matan1semestr (773486), страница 4
Текст из файла (страница 4)
МножествоX называется ограниченным сверху, если ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ X, x ≤ M .Множество X называется ограниченным снизу, если ∃ m ∈ R, ∀ x ∈ X,m ≤ x.Определение 7.2. Число C2 называется верхней границей множестваX, если ∀ x ∈ X, x ≤ C2 . Число C1 называется нижней границей множества X, если ∀ x ∈ X, x ≥ C1 .Замечание.
Если верхняя граница C2 множества X существует, то любое число C > C2 тоже будет верхней границей, т.е. верхняя граница не22единственная. Аналогично, нижняя граница, если она существует, тоже неединственная.Определение 7.3. Наименьшая из верхних границ множества X называется верхней гранью и обозначается sup X. Наибольшая из нижнихграниц множества X называется нижней гранью и обозначается inf X.Из определения верхней грани следует, что если M = sup X, то1) ∀ x ∈ X, x ≤ M .2) Любое число M1 < M не будет верхней границей, т.е.∀ M1 < M, ∃ x ∈ X, M1 < x ≤ M,или иначе∀ ε > 0 ∃ x ∈ X, M − ε < x ≤ M.Аналогично, если m = inf X, то1) ∀ x ∈ X, m ≤ x.2) Любое число m1 > m не будет нижней границей, т.е.∀ m1 > m, ∃ x ∈ X, m1 > x ≥ m,или иначе∀ ε > 0 ∃ x ∈ X, m + ε > x ≥ m.Теорема 7.1.
1) Всякое числовое множество, ограниченное сверху, имеет конечную верхнюю грань.2) Всякое числовое множество, ограниченное снизу, имеет конечнуюнижнюю грань.Доказательство. 1) Пусть X ⊂ R ограничено сверху. Оно имеет верхнююграницу. Обозначим через Y множество верхних границ множества X. Поопределению верхней границы ∀ x ∈ X ∀ y ∈ Y x ≤ y, т.е. X ≤ Y .
Поаксиоме непрерывности существует число M ∈ R, разделяющее множестваX и Y . Покажем, что M = sup X. Т.к. M разделяет множества X и Y , тоX ≤ M ≤ Y , т.е. ∀ x ∈ X, x ≤ M . Это означает, что M – верхняя границамножества X. Покажем, что M – наименьшая из верхних границ. Пустьэто не так, т.е.
существует число M1 < M , которое тоже верхняя граница.Значит, M1 ∈ Y и т.к. M – разделяющий элемент, то M ≤ M1 , что противоречит выбору числа M1 . Полученное противоречие и показывает, что Mнаименьшая из верхних границ, и, значит, M = sup X.2) Существование нижней грани ограниченного снизу множества доказывается аналогично. 23Определение 7.4. Пусть X, Y ⊂ R – числовое множество и f : X →dfY . Положим по определению inf f (x) = inf f (X), т.е. если m = inf f (x),x∈Xx∈Xто это означает, что1) ∀ x ∈ X, m ≤ f (x);2) ∀ ε > 0, ∃ x ∈ X, m ≤ f (x) < m + ε.Аналогично:dfsup f (x) = sup f (X)x∈Xто есть{M = sup f (X) ⇔x∈X1)∀ x ∈ X, f (x) ≤ M2)∀ ε > 0 ∃ x ∈ X, M − ε < f (x) ≤ M.Определение 7.5.
Функция f : X → R называется ограниченнойсверху, если множество f (X) ограничено сверху, т.е. ∃ C2 ∈ R, что∀ x ∈ X, f (x) ≤ C2Функция f : X → R называется ограниченной снизу, если множествоf (X) ограничено снизу, т.е. ∃ C1 ∈ R, что ∀ x ∈ X, f (x) ≥ C1Наконец, f называется ограниченной, если множество f (X) ограниченосверху и снизу, т.е.∃ C1 < C2 , что ∀ x ∈ X C1 ≤ f (x) ≤ C2 .Теорема 7.2.
Если f : X → R ограничена сверху (снизу), то существует sup f (x) ( inf f (x)).x∈Xx∈XДоказательство сразу следует из теоремы 7.1.8. Множество натуральных чисел и его свойстваОпределение 8.1. Множество E ⊂ R называется индуктивным, еслииз условия x ∈ E следует x + 1 ∈ E.Теорема 8.1. Пересечение любого непустого семейства индуктивныхмножеств – индуктивное множество.∩Доказательство. Пусть Eα ⊂ R индуктивны и E = Eα . Покажем, чтоαE индуктивно. Пусть x∩∈ E, тогда ∀ α, x ∈ Eα . Отсюда ∀ α x + 1 ∈ Eα ,следовательно, x + 1 ∈ Eα . αОпределение 8.2.
Наименьшее индуктивное множество, содержащее1, называется множеством натуральных чисел. Обозначается N.24Теорема 8.2 (Принцип математической индукции). Пусть E ⊂ N удовлетворяет условиям1) 1 ∈ E;2) n ∈ E ⇒ n + 1 ∈ E.Тогда E = N.Доказательство. Из условия следует, что E индуктивно, следовательно,N ⊂ E.
Отсюда N = E. Замечание. Принцип математической индукции формулируют часто следующим образом:Пусть некоторое свойство P (x) выполнено для x = 1, и из условия, чтоP (x) выполнено, следует, что P (x + 1) тоже выполнено. Тогда P (x) справедливо для ∀ x ∈ N.Свойства натуральных чисел.1) ∀ n ∈ N, n > 0.Доказательство. Методом индукции.
Пусть E = {n ∈ N : n > 0}. Покажем, что E = N.a) 1 > 0. Это доказано в параграфе 7.б) Пусть n ∈ E, тогда n > 0, отсюда n + 1 > 1 + 0 = 1 > 0, следовательно,n + 1 ∈ E. Таким образом, по принципу математической индукции E = N.2) ∀ n ∈ N, n ≥ 1Доказательство. E = {n ∈ N : n ≥ 1}a) 1 ∈ E, так как 1 ≥ 1.б) Пусть n ∈ E, тогда n ≥ 1, следовательно, n + 1 ≥ 1 + 1 ≥ 1.
Отсюдаn + 1 ∈ E, следовательно, E = N. 3) Если m, n ∈ N, то m + n ∈ NДоказательство. Пусть m ∈ N – фиксировано, произвольное. ОбозначимE = {n ∈ N : m + n ∈ N} и покажем, что E = N.a) 1 ∈ E, так как m + 1 ∈ N.б) Пусть n ∈ E, т.е. m + n ∈ N. Тогда m + n + 1 = (m + 1) + n ∈ N, откудаm+(n+1) ∈ N, следовательно, n+1 ∈ E, т.е. по принципу математическойиндукции E = N.4) Если m · n ∈ N, то m · n ∈ NДоказательство. Пусть m ∈ N – произвольное фиксированное и пустьE = {n ∈ N : m · n ∈ N}.а) 1 ∈ E, так как m · 1 = m ∈ N.б) Пусть n ∈ E,тогда m·n ∈ N, отсюда m(n+1) = mn+m ∈ N по свойству3). Значит, n + 1 ∈ E, следовательно, E = N.
5) Если n > 1, n ∈ N, то n − 1 ∈ N.25Доказательство. Пусть E = {n − 1 ∈ N : n > 1 ∧ n ∈ N}. Покажем, чтоE = N.a) n − 1 = 1, отсюда n = 1 + 1 ∈ N и n > 1, следовательно, 1 ∈ E.б) m = n − 1 ∈ E ⇒ n > 1 ∧ n ∈ N ⇒ m + 1 = n = (n + 1) − 1 и n + 1 > 1и n + 1 ∈ N ⇒ m + 1 ∈ E ⇒ N = E. 6) min{x ∈ N : x > n} = n + 1.Доказательство. Обозначим E = {n ∈ N : min{x ∈ N : x > n} = n + 1}и покажем, что E = N.
Тогда все будет доказано. Доказываем по индукции.a) Покажем, что 1 ∈ E, т.е. min{x ∈ N : x > 1} = 1 + 1 = 2.Доказательство проводим по индукции. ОбозначимM = {x ∈ N : x = 1 или x ≥ 2}.Если мы докажем, что M = N, то мы докажем, что min{x ∈ N : x > 1} =2. Доказательство равенства M = N проводим по индукции.1 ∈ M , так как 1 = 1.Пусть m ∈ M . Покажем, что тогда m + 1 ∈ M .Если m = 1, то m + 1 = 2 ≥ 2 ∈ M . Если m > 1, то m + 1 > 1 + 1 ≥ 2,следовательно, m + 1 ∈ M , т.е.
M = N.б) Предположим, что n ∈ E, т.е. min{x ∈ N : x > n} = n + 1 ипокажем, что min{x ∈ N : x > n + 1} = n + 2 = n + 1 + 1. Очевидно,min{x ∈ N : x > n + 1} = min{x − 1 : x − 1 > n} + 1 = n + 1 + 1 = n + 2.7) ∀ x ∈ N невозможно неравенство n < x < n + 1, так как наименьшее иззначений x > n равно в точности n + 1.
8) Любое непустое подмножество натуральных чисел имеет наименьшийэлемент.Доказательство. Пусть E ⊂ N. Покажем, что существует наименьшийэлемент, т.е. элемент m ∈ E, что m ≤ E.a) Если 1 ∈ E, то 1 и есть наименьший элемент.б) Пусть 1 ∈/ E. Тогда 1 ∈ N \ E, и существует ненулевое n ∈ N такое, чтоn∈N\E и n+1∈/ N \ E. Таким образом, n + 1 ∈ E. В самом деле, еслиэто не так, то согласно методу математической индукции N \ E = N, откуда E = ∅. Но тогда этот элемент n + 1 и есть наименьший элемент в E. 269.Множество целых чисел и их свойстваОпределение 9.1. Положим по определениюZ = N ⊔ {0} ⊔ (−N)и множество Z называется множеством целых чисел.Таким образом, если n ∈ Z, то или n ∈ N, или n = 0, или −n ∈ N.Теорема 9.1.
Множество Z замкнуто относительно операций "+"и"·".Доказательство. Пусть m, n ∈ Z. Если m > 0 ∧ n > 0, то m + n > 0,отсюда m + n ∈ Z.Если m = 0 или n = 0, то m + n совпадает с n или с m, следовательно,m + n ∈ Z.Если m > 0 и n < 0, то m > 0 и −n > 0. Предположим, что m > −n, т.е.∃ p ∈ N, m = p + (−n), отсюда m + n = p ∈ N ∈ Z.Если же m < −n, то ∃ p ∈ N, −n = p + m, откуда m + n = −p ∈ Z. Еслиm = −n, то m + n = 0 ∈ Z. Таким образом, Z замкнуто относительнооперации +.Покажем, что Z замкнуто относительно операции "·".Если m > 0 ∧ n > 0, то m · n ∈ N ⊂ ZЕсли m = 0 или n = 0, то m · n = 0 ∈ Z.Если m < 0 ∧ n < 0, то −m > 0 ∧ −n > 0, откуда −m · (−n) ∈ N,следовательно, m · n ∈ N ⊂ Z.Если m > 0 ∧ n < 0, то m > 0 ∧ −n > 0, отсюда m · (−n) ∈ N, следовательно, m · n ∈ −N.
Следствие. Z есть группа относительно операции +.10.Множество рациональных чиселОпределение 10.1. Пусть m, n ∈ Z и n ̸= 0 тогда число m · n−1 называется рациональным числом и обозначается mn . Множество всех рациональных чисел обозначается Q.Свойства. 1). 0 ∈ Q, так как 0 · n−1 = n0 = 0 ∈ Q2) Если p ∈ Q, то −p ∈ Q.−mДоказательство.
p = mn , тогда −p = n ∈ Q. 27s·m3) mn = sn ∀ s ∈ R, s ̸= 0.−1Доказательство. sm= sm · s−1 n−1 = s · s−1 · mn−1 = msn = sm · (sn)n. m1m2m1 n2 +n1 m24) n1 + n2 =∈Qn1 n2m1 n2 +n1 m2Доказательство.= (m1 n2 + n1 m2 )(n1 n2 )−1 = m1 n2 · (n1 n2 )−1 +n1 n2m1m2−1m2 n1 · (n1 n2 )−1 = m1 n−11 + m2 n2 = n1 + n2 . m2m1 m215) mn1 · n2 = n1 n2 ∈ QДоказательство.m1 m2m1 m2−1= (m1 m2 )(n1 n2 )−1 = (m1 n−11 )(m2 n2 ) =n1 n2n1 n211. Иррациональные числаТеорема 11.1.
Число x ∈ R, такое, что x2 = 2, не является рациональным числом.Доказательство. Рассмотрим множестваX = {x ∈ R, x > 0 : x2 < 2},Y = {y ∈ R, y > 0 : 2 < y 2 }.Так как для таких чисел x и y неравенство x < y ⇐⇒ x2 < y 2 , то X < Y .Поэтому по аксиоме непрерывности существует число z ∈ R, такое, чтоX ≤ z ≤ Y.Покажем, что z 2 = 2.
Доказательство проведем от противного. Пусть z 2 ̸=2. Рассмотрим два случая.1) Пусть вначале z 2 < 2, тогда z ∈ X. Рассмотрим число()2 − z2z+= d.5Очевидно, что d > z, следовательно, d ∈ Y . Покажем, что d2 < 2. Отметим,что 1 < z ⇒ 1 < z 2 ⇒ 1 < z 2 < 2 ⇒ 2 − z 2 < 1. Поэтому)2()2(2 − z22 − z22 − z222= z + 2z ·+<d = z+555()2 − z2 2 − z2 12 − z222<z +4·+· <z +(4 + 1) = z 2 + 2 − z 2 = 2.555528Таким образом, d2 < 2 ⇒ d ∈ X. Но d ∈ Y ⇒ d < d, что невозможно.2) Пусть теперь z 2 > 2 ⇒ z ∈ Y . Рассмотрим числоz−z2 − 2= d < z.5Так как d < z, то d ∈ X.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
