случаиного процесса; 4) одномерная центральная моментика функция второго поряд- дтхФУФ-!-...+О ! дп1'дпз ...да~" ~ ОЗ=ОΠ— "..=О =.-О Соответственно я=1 ::$ = Вф1,12) (1.6) — ковариациоиная функция случайного процесса; 3) двумерная центральная моментика функция второго порядка !11 А 12) = МЯ(11) — ° г(г )БН2) — 612Ю = (х1 — тф1)!1хз — гвГ(гз)!п12(х1, х2,21,12)Их1ИХ2 —— — ОО ОО ::$ 1 ОО О 112(г) = МЯ(4) — тф)!2) = (х — гпф)1121с1(х: г)лх = -ОО $ = Мз(1) — т1(г) = В~(г,1) = В1(1) (1.8) — дисперсия случайноп1 п!юцесса.
Моментные функции можно найти через характеристические 6 ::$ ной Й-й реализации х1 1(1) усреднения. Для таких про сюго ожидания, дисперсии Для стационарных процессов (1,17) ' 'е я оценки зуются пофо(змулой 1 2В(О),/ где [р(т)',. '— модуль огибающе Величина ть даст представя промежуток в среднем раси Важной характеристика тральная плотность мощностл зование Фурье от ковариаци ой зн. пек- бра- времени нные свя вляется с как прео 2 31 (в), в ~ 0; В1„„Д„(в) = О,в<О, (123) 1 случайнога процесса путем временного цессов в качестве оценок математиче- и юрреляцлонной функции приишанот (1 13) т г тй = 1пп — ~ к(")(1')В; 2т1 — т 23~ —— 1(ш — 1 [к(ь) т 'аз2У з -т г В1(т) = 1ш1 — / [ T-~с.» 2T -т Корреляционная облалаег следующими сво 1) В1(т) = В1(- т); 2) В1(О) = 271, 3) В1(0) > В~(т): 4) для многих процессов йш В*(т) = О; 5) В(т) -1"'(т > О.
У различных случ " прострашпотся на ра степени юррелированн иятием <(интервал юр (1) — тф(1; (1.14) х(~1(т) — т)[х(~)(1+ т) — т)й1. (1.15) функция стационарного случайного процесса йствами: анных процессов корреляционные злнчные промежутки времени. Дл осги случайных процессов поль реляции», юторый определяется [р(т)[ = — у'[р(т)[Й*, 1 В(О) / О й корреляционной фувщип. ение о том, на какой ростраюпотся корреляцио й случайного процесса я ВЙ(в), определяемая анной фуикцлн. Справедливо и обратное преобразование Фурье Для центрированного случайного процесса со(1) ) В (,) -ует(, 2 В (,) 1. (1٠— О» О ~1,(~) = — ~ В1,(~)сз ~~ = — у .Яг,(в) ~ы~~.
(1.20) ~ВС Так как ковариационная функция стационарного случайного процесса к1(т) = Вь (т) + тз1, (1.21) нетрудно видеть, что Я1(в) = 81, (в) + 2ктз Ь(са). (122) Спектральная плотность мопшости обладает следующими свойствами; 1) Я(в) > 0 при любых в; 2) Я(в) = 5(-в) для вещественных случайных процессов, Спектральная плотность в формулах (1 17) — (1.20) определена как для положительных, так и для отрицательных значении кру- гавай частоты в, т.
е. является двусторонней. При решенил задач часта пользуются односторонней флзической спектральной плот- ностью. Для центрнрованных процессов Я«(в) = 4 В1 (т) соа вт«3т; Л~(т) = — ~ Я~ (а)соавтИв г — й / случаиного процесса явля , определяемая как 1 Г «3в, = — ~ 3(в)дв,, б„! ' Однои из характеристик тинная ширина спектра ЬЕ~ где 8 — макспмальное значение спектрал Для па1«ы случайнь«х п1«оцессов Ц2) взаимные и«вариационные функции: К-ч(1«,22) = М(~(2«) «3( К„«(2«, 22 ухе«(у, х н две взаимные коррелашоиные функции )[[ч 33;ч(гп 22) = м([4(1«) — п«1(!« гл1(««)[[У вЂ” п«Ч («2) В„й(2м22) = М([«1(!«) — шч(1 [у — «пч(1«)[[к — 1(!2) '4- (124): '- -!х: (125) ется зффек- .
-'',;~~' (126) ".ф' ': '.;::Х; ьной плотности мошно- "-1.. ««1(1) можно найти две / куш(я. у: 2«, 12)Ииб!«: (127) ) = М(«3(г«)ч(гз)) = '4- : 1«, 12) Ия«3у (128):, —::-з' (!2) - ° ч(2 )[) = [ш(к, у; 2«, 12)3и«)у; (129) ':",::;' ) 1[1(12) — Ч1(12) [) = [ш(у, х; 1ц «2)«(х«)у. (1.30) Для совместно стационарных в широком смысле слу ейных процессов г,(г) и «3(г) справедливо равенство К«ч(т) = К„«(-т). (1З! ) Случайные процессы г(1) и т1(1)можно характеризовать юаимными спектральными плотностями. Для стационарно связанных в широком смысле процессов они определяются как прямое преобраювание Фурье от взаимных ковариационных функций: Я1ч(а) = К1ч(т)е 'ест: (132) Я,1(в) = К„«(т)е «~'«32.
(133) Соответственно по взаимнь«м спектральным плотностям мошности, использул обратное преобразование Фурье, можно найти взаимные ковариациоиные функции. 12. Типовые прлмеры Промер 1. Иайти одномерную и двумерную плотности распределения вероятностей процесса г„(2) = асов а«2+ [3вш о«2, «де в = сонм; а и [3 — взаимно независимые гауссовские величины с пулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями 3"«а = 1:«р = и 2 Решение.
Для любого фиксированного значения ! случайная величина Р представляет собой линейную комбинацию гауссовских случайных величин. Поюсь«у она также является гауссовской. Следовательно, для определения ш(к; 1)и вз(и«, кз; Й«, !2) необходиью найти математическое ожидание М(с(г) ) и корреляционную фун«щню Л(11, 12). В соответствии с (1.5) т1 = М( а соя о«2 + [3 аш аг) = М(а) соа е«2 + М([3) гйп е«2 = О Корреляционная функция определяетсл как г1(1«,1г) = М((асов вг«+ ра1п вт«1(асов вГз + 1Ь1п вгг)) = = М(аг) сов в1, гоа еМз + М(а Р) сов огг«вш огсг+ +М( ра1 с 8 вгз ащ Ом« + М((зз) яш в11 Ящ в12 = = аз оэа еи соа вГ + аг вш в~ в1п вГ = аз сов в(1 — 1 ).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
