matan1semestr (773486), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Но тогда иx→0+055lim sin x = 0.x→0−02) 1−cos x = 2 sin2 x2 ⇒ cos x = 1−2 sin2 x2 ⇒ lim cos x = 1−2 lim sin2 x2 = 1.x→0x→0Теорема 10.2. lim sinx x = 1.x→0Доказательство. S∆OCB < SsektOCB < S∆ODB . Отсюда1122 x · 1 < 2 tg x · 1. Следовательно,1<Но lim cos x = 1 ⇒ limx→0+0xx→0+0 sin x12sin x · 1 <1x<.sin x cos x= 1. Предел lim sinx x = 1 называется первым замечательным пределом.x→0Следствие. Теорема 10.2 означает, что sin x ∼ x при x → 0.11. Бесконечные пределы и пределы в бесконечно удаленной точкеОкрестностью бесконечно удаленной точки x0 = +∞ называется множество Oδ (+∞) = {x : x > δ} (δ > 0).Окрестностью бесконечно удаленной точки x0 = −∞ называется множество Oδ (−∞) = {x : x < −δ} (δ > 0).Окрестностью бесконечно удаленной точки x0 = ∞ называется множествоOδ (∞) = {x : |x| > δ} (δ > 0).Запишем определение предела на языке окрестностей: A = lim f (x) тогдаx→x0и только тогда, когда◦◦∀ Oε (A) ∃ Oδ (x0 ) ∀ x ∈Oδ (x0 ) ∩ E, f (x) ∈ Oε (A).Как выглядит это определение, если A = ∞ или x0 = ∞? Если x0 = +∞,то на языке ε − δ получаем: A = lim f (x) тогда и только тогда, когдаx→+∞∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ E, x > δ, |f (x) − A| < ε.Задача: Определения последовательностей lim f (x) = A,x→−∞A, lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞,x→x0x→x0x→x0записать на языке ε − δ.56lim f (x) =x→∞lim f (x) = ±∞x→±∞Глава 4Непрерывные функции1.
Непрерывные функции в точке. Несколько определенийОпределение 1.1 (Основное определение). Пусть f определена на E ⊂R и x0 ∈ E. f называется непрерывной в точке x0 ∈ E, если∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ E, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.Замечание 1. Если x0 – изолированная точка множества E, то это всегдавыполняется. Следовательно, любая функция непрерывна в изолированнойточке.Замечание 2. Если x0 – предельная точка множества E, то определение1.1 означает, чтоf (x0 ) = lim f (x)x→x0и, следовательно, функцию f можно назвать непрерывной в предельнойточке x0 ∈ E, еслиlim f (x) = f (x0 ).x→x0Замечание 3.
Определение непрерывности можно записать в виде:∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ Oδ (x0 ) ∩ E, f (x) ∈ Oε (f (x0 ))или, иначе,∀ Oε (f (x0 )), ∃ Oδ (x0 ), ∀ x ∈ Oδ (x0 ) ∩ E, f (x) ∈ Oε (f (x0 )),(1.1)или∀ O(f (x0 )), ∃ O(x0 ), f (O(x0 ) ∩ E) ⊂ O(f (x0 )).(1.2)(1.1) – определение на языке окрестностей, (1.2) – определение топологическое.572. Сохранение знака непрерывной функции в окрестности точки непрерывностиТеорема 2.1.
Пусть f определена на E, x0 ∈ E, f (x0 ) ̸= 0 и f непрерывна в точке x0 . Тогда существует O(x0 ), в которой f (x) имеет тотже знак, что и f (x0 ).Доказательство. По определению предела для ε =Oδ (x0 ) ∩ E, |f (x) − f (x0 )| < ε. Следовательно,−|f (x0 )|2∃ Oδ (x0 ), ∀ x ∈|f (x0 )||f (x0 )|< f (x) − f (x0 ) <.22(2.1)Если f (x0 ) > 0, то левая часть неравенства (2.1) даетf (x) >f (x0 )> 0.2Если f (x0 ) < 0, то из правой части неравенства (2.1) получаемf (x) <3. Арифметическиефункциямиf (x0 )< 0. 2операциинаднепрерывнымиТеорема 3.1.
Пусть f (x), g(x) непрерывны в точке x0 ∈ E. Тогда1) f (x) ± g(x) – непрерывна.2) f (x) · g(x) – непрерывна.(x)3) Если g(x0 ) ̸= 0, то fg(x)непрерывна в точке x0 .4) f (x) = const – непрерывна в любой точке x0 ∈ E.Доказательство. Если x0 – изолированная точка множества E, то этоочевидно. Пусть x0 – предельная точка множества E. Докажем утверждения 1-2).
По свойствам пределаlim (f (x) ± g(x)) = f (x0 ) ± g(x0 ), lim (f (x) · g(x)) = f (x0 ) · g(x0 ) ⇒x→x0x→x0f ± g и f · g непрерывны в точке x0 .3) Если g(x0 ) ̸= 0 ⇒ g(x) ̸= 0 в некоторой окрестности точки x0 . Следоваf (x)f (x0 )(x)= limтельно, ∃ lim fg(x)lim g(x) = g(x0 ) .x→x04) Последнее утверждение очевидно. Доказать самостоятельно.584. Непрерывность сложной функцииТеорема 4.1. Пусть f : X → R непрерывна в точке x0 , f (x0 ) = y0 ,Y = f (X), g(y) непрерывна в точке y0 ∈ Y , область определения функцииg содержится в области значений f .
Тогда сложная функция g(f (x))непрерывна в точке x0 .Доказательство. Т.к. g непрерывна в т. y0 , то∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ y ∈ Y, |y − y0 | < δ, ⇒ |g(y) − g(y0 )| < εТ.к. f непрерывна в т. x0 , то для выбранного δ > 0,∃ σ > 0, ∀ |x − x0 | < σ, x ∈ X, |f (x) − f (x0 )| < δ ⇒ |f (x) − y0 | < σ ⇒⇒ |g(f (x)) − g(f (x0 ))| < ε ⇒ |(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(x0 )| < ε.Следствие.
Если f непрерывна в точке x0 , f (x0 ) = y0 , g(y) непрерывнав точке y0 и x0 – предельная точка области определения f, y0 –предельнаяточка области определения g, то()lim g(f (x)) = g lim f (x) .x→x0x→x0Это означает, что знак предела можно проносить под знак непрерывнойфункции.5. Непрерывность элементарных функцийОпределение 5.1. Функция P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ...
+ an xn (an ̸= 0)называется многочленом степени n.Теорема 5.1. Многочлен есть непрерывная функция для всех x ∈ R.Доказательство. Очевидно, что функция g(x) определена ∀ x ∈ R.1) Функция φ(x) = x – непрерывна в каждой точке x0 ∈ R, т.к. lim x = x0 .x→x02) Функция φ(x) = x непрерывна в каждой точке x0 ∈ R, т.к. xn =x · x · ...
· x.3) ak xk – непрерывна, как произведение непрерывной g-функции на число.4) P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn есть непрерывная функция как сумманепрерывных функций. nТеорема 5.2. sin x есть непрерывная функция для всех x ∈ R.59Доказательство. По формуле разности синусов x+xx−xx−x0 00 | sin x − sin x0 | = 2 cos· sin≤ 2 sin≤ |x − x0 |.2 2 2 Поэтому lim | sin x − sin x0 | ≤ lim |x − x0 | = 0. Значит, lim (sin x − sin x0 ) =x→x0x→x00. Отсюда lim sin x = sin x0 . Следовательно, sin x непрерывен в т.
x0 . x→x0Теорема 5.3. cos x – непрерывная функция для всех x ∈ R.Доказательство. 1 − cos x = 2 sin2 x2 ⇒ cos x – непрерывная функция. 6. Односторонняя непрерывностьОпределение 6.1. Функция f (x), определенная на E, называется непрерывной в точке x0 ∈ E слева, если∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ≤ x0 , x ∈ E, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.Определение 6.2.
Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 ∈E справа, если∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ≥ x0 , x ∈ E, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.Теорема 6.1. f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когдаf (x) непрерывна в точке x0 слева и справа.Доказательство очевидно.7. Разрывные функции. Классификация точек разрываПусть x0 ∈ E предельная точка множества E и f ограничена на E.Определение 7.1. Если f (x) не является непрерывной в точке x0 , то fназывается разрывной. Таким образом, f (x) разрывна в точке x0 тогда итолько тогда, когда limx→x0 f (x) ̸= f (x0 ).Замечание. Очевидно, что точка разрыва всегда предельная точка!!Определение 7.2.
f (x) имеет в точке x0 устранимый разрыв, если∃ lim f (x) ̸= f (x0 ).x→x060Пример 1.{0, x ̸= 0,1, x = 0.|f (x)| =x0 = 0 – точка устранимого разрыва.Определение 7.3. f (x) имеет в точке x0 разрыв I рода, если существуют пределы lim f (x), lim f (x), но они не равны.x→x0 −0x→x0 +0Пример 2.{−1, x ≤ 0,1, x > 0.f (x) =В точке x0 = 0 – разрыв I рода.Определение 7.4. f (x) имеет в точке x0 разрыв II рода, если по крайнеймере один из односторонних пределов lim f (x) и lim f (x) не сущеx→x0 −0x→x0 +0)ствует или = ∞.Пример 3.{f (x) =x ̸= 0,1, x = 0.1x,В точке x0 = 0 – разрыв II рода, т.к.
lim x1 = ∞x→0Пример 4.{sin x1 , x ̸= 0,f (x) =0,x = 0.1.sin x1 = 0 ⇔ x1 = kπ ⇒ x = kπ11π1sin x = 1 ⇔ x = 2 + 2πk ⇒ x = π +2πk.21sin x1 = −1 ⇔ x1 = 3π2 + 2πk ⇒ x = 3π +2πk .21lim sin 3π 1 −1 =−1 = lim 1 = 1,πk→+∞k→+∞( 2 +2πk)( 2 +2πk)1т.е. lim sin x не существует, следовательно, в точке x = 0 –x→0+0Таким образом, lim sinlim −1 = −1,разрыв II рода.8. Равномерно непрерывные функции. Теорема КантораОпределение 8.1. f (x), определенная на E, называется равномернонепрерывной на E, если∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x′ , x′′ ∈ E, |x′ − x′′ | < δ ⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε.61Теорема 8.1. Если f (x) равномерно непрерывна на E, то f (x) непрерывна в каждой точке множества E.Доказательство.
x0 ∈ E ⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x′′ ∈ E |x′′ − x0 | < δ ⇒|f (x′′ ) − f (x0 )| < ε. Теорема 8.2. Если f непрерывна на отрезке [a, b], то f равномернонепрерывна на [a, b].Доказательство. От противного. Пусть f не равномерно непрерывна. Тогда∃ ε0 > 0 ∀ δ =11, ∃ x′n , x′′n ∈ E, |x′n − x′′n | < но |f (x′n ) − f (x′′n )| ≥ ε0 .nnИз последовательности x′n выделим сходящуюся подпоследовательностьx′nk → x0 ∈ [a, b].Т.к.
f непрерывна, то lim f (x′nk ) = f (x0 ). Но |x′′nk − x′nk | <k→∞1nk→ 0 ⇒ x′′nk →x0 ⇒ lim f (x′′nk ) = f (x0 ) ⇒ lim |f (x′nk ) − f (x′′nk )| = 0, что противоречитk→∞условию |f (x′n ) − f (x′′n )| ≥ ε0 . Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, b] заменить на интервал.Например, функция f (x) = x1 на (0, 1) непрерывна в любой точке x ∈ (0, 1),1но f (x) не равномернонепрерывна,так как если выберем x′n = n1 , x′′n = n+1,1 n+1−n1то |x′n − x′′n | = n1 − n+1= n(n+1)= n(n+1)→ 0.Но |f (x′n ) − f (x′′n )| = |n − (n + 1)| = 1 не стремится к 0.9.
Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение функции,непрерывной на отрезкеТеорема 9.1. Всякая функция, непрерывная на отрезке [a, b], ограниченана отрезке [a, b].Доказательство. Пусть f непрерывна на [a, b], но неограничена. Тогда∀ c = n ∈ N ∃ xn ∈ [a, b], |f (xn )| ≥ n.Выберем подпоследовательность (xnk )∞k=1 , xnk ∈ [a, b] такую, что xnk →x0 (k → ∞). Тогда x0 ∈ [a, b].
Но f непрерывна в точке x0 , следовательно,f (x0 ) = lim f (xnk ). Значит последовательность (f (xnk ))∞k=1 ограничена,k→∞62что противоречит условию |f (xn )| ≥ n. Замечание. Обратное неверно, т.е. ограниченная функция не обязательнонепрерывна.Теорема 9.2. Если f непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на[a, b] своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. ∃ x′0 , x′′0 ∈ [a, b],что ∀ x ∈ [a, b] f (x′ ) ≤ f (x) ≤ f (x′′ ).Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
