matan1semestr (773486)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

С.Ф.ЛУКОМСКИЙМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗВВЕДЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕСАРАТОВ2012УДК 517ББК 22.19;Л84 Лукомский С.Ф. Математический анализ. Введение. Дифференциальное исчисление Саратов, 2012, 106с.Курс лекций по математическому анализу за 1-й семестр 1-го годаобучения в современном изложении. Предназначен студентам механикоматематического факультета.Рецензент: профессор Терехин П.А.Учебное изданиеЛукомский Сергей ФедоровичМатематический анализВведение.

Дифференциальное исчисление.УДК 517c⃝ЛукомскийС.Ф.,2012Оглавление1Множество действительных чисел.1Высказывания, предикаты и операции над ними. . . . . . .2Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . .3Декартово произведение, отношения между множествами .4Отображения, классификация отображений . . . . . . . . . .5Конечные и бесконечные множества . . .

. . . . . . . . . . .6Аксиомы действительных чисел . . . . . . . . . . . . . . . .7Ограниченные множества и функции . . . . . . . . . . . . .8Множество натуральных чисел и его свойства . . . . . . . .9Множество целых чисел и их свойства . . . . .

. . . . . . .10Множество рациональных чисел . . . . . . . . . . . . . . . .11 Иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Принцип Архимеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Абсолютная величина числа . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Изображение действительных чисел на прямой. Подмножества множества действительных чисел. Расширенная числовая прямая . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Представление действительных чисел в виде бесконечной десятичной дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Принцип вложенных отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Теорема о конечном покрытии . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Лемма о предельной точке . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .19 Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Множества мощности континуум . . . . . . . . . . . . . . . .88101215171922242727282930313233343536372 Последовательность и ее предел381Предел последовательности, различные определения предела 382Единственность предела . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 393Ограниченность сходящейся последовательности . . . . . . . 394Арифметические операции над пределами . . . . . . . . . . . 405Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . . . . . . 413678910111213141516Фундаментальная последовательность и ее свойства . . . . .Монотонная последовательность. Критерий сходимости монотонной последовательности . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Подпоследовательность и ее предел . . . . . . . . . . . . . .Выделение сходящейся подпоследовательности изограниченной последовательности . . . . . . . . . . . . . . .Критерий Коши сходимости числовой последовательности .Неравенство Бернулли . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .Число Непера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Некоторые пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Формула Бинома Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Верхний и нижний пределы последовательности . . . . . . .Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности42424344444545454647483 Предел функции1Предел функции, различные определения предела . . . .

. .2Предел функции на языке последовательностей (по Гейне) .3Единственность предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . . . . . .5Арифметические операции над пределами . . . . . . . . . . .6Предел сложной функции .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Критерий Коши существования предела у функции . . . . .8Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых .9Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Бесконечные пределы и пределы в бесконечно удаленной точке5050515151525353545555564 Непрерывные функции1Непрерывные функции в точке. Несколько определений . .

.2Сохранение знака непрерывной функции в окрестности точки непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Арифметические операции над непрерывными функциями .4Непрерывность сложной функции . . . . . . . . . . . . . . .5Непрерывность элементарных функций . . . . . . .

. . . . .6Односторонняя непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . .7Разрывные функции. Классификация точек разрыва . . . .8Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора . . . .9Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке10 Промежуточные значения непрерывной функции . . . . . .57574585859596060616263111213141516Непрерывность обратной функции .

. . . . . . . . . . . . . .Обратные тригонометрические функции и их непрерывностьОпределение показательной функции ax . . . . . . . . . . . .Свойства показательной функции . . . . . . . . . . . . . . .Логарифмическая функция как обратная к показательной .Пределы, связанные с показательной и логарифмическойфункциями . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64656667695 Дифференциальное исчисление1Производная, ее геометрический и физический смысл . . . .2Дифференцируемая функция и ее дифференциал . . . . . .3Непрерывность дифференцируемой функции .

. . . . . . . .4Производная суммы, произведения и частного . . . . . . . .5Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . .6Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . .7Производные некоторых элементарных функций . . . . . . .8Инвариантность формы I дифференциала . . . .

. . . . . . .9Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . .11 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.Теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Теоремы Ролля, Лагража и Коши . .

. . . . . . . . . . . . .13 Формула Тейлора для многочлена . . . . . . . . . . . . . . .14 Формула Тейлора для произвольной функции . . . . . . . .15 Остаток формулы Тейлора в формах Лагранжа и Коши . .16 Формула Тейлора с остатком в форме Пеано . . . . . . . . .17 Формулы Тейлора для элементарных функций . . . . . . . .717173747475757677777869798081828385856 Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков921Монотонность функции в точке. Необходимые условия монотонности в точке. Достаточные условия .

. . . . . . . . . . . 922Монотонность функции на отрезке. Необходимые и достаточные условия монотонности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933Экстремум функции в точке. Необходимое условие экстремума 944Нахождение экстремума. 1-е достаточное условие экстремума 955Нахождение экстремумов. 2-е достаточное условие . . . . . 956Касательная и ее уравнение . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 977Выпуклость в точке, точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . 988Выпуклые функции на отрезке. Критерий выпуклости . . . 10059101112Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . .Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . .Правило Лапиталя для неопределенности 00 . . . .

. .Правило Лапиталя для неопределенности вида ∞∞ . .6................102103104105ВведениеНастоящее издание представляет собой курс лекций по математическому анализу, который читается автором на протяжении многих лет. Он неявляется учебником, которым можно пользоваться самостоятельно без посещения занятий и лекций.

Скорее это конспект лекций, который долженостаться у студента, после того как он прослушал этот курс, но по какой-топричине плохо его записал. Автор пытался сделать изложение максимальнострогим и по возможности более полным. Здесь почти отсутствуют предложения студенту доказать самостоятельно.

Автор пытался последовательнопроводить в жизнь принцип: очевидно – это легко доказуемо. В результатепочти все очевидные вещи доказаны.Изложение начинается с теоретико-множественного и логического введения, которое скорее является языком данного издания.

Подробно излагается аксиоматическая теория действительных чисел и на ее основе определяются натуральные, рациональные и иррациональные числа. Этому посвящена вся первая глава. В этой же главе вводятся такие фундаментальные понятия анализ, как верхняя и нижняя грани множества и функции.В остальных главах содержится традиционный материал анализа. Издание не содержит задач, так как его основная цель – помочь студентуовладеть теоретическими понятиями.7Глава 1Множество действительных чисел.1.Высказывания, предикаты и операции над ними.Определение 1.1. Повествовательное предложение, о котором можносказать истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Высказывания обозначают большими буквами латинского алфавита A,B,C,...ит.д.Например: число 4 четное – истинное высказывание;число 9 делится на 4 – ложное.Определение 1.2. Пусть A,B – высказывания.1) Высказывание "не A"или "неверно, что A"называется отрицанием иобозначается ¬A или Ā. Высказывание ¬A считается истинно тогда итолько тогда, когда A ложно.2) Высказывание "A и B”, которое считается истинным тогда и только тогда, когда одновременно истинны высказывания A и B, называетсяконъюнкцией и обозначается A ∧ B.3) Высказывание “A или B”, которое считается истинным, когда хотябы одно из высказываний A и B истинно, называется дизъюнкцией и обозначается A ∨ B.4) Высказывание "A влечет B“ или “из A следует B“, которое ложно вединственном случае, когда A истинно и B ложно, называется импликацией и обозначается A =⇒ B.5) Высказывание "A равносильно B“, которое истинно тогда и толькотогда, когда A и B имеют одинаковые значения истинности, называются эквиваленцией и обозначается A ⇐⇒ B.8Значения операций можно записать в виде таблиц истинности.A ¬A1001A1100B A∧B00110010A1100A1100A =⇒ B A B01 01 1110 010 1B A∨B01110011B A ⇐⇒ B11001001Свойства.1) A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C);2) A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C);3) ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B;4) ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.Докажем свойство 3).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)