matan1semestr (773486), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Покажем, что d2 > 2. Имеем( 2)2z2 − 2z −222d = z − 2z+.55Но 2 < z 2 < 4 ⇒ z 2 − 2 < 2 ⇒ d2 > z 2 − 4 · z 5−2 − z 5−2 = 2 ⇒ d ∈ Y . Ноодновременно d ∈ X и d ∈ Y невозможно. Таким образом, z 2 = 2Покажем, что z не рациональное число. Пусть это не так, т.е. z = mn иmпусть n несократимая дробь, т.е. m и n не имеют общих множителей. Из2 22222z= mn ⇒ z n = m ⇒ 2n = m ⇒ m делится на 2 ⇒ m = 2k ⇒ 2n =4k 2 ⇒ n2 = 2k 2 ⇒ n делится на 2.
Т.е. дробь mn сократима, что невозможно.Полученное противоречие доказывает, что z не рациональное число. 22Определение 11.1. Действительное число, которое не является рациональным, называют иррациональным.12. Принцип АрхимедаПредложение 12.1. Любое множество E ⊂ N, E ̸= ∅, ограниченноесверху, имеет наибольший элемент.Доказательство. Так как E ограничено сверху, то ∃ sup E = M , т.е.1) ∀ n ∈ E, n ≤ M .2) ∃ n0 ∈ E, n0 ≤ M < n0 + 1 ⇒ M = n0 , т.к. между n0 и n0 + 1 нет другихнатуральных чисел. Предложение 12.2. Множество N неограничено сверху.Доказательство.
От противного. Предположим, что N ограничено сверху. Тогда в N существует наибольший элемент M , т.е. M ∈ N и M ≥n ∀ n ∈ N. Но M + 1 ∈ N и, значит, M ≥ M + 1 – что невозможно, т.к.M < M + 1. Предложение 12.3. Всякое множество E ⊂ Z, ограниченное сверху, содержит наибольший элемент.29Доказательство. Пусть E ⊂ N. Тогда по предложению 13.1 множествоE содержит наибольший элемент. Пусть теперь E ⊂ −N ⇒ −E ⊂ N и−E ограничено снизу, следовательно, −E содержит наименьший элемент∩m ∈ N⇒Eсодержитнаибольшийэлемент−m∈−N.ЕслиEN ̸=∩∩0 ∧ E −N ̸= 0, то множество E N содержит наибольший элемент m0 ,который будет наибольшим в E.
Предложение 12.4. Множество Z ограниченое снизу, содержит наименьший элемент. (Очевидно.)Предложение 12.5. Множество Z неограничено сверху и снизу. (Очевидно.)Предложение 12.6 (Принцип Архимеда). Пусть h > 0, h ∈ R, x ∈ R.Тогда существует n ∈ Z, такое, что nh < x ≤ (n+1)h ⇔ n < hx ≤ (n+1).Доказательство. Обозначим E = {m ∈ Z : m < hx }. E – ограниченосверху, значит, в E существует наибольший элемент n ⇒ n < hx ≤ n + 1. Предложение 12.7. Пусть q ∈ N, x ∈ R. Тогда существует p ∈ Zтакое, что pq < x ≤ p+1q .Доказательство. Это принцип Архимеда при h = 1q .
Предложение 12.8. ∀ ε > 0, ε ∈ R, ∃ n ∈ N, что1n<εДоказательство. По принципу Архимеда для h = ε, x = 1 ∃ n, nε < 1 ≤(n + 1)ε ⇒ 13. Абсолютная величина числаОпределение13.1. Если a ∈ R, то положим по определению |a| ={a, a ≥ 0,−a, a < 0.Свойства.1) |a| ≥ 0. Доказательство.
Рассмотрим 2 случая.1. a ≥ 0 ⇒ |a| = a ≥ 0,2. a < 0 ⇒ |a| = −a > 0 ⇒ |a| ≥ 0.2) a ≤ |a|, −a ≤ |a|, −|a| ≤ a.Надо рассмотреть случай a ≥ 0 и a < 0, например: a ≥ 0 ⇒ |a| = a ≥ a,a < 0 ⇒ |a| = −a > 0 > d ≥ d.3) |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b.30Доказательство. Пусть |a| ≤ b ⇒ a ≤ |a| ≤ b и −b ≤ −|a| ≤ a ⇒ −b ≤a ≤ b.
Проверим противоположное утверждение.Пусть a ≥ 0 ⇒ a = |a| ⇒ a ≤ b ⇒ |a| ≤ b.Пусть a < 0 ⇒ a ≥ −b ⇒ −a ≤ b ⇒ |a| ≤ b. 4) |a + b| ≤ |a| + |b|.Доказательство. a ≤ |a| ∧ b ≤ |b| ⇒ a + b ≤ |a| + |b|. Кроме этогоa ≥ −|a| ∧ b ≥ −|b| ⇒ a + b ≥ −(|a| + |b|) ⇒ −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇒по свойству 3: |a + b| ≤ |a| + |b|. 5) |a + b| ≥ |a| − |b|.Доказательство.
|a| = |a + b − b| ≤ |a + b| + |b| ⇒ |a + b| ≥ |a| − |b|. 14. Изображение действительных чисел на прямой.Подмножества множества действительных чисел.Расширенная числовая прямаяОпределение 14.1. Прямая, на которой1) выбрано положительное направление обхода,2) начальная точка,3) масштабный отрезок,называется числовой прямой. На числовой прямой целое число n ∈ Z изображается точкой, лежащей на расстоянии в |n| масштабных отрезков.dfОпределение 14.2. Множество (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} называется интервалом.dfМножество [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} называется отрезком.dfМножество [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} называется полуинтервалом.dfМножество (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} называется полуинтервалом.Определение 14.3.
Символом ]a, b[ обозначается одно из множеств(a, b), [a, b], (a, b] или [a, b) и называется промежутком.Определение 14.4. Число, которое больше любого действительногочисла, обозначается +∞ (+ бесконечность).Число, которое меньше любого действительного числа, обозначается−∞ (- бесконечность).Множество R ∪ {+∞, −∞} называется расширенным множеством действительных чисел или расширенной числовой прямой.31Свойства.
По определению полагаем1) ∀ a ∈ R, a + ∞ = +∞, a − ∞ = −∞,2) ∀ a ∈ R, a > 0, a · (+∞) = +∞, a · (−∞) = −∞,3) ∀ a ∈ R, a < 0, a · (−∞) = +∞, a · (+∞) = −∞,4) +∞ · (+∞) = +∞, +∞ + (+∞) = +∞,5) +∞ · (−∞) = −∞, −∞ + (−∞) = −∞,Не определены операции: +∞ − (+∞), −∞ − (−∞)+∞,+∞−∞,−∞+∞,−∞−∞.+∞15. Представление действительных чисел в виде бесконечной десятичной дроби.Теорема 15.1. Пусть a ∈ R. Тогда ∃ a0 ∈ Z и ∀ n ∈ N ∃ ak ∈ {0, 1, ..., 9},k = 1, n такие, чтоa0 +a1an−1ana1an−1an+ ... + n−1 + n ≤ a < a0 ++ ... + n−1 + n101010101010(15.1)Доказательство. Так как a ∈ R, то при h = 1 по признаку Архимеда∃ a0 ∈ Z, чтоa0 ≤ a < a0 + 1.(15.2)Существование чисел a1 , a2 , ...an , ... докажем по индукции.11) n = 1.
Рассмотрим число a − a0 . Положим h = 10и по принципу Архимеда ∃ a1 ∈ Z такое, чтоa1 ·11≤ a − a0 < (a1 + 1) .1010Отсюда(15.3)11≤ a < a0 + (a1 + 1) .10101Покажем, что 0 ≤ a1 ≤ 9. Из (15.2) следует, что 0 ≤ a − a0 < 1 ⇒ a1 · 10<11 ⇒ a1 < 10. Кроме того, (a1 + 1) 10 > 0 ⇒ a1 + 1 > 0 ⇒ a1 > 0. Отсюда0 ≤ a1 ≤ 9.()an−1a1an2) Пусть выполнено (15.1).
Тогда для x = a − a0 + 10+ ... + 10иn−1 + 10n1h = 10n+1 по принципу Архимеда ∃ an+1 ∈ Z такое, что(a1an−1an ) an+1 + 11+ ... + n−1 + n <(15.4)an+1 · n+1 ≤ a − a0 +1010101010n+1a0 + a1 ·32Из (15.4) следует, чтоn+1n∑∑akakan+1 + 1a0 +≤a<a++.010k10k10n+1k=1(15.5)k=1Покажем, что 0 ≤ an+1 ≤ 9. Из (15.1) получаем(a1an−1an )10 ≤ a − a0 ++ ... + n−1 + n < n .101010101Отсюда an+1 · 10n+1< 101n ⇒ an+1 < 10 ⇒ an+1 ≤ 9. Так как0, an+1 + 1 > 0 ⇒ an+1 ≥ 0.
an+1 +110n+1>Определение 15.1. Тот факт, что для числа a ∈ R выполняется неравенство (15.1) запишем в видеa = a0 , a1 a2 a3 ...an ...(15.6)и запись (15.6) назовем представлением числа a в виде бесконечной десятичной дроби. Выражение a0 , a1 a2 ... называется бесконечной десятичнойдробью.16. Принцип вложенных отрезковТеорема 16.1 (Кантора–Коши). Пусть дана система вложенных отрезков[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...
⊃ [an , bn ] ⊃ ...Тогда 1) ∃ x0 ∈ R такое, что ∀ n ∈ N, x0 ∈ [an , bn ].2) Если ∀ ε > 0 ∃ n ∈ N, |bn − an | < ε, то такое число x0 единственное.∞Доказательство. 1) Рассмотрим множества A = {an }∞n=1 , B = {bn }n=1Очевидно, чтоa1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ...b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn ≥ ...и an ≤ bn . Отсюда следует, что ∀ n, m, an ≤ bm . Покажем это. Предположим, что n < m. Тогдаan ≤ am ≤ bm ≤ bn .Это означает, что A ≤ B. По аксиоме непрерывности ∃ x0 ∈ R, разделяющее множества A и B, т.е.
∀ m, n, am ≤ x0 ≤ bn ⇒ ∀ n ∈ N, an ≤ x0 ≤bn ⇒ x0 ∈ всем отрезкам [an , bn ].2) Покажем, что x0 единственное. Предположим, что ∃ x1 и x2 ∈ [an , bn ]при всех n и x1 ̸= x2 . Предположим для определенности x1 < x2 ⇒ an ≤1x1 < x2 ≤ bn . Но тогда x2 − x1 ≤ bn − an . Положим ε = x2 −x2 . По условию,11⇒ x2 − x1 < x2 −x∃ n, bn − an < x2 −x22 , что невозможно. 3317. Теорема о конечном покрытииОпределение 17.1. Пусть E ⊂ R. Совокупность множеств Eα (α ∈ I)называется покрытием множества E, если ∪α∈I Eα ⊃ E. Покрытие называется конечным, если оно состоит из конечного числа попарно различных множеств Eα .Теорема 17.1 (Лемма Бореля–Лебега).
Из любого покрытия отрезка[a, b] интервалами (a′α , b′α ) можно выделить конечное подпокрытие.Доказательство. От противного. Пусть это не так, т.е. существует покрытие∪(a′α , b′α ) ⊃ [a, b],α∈Iиз которого нельзя выделить конечного подпокрытия. Обозначим c = a+b2 .Тогда∪ ′ ′(aα , bα ) есть покрытие как отрезка [a, c], так и отрезка [c, b]. Изα∈Iнего нельзя выделить конечного подпокрытия или отрезка [a, c] или отрезка [c, b], так как в противном случае, объединение конечных покрытийотрезков [a, c] и [c, b] дает конечное покрытие [a, b]. Обозначим через[a1 , b1 ] ту половину отрезка [a, b], из покрытия которой нельзя выделитьконечного подпокрытия. Очевидно, что b1 − a1 = b−a2 . Снова поделим отрезок [a1 , b1 ] пополам и через [a2 , b2 ] обозначим ту половину, из покрытиякоторой нельзя выделить конечного подпокрытия.
Ясно, что b2 − a2 = b−a22и [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ]. Продолжая этот процесс, получим семействоотрезков [an , bn ] таких, что1) [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...2) |bn − an | = b−a2n . ∪3) Из покрытия(aα , bα ) ⊃ [an , bn ] нельзя выделить конечного подпоα∈Iкрытия отрезка [an , bn ].По теореме Кантора–Коши ∃ ! x0 ∈ R, что ∀ n, x0 ∈ [an , bn ]. Ноx0 ∈ ∪(a′α , b′α ) ⇒ ∃(a′α0 , b′α0 ) ∋ x0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
