metodichka-statrad (774122), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теперь нетрудно записать выражения для исюзмых плотностей распределении вероятностей: хл . «сг (х; 1) = — ехр(- —, ) ", «/2ха 2 ос ььз(уг; из! 11 ° 12) = 1 ~ хз« вЂ” 2Ж«кзота вт+ угг ехр з ° '~т-7й'йт ' ~ 1 иь — "~~) Пример 2. Пусть ~(1) н т)(Ф) — гауссовские некоррелированные случайные процессы с математическими ожиданиями т- и тч и дисперсиями а~~ и сгг. Записать совместную плотность распределения вероятностей юз(х, р).

Решение. Учитывая, что некоррелированные гауссовские случайные процессы являются независимыми, нахогшм иьг(к,р) = иг(к)вг(у) = ( „, )2 ( )21 2иа;а„1ь 2о~ 2а'„ Пример 3. Доказать, что параметры т и а плотности гауссовского распределения ивликпси математическим ожиданием и средним квад1япнческим отклонением. Решение. Найдем среднее значение случайной величины г,': М(Ц = и ехр —,, Их.

Введем переменную Тогда г М(г) = ~ — ехр — (за+ т)сЬ = — /,,2, ОО ~Ю ~Г 1 г 3 а — ехр — зг(х+ т / — ехр — Их ./ «/2х 2 / «РХж 2 Дисперсия М((~ — т)г) = (к — т)г ехр ~— ~4ха ~ 2аз Введем переменную М((~ )г) ~Ли 2 2~о~ ~' 1 „з — з ехр — + — ехр — пг / г2х Пример 4. Найти одномерную характеристическую гауссовского процесса ~(1), имеющего плотность рас вероятностей в(к) = — ехр 1 ~ (х — т)'') ,/2ха ~ 2 аз Решение.

В соответствии с формулой (1.3) г 6(ун) = ~ ехроих) ехр ~ ~И '2 а ~ 2а 1 — ~хз — 2(т+ риаз)х+ пзз] 2 2 пи 1 -»из — 2и(пт + уыоз) + газ + 2 ~ ~я ияоа' х ехр,1пги —, от = ехр )игп— 2) Пример 5. Найти спектральную плотность случайвзго процесса, корреляционная функция ляется как П(т) = В ехр( — а~т~). Решение. В соответствии с формулой «1.19) я(в) = Вехр» — а~т1) ехр(-1вт Решение.

В соответствии для первого случайного для второго случайного — В ехр(ат) ехр(-,гвт)И+ 8 ехр(- ат е (7(а — )в)) 0 * Г- т(а+ ~.-( 1 =В + =В г я 1 1 1 2 а — ув а+ зв~ ая+ Пр рй.нй рр ц у фу ц равномерную спекгральнуго плотность мощности полосе частот ( — Ьв, Ьв) и нулю вне зтой поло Решение. В соответствии с формулой «1.211) 1 Г Ла . 1 Ч1осхр Л(т) = — ~ —, ехровт)4в = —— 2и / 2и 2 1 Жо2,1яш Ьвт 1 а1п = — Фа Ьа —— 2и 2 йе 2и Ь Пример 7. Нанти интервал корреляции случ нмеющлх корреляционные функции: Й(т) = Аехр( — и т )) В(т) = А Пример И.

Найти зффе го случайного процесса, с 2а вид Я(в) = а'+ вз' Решение. В соответств 1 Ьв,= — ( Я БЩ ( 1 1+ (в/а)" Задачи дли е З~щача 1. Найти матеь зательного распределения в(х) = 1 — 1яя — 2я(гп + анна) + шя + 22нггат — няня[ — ехр ~ ~ ![ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ я Х ч 2ха 2оа 2оа~ Г аа2'1 х ехр йлгп — — пх = ехр 1нт1ь — — ~ ° Пример 5. Найти спектральную платность центрнрованного случайного процесса, корреющнониая функция которого определяется как Л(т) = В ехр(- а[т[).

Решение. В соответствии с формулой (1.19) Я(в) = Вехр(-а,т[) ехр(-увт)йт = Вехр(ат)ехр(-увт)с~т+ Вохр(-ат)ехр(-2вт)~И= ехр[т(а — гв)[|с ехр[-т(а+ув)[ (а — эв) |, -(а+,1в) а 1 1 1 2а а- ув а+ ~в~ а'+ ва Пример 6. 1-!айти корреляционную функцию шуна, имеющего равномерную спектральную плотность мощности, равную Л'в/2 в полосе частот (- Ьв, ЬВ) и нулю вне этой полосы.

Решение. В соответствии с формулой (1.20) 1 Г Ж~, 1 Рйс ехр(~вт) [~'в В(т) = —, ( — ехровт)йв =— 2х / 2х 2 1т -Ье 1 .У~22вш Лвт 1 „вш Авт 2х 2 /т 2х Ьвт Пример 7. Найти интервал корреляции случайных процессов„ имеющих корреляционные функции; В(т) = Аехр(-аята); В(т) = А' Решенце. В соответствии с формулой (1.16) для первого случайного процесса ехр(- атта)Ат = 2/ Яж Г 1 -2(ат)Я ~ — ехр Н(Лат) =— 2,2/ ~2 2а' для второго случайного процесса 1 Г ашат 1 Г вшат х Ит= — ~ дат = —.

2 ат 2а ат 2а Пример К. Найти эффективную ширину спектра стационарного случайного процесса, спектральная плотность которого имеет 2а вид В(в) = а' + вт' Рещение. В соответствии с формулой (1.26) йв,= — ~ В(в)дв= —, ~,, Гв= В(О) 1 ' 1 ая+ р а 1 „тИ(в/а) = аагс1й(в/а)[ = ах 1+ (в/а)я Задачи дли еамесгоительноге решении Задача 1. Найти математлчесьое ожидание и дисперсию показательного распределения ) ехр(-Р-т),и > О, в(я) = О,и<0. 1 1 Ответ: М(г) = —, В = —,. Х' й),~~ в Ав— В(т) =, ящ соя вот, 2Й Ьв 2 , -„2)з г З адача 2. Плотность показательного распределения югеет вид Секр(- 3: т), х > О, в(х) = О,к<0. Найти поствюаную С.

Задача 3. Найти дисперсию случайной величины Р„распреде- ленной равномерно в явтервале (а, 6). (6 — а)" Задача 4. Найти дисперсию н юрреляционную функцию бело- го щупа. Ответ: Х) = оо, В(т) = — Ь(т). -'~'о Задача 5. Нанти юрреляцнонную функцию случайного про- цесса, нмеющега спектральную плотность Я(в) = Аехр(-азвз). Ответ: В(т) = ехр( — тз/4аз). 2~/йа Задача 6. Найтп корреляционную функцпю п спектральную плотность мощности для стационарного случайнага сигнала с(1) = Аогйп(во1+ <р), где Ао н во — постоянные величины; ~р — случайная вели- чина с плотностью распределения вероятностей п)(<р) = 1/2п, — л ~ )р < м.

Ответ: В(т) = — сси вот', Я(в) = — (Ь(в — во) + Ь(в+ Аз~ А~оп, 2 ' ' 2 + во)1. Задача 7. Найти спектральную плотность молпюсти случайно- го процесса, юррещщнонная функпия юторога определяется вы- ражением В( г) = ехр( — аф) соа вот, 1 1 Ответ: В(в) =сг из+(в во)з+,„з+(, + я ?, Задача й. Найти корреляционную функцию стационарного слу- чайного процесса ~(г) с нулевым математическим ожиданием и "4 спектральной плотностью мощности ) —, — вз ь) в ~~ — озг) вг ~ ~в 'ч М) О при других значениях в. ощ + озз во = 2 Задача 9.

Найти спектральную плотность мощное го процесса р(О) = -4оп(1) соя(во1+ ф)) гле Ао и гоо — постоянные величины; п(г) — стационар шум с корреляционной функцией В(т) = — Ь(т); 2 <р — случайны фаза, равномерна распределенны на (- х, и). АзМо Ответ: Яг(в) = — л — "-. Задача 16. Найти корреляционную функцию сигнал я(1) = Ао~(4) соя(озо1+ ф), где Ао и щз — постоянные величины; г,(Ф) — стационарнь ный процесс с нулевым математическим ожиданием и анной функцией Вй( т); ф — случайная начальная фаза, рав распределенная на интервале ( — и, и) и не зависящая от Аз Ответ". В('г) = — йВ1(т) соа вот.

„2 Задача И. Найти интервал юрреляции случайных имеющих корреляцпанные функцпп: А (1+ азтз)' В(т) = .4ехр(-а~т(). 1 Ответ: ты = —; тьз = —. 2гг' гг' Задача 12. Доказать, что корреляционная фуикпи ння двух взаимно неизррелироваиных случайных П(т) с нулевыми магематичесюпии ткилиюгкьщ и ми функцияьги В1(12,22) и ВЧ(тг, Гг) равна прон ляционнь2х функций сомножителей. Задача 13. Доказать„что не существует сгацио ного процесса г,(г), корреляционная функция изт ется как ) аг, ~т) < тг.

~ О при других т. Задача 14. Определить спектральную плотность мо случайного процесса, имеющего корреляционную функц В(т) = А ехр( — а~т1)(1+ а(т(). Ответ: Я(а) = 4Ааз/(юг + аг)г. Задача 15. Определить эффективную ширину Ью, Я(е) стационарного случайного процесса Р,(г)с юрреля кцией я произведепроцессов Ц(г)н, .:,..";:!,.' . корреляционнызведению корренарного случайорого опредешг- спектра орреля- ная плоти ой функ ю), где ««и— ,2 1ь(г), де '.:::,':":;.:,, е стациоиар- платность мощности случайного процесса ~(т) = сь(1), Й = 1, 2,..., М вЂ” центрированные случайны иые процессы. ф)н Н(т) = Аехр( — азтг).

Ответ: Лог, = 2аз/к. Задача 16. Показать, что для любого стационарного случ го процесса с(г) с юрреляциоиной функцией Н(т), приниь только положительные значения, пропзведение интервала к цни ть на эффективную ширину спектра бго, равно и/2. Задача 17. Показать, что ~ВЗчИьМ 4 ~/П1М ' ~ф~(тг) Задача 18. Показать, что взаимная спектраль мощности 51ч(ег) в общем случае не является чети Задача 19. Показать, что взаимные спектраль мощности свлзаны соотношением 51ч(ез) = Я' ( л1 знак юмплексной сопряженности.

Задача 20. Найти юрреляциоииую функпию н и гя О: В,,(т) = ~: В,„( )+ ,'у., ''Н.1(тпт); ь-г ,.о Звдвчв 2!. По заданной плотности вероятности случайного О асса пр ц ю(я) = ах ехр( — Йя), Й > О, определить коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию н вероятность попадания р значений случайного процесса в интервал (О,, 1/Й). з з Ответ: а = —; гл = —; П = —,; р = 1 — 2, бе г. 2' Й' Йг* Задача 22. Функция распределения стационарного случайного напряжения и(г) имеет вид 1 — ехр( — Йи), и > О, Й > О. В р(п) = О,и<0.

Определить математическое ожидание„средний квадрат и дисперсию этого процесса. 2 2. Ответ: пз„= —, В; М(пг(1)) = —,, Вг; П« = —,, Вг, К ПРОХОЖДКНИК СЛУЧДйНЫХ ПРОЦКССОВ чкркз линкйнык систкмы 2.1. Краткие теоретические сведения Для описания линейных систем можно использовать дифференциюзьные уравнения, импульсные и комплексные частотньге характеристики. В тех случаях, когда нссле~гуют ьик стационарные, так и несгацпонарные режимы работы системы при ненулевых начальных условиях, для анализа систем примеюпот аппарат дифференциальных уравнений. При нулевых начальных условиях и системе удобнее испольювать импульсные характеристики. Комплексные ч дз иссл Им СИТНЗЛ Каь деляетс гзр мои форме), астатные х зрактериспп1и онарный режнм стика Ь(1)— сдуют толь пульс нзя типа Ь— пшексная Ю СТЗЦИ характери функции.

чзстоти МЫ НВ ксиой (2 1) ейной ' "1!Ъ Вя хз1мжтернсг игналз иа вы сигналы запи Аз ехр(2 ( шг — <рз)1 Кое) = А1 ~лр(2(ш1 — 91)1 амплитуда и фаза сигнала на — ампшпуда н фаза входного где Аз сис Ма и ф~ темы.' А1 и 031 выходе лин сигнала. — К(21 ш) е Ь(1) ехр( Кое) = мых сиате ) =ОНРНФ< ) = О при1-+ Зная цесс г,(т). можа истику процесс При через ~ нахождением: 1) маме случайиьп1 сн 2) платиост иых сигналов. рассмотрении тинейны сов праха ИХОДИТСЯ Заиро е системы пр нтных функцин н спектральных пшлав; ей 1ззспределения ВС1юятн я как отношение с нческому сигналу ( т.

е. импульсную характер о определить з)(В) = ~(1 — т)Ь(т)йя = 0 применяют обычно работы системы. ЗТО РЕЗКЦИЯ СИСГЕ ика К(уш) системы ходе системы к вхо сывакпся в юмпле — 1 ТЗГ)АГ. (2З) -',;: '",":~: Ф (2А) и входной случайный прот)(т) на выходе системы: | 1(т)6(г — т)А . (2.5) ждення случайных сигналов решать зщрчи, связанные с плотностей выходных - .р; Остей ВыхОдных случз$Ъ ::':~: Ф Решение задач группы 1) можно получить из решения задач группы 2).

Характеристики

Список файлов книги