matan1semestr (773486), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отображение R : X → Y называется так же функцией.Т.е. термины отображение и функция – это синонимы. Вместо R в этомслучае используют буквы f, F и так далее, множество X называетсяобластью определения функции f , а множество f (X) ⊂ Y – множествомзначений функции f .5.Конечные и бесконечные множестваОпределение 5.1.
Два множества A и B называются равномощными,наесли существует взаимно однозначное отображение f : A → B. Если Aравномощно B, будем писать A ∼ B.Теорема 5.1. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности.Доказательство.на1) A ∼ A, так как тождественное отображение E : A → A взаимно однозначно.2) Если A ∼ B, то B ∼ A. В самом деле, пусть A ∼ B, тогда сунаществует f : A → B взаимно однозначное, следовательно, существуетнаf −1 : B → A. Покажем, что f −1 взаимно однозначно, т.е. из y1 ̸= y2следует f −1 (y1 ) ̸= f −1 (y2 ). Обозначим f −1 (y1 ) = x1 и f −1 (y2 ) = x2 .
Предположим, что f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ), тогда f (f −1 (y1 )) = f (f −1 (y2 )), отсюдаy1 = y2 , что невозможно.на3)Если A ∼ B ∧ B ∼ C то существует отображение f : A → B взаимнооднозначно и g : B → C взаимно однозначно, откуданаg ◦ f : A → C взаимно однозначно.В самом деле, если x1 ̸= x2 , то f (x1 ) ̸= f (x2 ); следовательно,g(f (x1 )) ̸= g(f (x2 )), откуда (g ◦ f )(x1 ) ̸= (g ◦ f )(x1 ). Определение 5.2.
Так как отношение равномощности есть отношение эквивалентности, то совокупность всех множеств разбивается на17классы равномощных множеств. Совокупность множеств, равномощных множеству A называется мощностью множества A и обозначается A.Определение 5.3. Множество A называется бесконечным, если оноравномощно некоторому своему собственному подмножеству, в противном случае A называется конечным множеством.Теорема 5.2. Если A конечное множество, то после добавления к немуодного элемента получается снова конечное множество.Доказательство. Добавим к A элемент x0 ∈/ A. Докажем, что A ∪ {x0 }– конечное множество. От противного.
Пусть это бесконечное множество.наТогда ∃φ : A ∪ {x0 } → B взаимно однозначно и B – собственное подмножество A ∪ {x0 }. Рассмотрим несколько случаев.1) φ(x0 ) = y0 ∈ A ∧ x0 = φ(x1 ), где x1 ∈ A.∪Тогда ∃C ⊂ A, элементыкоторого не являются образами элементов из A {x0 } при отображении φ.Определим отображение ψ равенствомψ(x) = φ(x), если x ∈ A и x ̸= x1 ;ψ(x1 ) = φ(x0 ) = y0наОтсюда ψ : A → A \ C взаимно однозначно, следовательно, A бесконечно.2) φ(x0 ) = y0 ∈ A и x0 не имеет прообраза при отображении φ. Но тогдаφ : A → B \ {x0 } \ {y0 }, следовательно, A бесконечное множество.3) φ(x0 ) = x0 . Тогда ∃C ⊂ A, элементы которого не являются образаминапри отображении φ.
Тогда φ : A → A \ C взаимно однозначно, следовательно, A бесконечно, что неверно. 18Теорема 5.3. Если A – бесконечное множество, то добавляя (выбрасывая) элемент, получаем бесконечное множество.Доказательство. Пусть B = A \ {x0 }, отсюда A = B ∪ {x0 }. Если Bконечное, то A конечно по теореме 5.2, что невозможно. Замечание. Используя такое определение конечного множества, можнодать следующее определение: Мощность конечного непустого множестваназывается натуральным числом.6.Аксиомы действительных чиселОпределение 6.1.
Отображение T : X × X → X называют операциейна множестве X. Если T : (x, y) → z, то пишут z = xT y.Например, операция + паре (x, y) ставит в соответствие число x + y.Определение 6.2. Пусть R ̸= ∅ непустое множество и в R определены операции "+"и "·". Пусть эти операции удовлетворяют следующимсвойствам (аксиомам).Аксиомы сложения.A.1. a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность)А.2. a + b = b + a (коммутативность)А.3. ∃Θ ∈ R, такой, что ∀ a ∈ R a + Θ = a (Θ – нулевой элемент)А.4. ∀ a ∈ R, ∃ (−a) ∈ R, что a + (−a) = ΘЗамечание. Аксиомы А.1-А.4 означают, что R относительно операции"+"есть коммутативная группа.
Нулевой элемент в дальнейшем будемобозначать через 0.Аксиомы умножения.А.5. a · (b · c) = (a · b) · c (ассоциативность)А.6. a · b = b · a (коммутативность)А.7. ∃ e ∈ R \ {0}∀ a ∈ R ae = a. Элемент e называется единичным и19обозначается 1.А.8. ∀ a ∈ R \ {0} ∃ a−1 , что a · a−1 = 1.Замечание. Аксиомы А5-А8 означают, что множество R \ {0} образуетгруппу относительно операции ·.Аксиома связи операций "+"и "·".А.9.
(a + b)c = ac + bc (дистрибутивность)Аксиомы порядка.В R определено отношение порядка "≤" , удовлетворяющее условиям:А.10. a ≤ aA.11. a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = bA.12. a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ cA.13. ∀ a, b ∈ R a ≤ b ∨ b ≤ a (R линейно упорядочено)Аксиомы связи операции "+"с отношением порядка "≤"A.14. Если a ≤ b, то ∀ c ∈ R a + c ≤ b + cАксиомы связи операции "·"с отношением порядка "≤"A.15. Если a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒ a · b ≥ 0Аксиома непрерывности.А.16. Если A ⊂ R, B ⊂ R такие, что A ≤ B, т.е.
∀ a ∈ A и ∀ b ∈ B a ≤ b,то существует c ∈ R, разделяющее множества A и B, т.е. A ≤ c ≤ B, т.е.∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B a ≤ c ≤ b.Множество R называется множеством действительных чисел, а любойэлемент a ∈ R – действительным числом.7. Свойства действительных чисел, следующие из аксиом.Свойства, следующие из аксиом А1-А4.1) Нулевой элемент единственный.Доказательство. Пусть Θ1 и Θ2 - два нулевых элемента. Тогда Θ1 + Θ2 =Θ1 и Θ1 + Θ2 = Θ2 , следовательно, Θ1 = Θ2 .2) ∀ a ∈ R обратный элемент – единственный.Доказательство. Пусть b1 и b2 – два обратных элемента к a. Тогда (b1 +a) + b2 = b2 и b1 + (a + b2 ) = b1 , т.е.
b1 = b2 .3) Уравнение a + x = b имеет единственное решение x = b + (−a).Доказательство. Пусть существуют два решения x1 и x2 , т.е.a + x1 = b и a + x2 = bПрибавим к обеим сторонам −a. Тогда x1 = b + (−a),следовательно, x1 = x2 . Свойства, следующие из аксиом А5-А8.1) единичный элемент e - единственный.20x2 = b + (−a),Доказательство. Пусть e1 и e2 – два единичных элемента. Тогда e1 ·e2 = e2и e1 · e2 = e1 . Отсюда e1 = e2 .
2) ∀ a ∈ R \ {Θ} обратный элемент единственный.Доказательство. Пусть b1 и b2 – обратные. Тогда b1 ab2 = b1 и b1 ab2 = b2 ,следовательно, b1 = b2 . 3) ∀ a ̸= Θ уравнение ax = b имеет единственное решение x = b·a−1 ∀b ̸= 0Доказательство. Ясно, что a · ba−1 = 1 · b = b. Предположим, что ax1 = bи ax2 = b, тогда x1 = a−1 b и x2 = a−1 b. Следовательно, x1 = x2 . Замечание.
Вместо a−1 часто пишут a1 , т.е. a · a1 = 1.Свойства, следующие из аксиом дистрибутивности.1) 0 · a = 0.Доказательство. 0 · a = (0 + 0)a = 0 · a + 0 · a. Прибавим к обеим частям−(0 · a). Тогда 0 = 0 · a. 2) ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0.Доказательство. Пусть a ̸= 0.
Умножим обе части равенства ab = 0 наa−1 . Тогда 1 · b = 0. Отсюда b = 0. 3) (−1) · a = −a.Доказательство.a + (−1 · a) = 1 · a + (−1) · a = (1 + (−1))a = 0 · a = 0. 4) −(−a) = a – очевидно. Свойства, следующие из аксиом порядка.dfОпределим в R отношение строгого порядка следующим образом: a < b ⇔a ≤ b ∧ a ̸= b.1) ∀ a, b, a < b ∨ a = b ∨ b < a – очевидно.Доказательство.
a ≤ b ∨ b ≤ a, т.е. a < b ∨ a = b ∨ b < a ∨ a = b. 2) a < b ∧ b ≤ c ⇒ a < c.3) a ≤ b ∧ b < c ⇒ a < c.Доказательство. Если a ̸= b то a < b ∧ b < c ⇒ a < c, по определениюотношение строгого порядка. Если a = b, то a < c. Свойства, следующие из аксиом связи отношения порядка иоперации сложения4) Если a < b, то ∀ c ∈ R a + c < b + c.Доказательство.
Если a < b, то a ≤ b и по аксиоме A.14 a + c ≤ b + c.Покажем, что a + c ̸= b + c. От противного. Предположим, что a + c = b + c.Прибавим к обеим частям −c, получим a = b, что противоречит условиюa < b. Таким образом, a + c ̸= b + c ⇒ a + c < b + c. 5) Если a < b ∧ c < d, то a + c < b + d.Доказательство. По свойству 4) из a < b ⇒ a + c < b + c.
Изc < d ⇒ b + c < b + d. По свойству транзитивности a + c < b + c < b + d. 6) Если a > 0. то −a < 0.21Доказательство. Прибавим к обеим частям неравенства число −a. Получим a + (−a) > −a ⇒ 0 > −a, т.е. −a < 0. Свойства, следующие из аксиом связи отношения порядка иоперации умножения1) Если a > 0 и b > 0, то ab > 0.Доказательство. Так как a > 0 и b > 0, то a ≥ 0 и b ≥ 0, и по аксиомеА.15 ab ≥ 0. Покажем, что ab ̸= 0. Предположим, что ab = 0, тогда a = 0или b = 0, что противоречит условию a > 0 ∧ b > 0.
2) Если a > 0 и b < 0, то ab < 0.Доказательство. Из b<0⇒−b>0. По свойству 1) a · (−b)>0⇒−ab>0⇒ab<0.3) Если a < b и c > 0, то ac < bc.Доказательство. Так как a < b, то b + (−a) > 0 и по свойству 1)(b + (−a))c > 0. Отсюда bc + (−ac) > 0, и, значит, bc > ac. 4) Если a < b и c < 0, то ac > bc.Доказательство. Из c < 0 следует, что −c > 0 и по свойству 3) −ac < −bc. Прибавим к обеим частям ac, получим0 < ac − bc.
Прибавим к обеим частям bc, получим bc < ac.5) 1 > 0.Доказательство. От противного, пусть ¬(1 > 0). Это означает, что1 < 0 или 1 = 0. Равенство 1 = 0 невозможно, т.е. 1 < 0. Умножая обечасти на число 1, которое меньше 0, получаем 1 > 0, что противоречитпредположению 1 < 0. 7.Ограниченные множества и функцииОпределение 7.1. Пусть X ⊂ R – числовое множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
