matan1semestr (773486), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть (an )∞n=1 – ограниченная числовая последовательность. Обозначим An = sup{an , an+1 , ...} = sup ak . Очевидно, чтоk≥nAn+1 ≤ An , т.е. (Ak ) образуют убывающую последовательность. Таккак (an ) – ограниченная последовательность, то последовательностьAn тоже ограниченная последовательность. Поэтому ∃ lim An = A.n→∞Этот предел называется верхним пределом и обозначается lim an илиn→∞lim sup an . Таким образом по определениюn→∞dflim an = lim (sup ak ).n→∞n→∞ n≥kАналогично,dflimn→∞ an = lim (inf ak )n→∞ k≥nназывается нижним пределом.47Предложение 15.1.liman ≤ liman .Доказательство. Пусть An = sup ak , Bn = inf an . Тогда Bn ≤ An ⇒k≥nk≥nlim Bn ≤ lim An ⇒ liman ≤ liman . Теорема 15.2.
Если ∃ lim an = A, то lim an = limn→∞ an = An→∞n→∞Доказательство. Так как lim an = A, тоn→∞∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n > n0 , |an − A| < ε ⇒ A − ε < an < A + ε ∀ n > n0 .Поэтому числа sup ak = An удовлетворяет неравенству A − ε < An ≤ A + ε.k≥nЗначит, |An − A| ≤ ε ∀ n > n0 ⇒ lim An = A.Аналогично доказывается, что ∀ n > n0 |Bn − A| < ε ⇒ lim Bn = A. Теорема 15.3. Если liman = liman = A, то∃ lim an = A.n→∞Доказательство. Пусть Bk = inf ak ≤ an ≤ sup ak = An .
Отсюда, поk≥nk≥nтеореме о сжатой переменной, lim an = lim An = lim Bn = A. 16. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательностиОпределение 16.1. Последовательность (an ) называется бесконечномалой,еслиlim an = 0. Обозначение: an = o(1).n→∞Определение 16.2. Последовательность( ) (an ) называется бесконечнобольшой, если последовательность a1n = o(1). Обозначение: lim an =n→∞∞.Таким образом, по определению:1= 0.n→∞ anlim an = ∞ ⇔ limn→∞Теорема 16.1.
lim = ∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n ≥ n0 , |an | > 1ε .n→∞48Доказательство. 111= 0 ⇔ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀ n ≥ n0 , < ε ⇔ |an | > . lim an = ∞ ⇔ limn→∞n→∞ ananεОпределение 16.3. lim an = +∞ если ∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n ≥ n0 an > 1ε .lim an = −∞ если ∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n ≥ n0 an < − 1ε .Теорема 16.2. 1) Если lim an = +∞, то lim an = ∞n→∞2) Если lim an = −∞, то lim an = ∞n→∞n→∞3) Обратное неверно. Очевидно.49n→∞Глава 3Предел функции1. Предел функции, различные определения пределаОпределение 1.1. Пусть f (x) определена на E, x0 -предельная точкамножества E.
Число A называется пределом функции f в точке x0 , если∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ E ∧ x ̸= x0 , |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − A| < ε.(1.1)Обозначается: A = lim f (x) или f (x) → A (x → x0 ).x→x0Замечание 1. Так как условие x ̸= x0 ∧ |x − x0 | < δ равносильно условию◦x ∈Oδ (x0 ), то определение 1.1 можно записать в виде◦∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈Oδ (x0 ) ∩ E, |f (x) − A| < ε.(1.2)Замечание 2. Так как условие |f (x) − A| < ε равносильно f (x) ∈ Oε (A),то 1.2 можно записать в виде◦∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈Oδ (x0 ) ∩ E, f (x) ∈ Oε (A)(1.3)или иначе◦∀ Oε (A) ∃ Oδ (x0 ) ∀ x ∈Oδ (x0 ) ∩ E, f (x) ∈ Oε (A)или◦∀ O(A) ∃ O(x0 ) f (O (x0 ) ∩ E) ⊂ Oε (A)(1.4) называется определением предела на языке окрестностей,(1.5) называется топологическим определением предела.50(1.4)(1.5)2.
Предел функции на языке последовательностей (поГейне)Теорема 2.1. Пусть f определена на E, x0 – предельная точка E. A =lim f (x) тогда и только тогда, когда ∀ xn → x0 , xn ∈ E, xn ̸= x0x→x0выполняется f (xn ) → A, или иначе A = lim f (xn ).n→∞Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть A = lim f (x). Поx→x0определению предела ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ̸= x0 , x ∈ E ∩ Oδ (x0 ), |f (x) −A| < ε. Выберем произвольную последовательность xn → x0 (xn ∈ E, xn ̸=x0 ). Так как xn → x0 , то для числа δ > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀ n > n0 , |xn − x0 | <δ ⇒ ∀ n > n0 , |f (xn ) − A| < ε.
Следовательно, A = lim f (xn ).n→∞Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть ∀ xn → x0 (xn ̸= x0 , xn ∈ E)f (xn ) → A.Покажем, что A = lim f (x). Предположим, что это не так, т.е.x→x0∃ ε0 > 0, ∀ δ =Значит, |xn − x0 | <f (xn ) → A. 1n◦1, ∃ xn ∈O n1 (x0 ) ∩ E, |f (xn ) − A| ≥ ε0 .n∧ f (xn ) не сходится к A, что противоречит условию3. Единственность пределаТеорема 3.1. Если ∃ lim f (x), то этот предел единственен.x→x0Доказательство. Предположим, что lim f (x) = A и lim f (x) = B. Выx→x0◦x→x0берем ε > 0, тогда ∃ δ > 0 ∀ x ∈Oδ (x0 )∩E, |f (x)−A| < 2ε , |f (x)−B| < 2ε .Тогда |B − A| = |B − f (x) + f (x) − A| ≤ |B − f (x)| + |f (x) − A| < 2ε + 2ε = ε.Таким образом, ∀ ε > 0, |B − A| < ε ⇒ |B − A| = 0 ⇒ B = A.
4. Предельный переход в неравенствахТеорема 4.1. Пусть f (x) и g(x) определены в E, x0 – предельная точ◦ка в E и ∃ Oδ (x0 ), что ∀ x ∈Oδ (x0 ) ∩ E∃ lim f (x), ∃ lim g(x), тоx→x0x→x0lim f (x) ≤ lim g(x).x→x0x→x051f (x) ≤ g(x). Если◦Доказательство. Выберем последовательность xn → x0 , xn ∈Oδ (x0 ) ∩E ⇒ f (xn ) ≤ g(xn ). Тогдаlim f (x) = lim f (xn ) ≤ lim g(xn ) = lim g(x).
x→x0x→x0x→x0x→x0Теорема 4.2. Пусть α(x) ≤ f (x) ≤ β(x) и lim α(x) = lim β(x) = A.x→x0Тогда ∃ lim f (x) = A.x→x0x→x0Доказательство. Выбираем xn → x0 , xn ∈ E, xn ̸= x0 . Тогда α(xn ) ≤f (xn ) ≤ β(xn ) и lim α(xn ) = lim β(xn ) = A. Тогда ∃ lim f (xn ) = Ax→x0x→x0n→∞для любой последовательности xn → x0 xn ̸= x0 . Согласно определениюпредела по Гейне limx→x0 f (x) = A. 5.
Арифметические операции над пределамиТеорема 5.1. Пусть ∃ lim f (x) = A, lim g(x) = B. Тогдаx→x0x→x01) ∃ lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x),x→x0x→x0x→x02) ∀ λ ∈ R, ∃ lim λf (x) = λf (x),x→x03) ∃ lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x),x→x0x→x0x→x0f (x)x→x0 g(x)4) Если lim g(x) ̸= 0, то ∃ limx→x0lim f (x)=x→x0lim g(x) .x→x0Доказательство. 1) Выбираем произвольное xn → x0 (xn ̸= x0 , xn ∈ E).Тогдаlim (f (x) ± g(x)) = lim (f (xn ) ± g(xn )) = lim f (xn ) ± lim g(xn ) = lim f (x) ± lim g(x).x→x0n→∞n→∞n→∞x→x0x→x02) – аналогично. 3) – аналогично. 4) Обозначим lim g(x) = G0 ̸= 0.
Тогдадля ε =|G0 |2x→x0◦∃ Oδ (x0 ), ∀ x ∈Oδ (x0 ) ∩ E,|g(x) − G0 | <|G0 ||G0 | |G0 |⇒ |g(x)| ≥ |G0 | −=> 0.222Выберем теперь последовательность xn → x0 , xn ̸= x0 , xn ∈ E такую, что|xn − x0 | < |G20 | . Тогда g(xn ) ̸= 0 и lim g(xn ) = G0 ̸= 0. По определениюГейнеf (x)f (xn ) lim f (xn ) lim f (x)lim= lim==.
x→x0 g(x)n→∞ g(xn )lim g(xn )lim g(x)526. Предел сложной функциинаX → Y, x0 – предельная точка X иТеорема 6.1. Пусть f :∃ lim f (x) = y0 . Пусть y0 – предельная точка Y, ∀ x ∈ X f (x) ̸= y0 .x→x0Пусть g(y) определена на Y и ∃ lim g(y) = z0 . Тогда ∃ lim g(f (x)) =y→y0x→x0z0 = lim g(y).y→y0Доказательство. По определению предела∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ y ∈ Y, y ̸= y0 |y − y0 | < δ ⇒ |g(y) − z0 | < ε.Так как y0 = lim f (x), то для найденного δ > 0 ∃ σ > 0, ∀ x ∈ X, x ̸= x0x→x0и |x − x0 | < σ ⇒ |f (x) − y0 | < δ ⇒ ∀ x, |x − x0 | < σ |g(f (x)) − z0 | < ε. Задача.
Привести пример, который показывает, что без условия f (x) ̸= y0теорема неверна.7. Критерий Коши существования предела у функцииТеорема 7.1 (Критерий Коши). Пусть l : E → R, x0 – предельная точкамножества E. lim f (x) существует тогда и только тогда, когдаx→x0∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x′ , x′′ ∈ E, x′ , x′′ ̸= x0 |x′ − x0 | < δ, |x′′ − x0 | < δ ⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε.(7.1)Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть lim f (x) = A. Тогда∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ̸= x0 |x − x0 | < δ, x ∈ E, |f (x) − A| < 2ε ⇒◦∀ x′ , x′′ ∈Oδ (x0 ) ∩ E |f (x′ ) − f (x′′ )| ≤ |f (x′ ) − A| + |A − f (x′′ )| <ε ε+ = ε.2 2Д о с т а т о ч н о с т ь.
Пусть выполнено (7.1). Выберем последовательностьxn → x0 , xn ̸= x0 , xn ∈ E. Покажем, что последовательность (f (xn ))∞n=1 –фундаментальная. Из xn → x0 следует, что для δ > 0 ∃ n0 , ∀ m, n >n0 , |xm − x0 | < δ ∧ |xn − x0 | < δ ⇒ ∀ m, n > n0 , |f (xm ) − f (xn )| <ε ⇒ (f (xn ))∞n=1 – фундаментальна. Но по критерию Коши для числовойпоследовательности ∃ lim f (xn ) = y0 . Покажем, что ∀ xn → x0 , lim f (xn )n→∞равен одному и тому же числу.Пусть x′n → x0 , x′′n → x0 и lim f (x′n ) = y1 , lim f (x′′n ) = y2 . Покажем, чтоy1 = y2 . Для этого образуем новую последовательность (xn ) по принципу:x2n = x′n , x2n+1 = x′′n .53lim f (xn ) = y0 . Но f (x′n ) есть подпоследова-Тогда xn → x0 ⇒ ∃n→∞тельность для f (xn ) ⇒ f (x′n ) → y0 .
f (x′′n ) есть подпоследовательностьдля f (xn ) ⇒ f (x′′n ) → y0 . Следовательно, для всех последовательностейxn → x0 , ∃ lim f (xn ) = y0 , где y0 фиксированное число, тогда по опредеn→∞лению на языке последовательностей ∃ lim f (x) = y0 . x→x08. Бесконечно малые функции.
Сравнение бесконечномалыхОпределение 8.1. Функция α(x) называется бесконечно малой в точкеx0 ,еслиlim α(x) = 0. Обозначение: α(x) = ¯ō(1) (x → x0 )x→x0Теорема 8.1. lim a(x) = A тогда и только тогда, когда a(x) = A+α(x),x→x0¯где α(x) = ō(1).Доказательство. Из определения предела следует, что A = lim a(x) тоx→x0гда и только тогда, когда lim (a(x) − A) = 0. Обозначим a(x) − A = α(x),x→x0¯тогда α(x) = ō(1) и a(x) = A + α(x). Определение 8.2. Две бесконечно малых функции α(x) и β(x) в точкеx0 называются эквивалентными, еслиα(x)= 1.x→x0 β(x)limОбозначение: α(x) ∼ β(x).Теорема 8.2.
Пусть ∃a(x)x→x0 b(x)lim=y0 и A(x)A(x)B(x)x→x0b(x), a(x), b(x), A(x), B(x) = ¯ō(1). Тогда lim∼a(x), B(x)∼= y0 .Доказательство.A(x) a(x) b(x)A(x)a(x)= lim··= lim. x→x0 B(x)a(x) b(x) B(x) x→x0 b(x)limОпределение 8.3. Пусть α(x) и β(x) = ¯ō(1) (x → x0 ). Будем писатьα(x) = ¯ō(β(x)) при x → x0 и говорить, что α(x) имеет более высокийпорядок малости, если lim α(x)β(x) = 0.x→x054Теорема 8.3. Если α(x) = ¯ō(1) (x → x0 ) и |β(x)| ≤ M , т.е.
β(x) ограничена на E, то α(x) · β(x) = ¯ō(1), т.е. произведение бесконечно малой наограниченную есть бесконечно малая.Доказательство. Самостоятельно.9. Односторонние пределыОпределение 9.1. Число A− называется пределом слева функции f (x) вточке x0 , если∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x < x0 , |x − x0 | < δ ∧ x ∈ E ⇒ |f (x) − A− | < ε.Обозначение:lim f (x) = A− .x→x0 −0Число A+ называется пределом справа функции f (x) в точке x0 , если∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x > x0 , |x − x0 | < δ ∧ x ∈ E ⇒ |f (x) − A+ | < ε.Обозначение:lim f (x) = A+ .x→x0 +0Теорема 9.1. lim f (x) = A тогда и только тогда, когдаx→x0lim f (x) = lim f (x) = A.x→x0 −0x→x0 +0Доказательство очевидно.
Доказать самостоятельно.10. Первый замечательный пределЛемма 10.1. 1) lim sin x = 0.x→02) lim cos x = 1.x→0Доказательство. 1) Обозначим через x радианную меру угла и пустьx > 0. Из ∆OCB ⇒ S∆OCB < Ssect.OCB ⇒ 21 · 1 · |AC| < 21 x · 12 ⇒ |AC| <x ⇒ sin x < x ⇒ 0 < sin x < x Отсюда lim sin x = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
