matan1semestr (773486), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Обозначим d = min(x0 − a′α0 , b′α0 − x0 ),тогда найдется такое n0 , что |bn0 − an0 | = 21n0 < d ⇒ [an0 , bn0 ] ⊂ (a′α0 , b′α0 ),т.е. (a′α0 , b′α0 ) – образует покрытие отрезка [an0 , bn0 ], что невозможно попостроению отрезков [an , bn ]. 3418. Лемма о предельной точкеОпределение 18.1. Множество (x0 − δ, x0 + δ) называется δокрестностью точки x0 и обозначается Oδ (x0 ). Множество(x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) называется проколотой окрестностью точки x0◦и обозначается Oδ (x0 ).Определение 18.2. Пусть E ⊂ R.
Число x0 ∈ R называют предельнойточкой множества E, если в любой Oδ (x0 ) содержится бесконечно многоточек множества E.◦Ясно, что Oδ (x0 ) = Oδ (x0 ) \ {x0 }.Лемма 18.1. Точка x0 является предельной точкой множества E то◦гда и только тогда, когда в любой проколотой окрестности Oδ (x0 ) содержится по крайней мере одна точка, принадлежащая E.Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Точка x0 – предельная, значит в любой Oδ (x0 ) существует бесконечное множество точек множества◦∩E, следовательно, существует по крайней мере одна точка x ∈Oδ (x0 ) E.◦Д о с т а т о ч н о с т ь. Выберем Oδ1 (x0 ), содержащую точку x1 ∈ E◦и x1 ̸= x0 .
Положим δ2 = |x1 − x0 |, тогда в Oδ2 (x0 ) ∃ x2 ∈ E.Ясно, что x2 ̸= x1 . Продолжая эти рассуждения, получим бесконеч◦ное множество точек (xn )∞,x∈E,лежащихвисходнойOnδ1 (x0 ).n=1бесконечноеТеорема 18.2 (Лемма Больцано–Вейерштрасса). Всякоеограниченное множество имеет по крайней мере одну предельнуюточку.Доказательство. Пусть E ограничено, т.е. ∃ A и B ∈ R, что ∀ x ∈E, A ≤ x ≤ B и E бесконечно. Разделим отрезок [A, B] пополам точкойC = A+B2 . Тогда или отрезок [A, C] или отрезок [C, B] содержит бесконечное множество точек множества E.
Обозначим через [A1 , B1 ] ту половину,которая содержит бесконечное множество точек множества E. Ясно, что|B1 − A1 | = B−A2 и [A, B] ⊃ [A1 , B1 ]. Продолжая процесс деления, получаемсемейство отрезков [An , Bn ] таких, что1) [A, B] ⊃ [A1 , B1 ] ⊃ ... ⊃ [An , Bn ] ⊃ ...2) |Bn − An | = B−A2n .353) Каждый отрезок [An , Bn ] содержит бесконечное множество точек множества E.По теореме о вложенных отрезках ∃ !x0 ∈ R такая, что∀ n ∈ N,x0 ∈ [An , Bn ].Покажем, что x0 – предельная точка множества E. Выберем Oδ (x0 ).
Выберем n так, чтобы B−A2n0 < δ. Тогда [An0 , Bn0 ] ⊂ Oδ (x0 ). Отсюда следует, чтов Oδ (x0 ) содержится бесконечно много точек множества E. 19. Счетные множестваОпределение 19.1. Множество E ⊂ R называется счетным, если оноравномощно множеству натуральных чисел N.Пример. Множество 2N – четных чисел счетно, так как можно установитьвзаимно однозначное соответствие между N и 2N по формулеφ : n → 2n.Замечание. Множество E согласно определения счетно, если каждомуэлементу можно поставить в соответствие натуральный номер.Теорема 19.1. Объединение конечного числа счетных множеств – сновасчетное множество.Доказательство. Пусть дано m счетных множеств(1)(1)(2)(2)X1 = {x1 , x2 , ..., x(1)n , ...} − счетное.X2 = {x1 , x2 , ..., x(2)n , ...} − счетное.........................(m)(m)Xm = {x1 , x2 , ..., x(m)n , ...} − счетное.Занумеруем их по столбцам.
Очевидно, что каждому числу будет присвоенномер. Теорема 19.2. Объединение счетного семейства счетных множеств –снова счетное множество.36(n)(n)(n)Доказательство. Пусть Xn = {x1 , x2 , ..., xk , ...} – счетные множества.Запишем их в виде бесконечной таблицыA1 = {(1)(1)(1)a1 → a2 , . . . , an , . .
.}↙↗(2)(2)(2)A2 = { a 1 ,a2 , . . . an , . . .}↓ ↗(3)(3)(3)A3 = { a 1 ,a2 , . . . , an , . . .}...... ...... ... ... ...Занумеруем элементы объединения по диагоналям, пропуская занумерованные ранее. Очевидно, что все члены будут занумерованы. Следствие 1. Множества Z и Q счетные. множество.Доказательство. Z = N ∪ {−N} ∪ {0} – счетное по теореме 19.1. ПустьZn = { nk }, где k ∈ Z и n ∈ N – фиксировано (n = 1, 2, ...). Таких множеств∞∪– счетное множество и Q =Zn – счетное по теореме 19.2. n=120. Множества мощности континуумТеорема 20.1.
Множество (0, 1) – несчетное.Доказательство. Предположим, что (0, 1) – счетное, тогда все его элементыa1 , a2 , ..., an , ... можно занумеровать. Запишем каждое число ak ∈ (0, 1) ввиде десятичной дроби. Получим бесконечную таблицуa1 = 0, a1,1 , a1,2 , ..., a1,n , ...a2 = 0, a2,1 , a2,2 , ..., a2,n , ..............................an = 0, an,1 , an,2 , ..., an,n , ..............................Построим новое число c = 0, c1 c2 ... следующим образом: c1 ̸= a1,1 , c2 ̸=a2,2 , .... Тогда c ̸= a1 , c ̸= a2 , ..., т.е. получим число, которое есть десятичнаядробь и не содержится в таблице, что невозможно. Определение 20.1.
Множество, равномощное множеству (0, 1), называется множеством мощности континуум.Теорема 20.2. Множество R имеет мощность континуум.Доказательство. Отображение y(−∞, +∞) взаимно-однозначно. 37=ctgπx отображает (0, 1) наГлава 2Последовательность и ее предел1. Предел последовательности, различные определения пределаОпределение 1.1. Отображение a : N → R называют последовательностью. Каждое число a(n) называют элементом или членом последовательности. Обозначают последовательность (an )∞n=1 или (an ).Пример. an =1n(n = 1, 2, ...) – последовательность.Определение 1.2.
Пусть (an )∞n=1 – числовая последовательность. ЧислоA ∈ R называется пределом последовательности (an ), если∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N, ∀ n ≥ n0 |an − A| < ε.(1.1)Последовательность (an ) называется в этом случае сходящейся к A. Обозначение:A = lim an или an → A.n→∞Замечание. Очевидно, что (1.1) можно записать в виде ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈N, ∀ n > n0 |an − A| < ε.Пример.
lim n1 = 0, так как по принципу Архимеда ∀ε > 0, ∃n0 , n10 < ε.n→∞Отсюда находим, что ∀n ≥ n0 , 1 − 0 = 1 < ε.nnТеорема 1.1. Число A будет пределом последовательности (an ) тогда итолько тогда, когда вне любой окрестности Oδ (A) содержится конечноечисло элементов последовательности (an ), а внутри – бесконечное.Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть A = lim an . Тогдаn→∞∀ δ > 0 ∃ n0 , ∀ n ≥ n0 , |an − A| < δ, следовательно, вне окрестностиOδ (A) содержится не более n0 элементов последовательности (an ).Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть вне Oε (A) содержится конечное число38элементов an .
Обозначим n0 = max{n : an ∈/ Oε (A)}. Тогда ∀ n > n0 , an ∈Oε (A). Следовательно, ∀ n > n0 , |an − A| < ε. Теорема 1.2. Предел постоянной последовательности равен самой постоянной.Доказательство. Пусть ∀ n ∈ N, an = a. Тогда |an −a| = 0 < ε для любогоε > 0 и любого n ≥ 1.
Значит, lim an = a. n→∞2. Единственность пределаТеорема 2.1 (единственность предела). Если lim an существует, то онn→∞единственный.Доказательство. Пусть A = lim an и a = lim an . Положим ε =n→∞n→∞|A−a|2 ,тогда в Oε (A) содержится бесконечное число элементов последовательности, а вне – конечное и в Oε (a) содержится бесконечное число элементов,а вне – конечное, что невозможно. 3.
Ограниченность сходящейся последовательностиОпределение 3.1. Последовательность (an ) называется ограниченной,если∃ c > 0, ∀ n ∈ N, |an | ≤ c.Пример. 1) Последовательность an = 1 + n1 ограничена, так как111|an | = 1 + = 1 + ≤ 2 (n ≥ 1 ⇒ ≤ 1).nnn2) Последовательность an = n + 1 неограничена, так как ∀ c ∈ R ∃ n ∈ N,что n > c (здесь мы учли, что множество N – неограничено сверху)Теорема 3.1. Если последовательность (an )∞n=1 сходится, то она ограничена.Доказательство.
Пусть lim an = A. Тогда для ε = 1, ∃ n0 , ∀ n >n→∞n0 , |an − A| < 1, отсюда |an | ≤ |an − A| + |A| < 1 + |A| ∀ n > n0 .Положим M = max{|a1 |, |a2 |, ..., |an0 |, } и C = max(M, (1 + |A|)). Тогда∀ n ∈ N, |an | ≤ C. Замечание. Обратное утверждение неверно, например последовательность (−1)n ограничена, но предела не имеет.394. Арифметические операции над пределамиТеорема 4.1. Пусть lim an и lim bn существуют. Тогда1) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn .2) ∀ λ ∈ R lim λan = λ lim ann→∞n→∞3) lim an · bn = lim an · lim bnn→∞n→∞n→∞4) Если bn ̸= 0 и lim bn ̸= 0, то lim=5) Если bn ̸= 0 и lim bn ̸= 0, то lim=n→∞n→∞1n→∞ bnann→∞ bn1lim bn .n→∞lim ann→∞lim bn .n→∞Доказательство.
1) Пусть A = lim an , B = lim bn , тогдаn→∞n→∞ε∀ ε > 0 ∃ n1 , ∀ n > n1 |an − A| < ,2ε∀ ε > 0 ∃ n2 , ∀ n > n2 |bn − B| < .2Положим n0 = max(n1 , n2 ). Тогда ∀ n > n0 |(an + bn ) − (A + B)| ≤ |an −A| + |bn − B| < 2ε + 2ε . ε2) По определению предела ∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n ≥ n0 |an − A| < |λ|+1⇒ε|λan − λA| = |λ| · |an − A| < |λ| · |λ|+1< ε. 3) Запишем разность |an bn − AB| в виде|an bn − AB| = |an bn − Abn + Abn − AB| ≤ |(an − A)||bn | + |A||(bn − B)|.Так как последовательность (bn ) сходится, то она ограничена и,значит,|bn | ≤ M.
Записывая определение предела имеем∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n > n0 , |an − A| <εε, |bn − B| <.(M + 1)2(|A| + 1)2Отсюда находим, что ∀ n > n0 |an bn − AB| <εε2 + 2 = ε. 4) Так как lim bn = B ≠ 0, то дляε(M +1)2·M +ε(|A|+1)2 |A|n→∞ε=|B||B|, ∃ n1 , ∀ n > n1 , |bn − B| <.22Отсюда|bn | = |bn − B + B| ≥ |B| − |bn − B| ≥ |B| −40|B| |B|=> 0.22<Таким образом, ∀ n ≥ n1 + 1, |bn | ≥|B|2 .Запишем разность11B − bn− =.bn Bbn · BТак как lim bn = B, то|B|2.∀ ε > 0 ∃ n2 , ∀ n > n2 , |B − bn | < ε ·221ε· |B||B−bn |12Тогда при n > n0 = max(n1 , n2 ), bn − B = |bn |·|B| < |B|2 = ε.5) Сразу следует из свойств 3 и 4. 5.2Предельный переход в неравенствахТеорема 5.1. Пусть ∃ lim an = A, ∃ lim bn = B и A < B.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
