matan1semestr (773486), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Она называетсятоже loga y.Свойства логарифма. 1) loga xy = loga x + loga y (x > 0, y > 0)2) loga xα = α loga x (x > 0).16. Пределы, связанные с показательной и логарифмической функциямиПредложение 16.1. limx→+∞(1+)1 xx=e69Доказательство. Для x найдется n ∈ N, что N ≤ x < N + 1 ⇒()N ()x ()N +11111+≤ 1+≤ 1+.N +1xN()N +1()NНо lim 1 + N1= lim 1 + N1+1= e. Отсюда по теореме о сжатойN →∞N)→∞(xпеременной lim 1 + x1 = e. x→+∞Предложение 16.2.
lim(x→−∞1+)1 xx=eДоказательство. Обозначим x = −y, тогда y → +∞ и y > 0. Но)x ()−y()y ()y(111yy−1+1)y =1+= 1−=(==1xyy−1y−11−y(= 1+1y−1)y→ e (y → +∞). ()xСледствие. lim 1 + x1 = e.x→∞1Предложение 16.3. lim (1 + x) x = e.x→0Доказательство. Обозначим1x(1x= y ⇒ lim (1 + x) = lim 1 +x→0y→∞1y)y= e.Предложение 16.4. Справедливы равенства1)lim ln(1+x)=1xx→02)lim exp(x)−1=1xx→0Доказательство. Используя свойства логарифмической функции, еенепрерывность и предложение 16.3 имеем1ln(1 + x)= lim ln(1 + x) x = ln e = 1x→0x→0xlimи первое равенство доказано. Для доказательства 2-го равенства сделаемзамену ex − 1 = y.
Получаемyex − 1= lim= 1.y→0 ln(1 + y)x→0xlim70Глава 5Дифференциальное исчисление1. Производная, ее геометрический и физическийсмыслОпределение 1.1. Пусть f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b). f . Пределf (x) − f (x0 ),x→x0x − x0limесли он существует, называют производной функции f в точке x0 и обозначают f ′ (x0 ) или d fd(xx 0 ) или d fd (x)x |x=x0 . Таким образом, по определениюdff (x) − f (x0 ).x→x0x − x0f ′ (x0 ) = lim(1.1)Замечание. Если обозначить x − x0 = ∆x0 , то равенство (1.1) можнозаписать в видеf (x0 + ∆x0 ) − f (x0 ).∆x0 →0∆x0f ′ (x0 ) = lim(1.2)Если в (1.2) x0 заменить на x, то получимf (x + ∆x) − f (x).∆x→0∆xf ′ (x) = lim(1.3)Равенство (1.3) определяет производную в произвольной точке x ∈ (a, b).∆x называют приращением аргумента в точке x.
Приращение ∆x и переменная x не зависят друг от друга, и поэтому (1.3) можно записать ввиде:f (y) − f (x)f ′ (x) = lim.y→xy−x71Замечание. Если функция определена на отрезке [a, b], то можно определить производную в граничных точках a и bdff (x) − f (a).x→a+0x−af ′ (a) = lim(1.4)f (x) − f (b).(1.5)x→b−0x−bПроизводную в (1.4) называют правой производной, а производную в (1.5)– левой производной.Геометрический смысл производнойПусть f : (a, b) → R. Множествоdff ′ (b) = limΓ(f ) = {M (x, y) : x ∈ (a, b), y = f (x)}называют графиком функции f .Выберем точку M0 (x0 , y0 ) ∈ Γ(f ) и точку M (x, y) ∈ Γ(f ).
Проведем через эти точки прямую l. Обозначим через A точку с координатами (x, f (x0 ))и рассмотрим ∆AM M0 . Пусть φ – угол, который образует прямая l с осьюOX + . Из ∆AM M0 находим, чтоtg φ =|AM |f (x) − f (x0 ).=|AM0 |x − x0(1.6)Устремим точку M к M0 , при этом прямая l будет поворачиваться вокругточки M0 и займет некоторое предельное положение.Определение 1.2. Предельное положение прямой l называется касательной к Γ(f ) в точке M0 .
Обозначим через α – угол между касательной и осью OX + . Ясно, что α = lim φ при M → M0 . Поэтому, переходяв (1.6) к пределу при M → M0 , получаемf (x) − f (x0 )= f ′ (x0 ),x→x0x − x0tg α = limт.е. производная f ′ (x0 ) есть тангенс угла наклона касательной.Физический смысл производнойПусть S(t) – путь, пройденный точкой за время от t0 до t. Тогдаесть средняя скорость.S(t)−S(t0 )t−t0Определение 1.3. Предел средней скорости при |t − t0 | → 0 называетсямгновенной скоростью.0)= S ′ (t0 ), то мгновенная скорость есть производнаяТак как lim S(t)−S(tt−t0t→t0пути по времени.722. Дифференцируемая функция и ее дифференциалОпределение 2.1.
Пусть f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b). Функция f называется дифференцируемой в точке x0 , если приращение f (x) − f (x0 )представимо в видеf (x) − f (x0 ) = A · (x − x0 ) + α(x) · (x − x0 ),(2.1)где A = A(x0 ) – число, зависящее от точки x0 . α(x) – функция, непрерывная в точке x0 и такая, что lim α(x) = 0.x→x0Теорема 2.1. Функция f дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда существует производная в этой точке. При этом A =f ′ (x0 ).Доказательство. Д о с т а т о ч н о с т ь.
Пусть f дифференцируема вточке x0 , тогда выполнено (2.1). Поделим обе части (2.1) на x−x0 , получимf (x) − f (x0 )= A + α(x).x − x0Перейдем к пределу при x → x0 . Т.к. предел правой части существует, тосуществуетf (x) − f (x0 )= lim (A + α(x)) = f ′ (x0 ).x→x0x→x0x − x0limН е о б х о д и м о с (т ь. Пусть существуетпроизводная f ′ (x0 ) =)(x0 )(x0 )lim f (x)−f. Тогда lim f (x)−f− f ′ (x0 ) = 0. Обозначим α(x) =x−x0x−x0x→x0x→x0f (x)−f (x0 )′− f (x0 ). Ясно, что α(x) → 0 при x → x0 .
Тогда f (x) − f (x0 ) =x−x0′f (x0 )(x − x0 ) + α(x)(x − x0 ). Следовательно, f (x) дифференцируема в точке x0 и A = f ′ (x0 ). Замечание. (2.1) можно записать в виде∆f (x0 ) = f ′ (x0 ) · ∆x0 + α(x) · ∆x0 .(2.2)Определение 2.2. Слагаемое f ′ (x0 ) · ∆x0 называется дифференциаломфункции в точке x0 и обозначается df (x0 ).
Таким образом,dfdf (x0 ) = f ′ (x0 ) · ∆x0Замечание. Заменим x0 на x получим равенствоdfdf (x) = f ′ (x) · ∆x73(2.3)Лемма 2.2. Дифференциал независимой переменной x равен ∆x.Доказательство. Рассмотрим функцию f (x) = x. Отсюда df (x) =f ′ (x)∆x. Но f ′ (x) = 1 ⇒ dx = ∆x. Следствие. Заменяем в (2.3) ∆x на dx, тогдаdf (x) = f ′ (x)dx.3. Непрерывность дифференцируемой функцииТеорема 3.1. Если f определена в O(x0 ) и дифференцируема в точке x0 ,то f непрерывна в точке x0 .Доказательство.
Так как f дифференцируема в точке x0 , то f (x) −f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) + α(x)(x − x0 ) ⇒ lim (f (x) − f (x0 )) = 0. Следоx→x0вательно, f непрерывна в точке x0 . 4. Производная суммы, произведения и частногоБудем считать, что f и g определены в O(x0 ).Теорема 4.1.
Пусть f и g дифференцируемы в точке x0 . Тогда1)если f (x) = λ = const, то f ′ (x) ≡ 0. Это очевидно.2) f ± g дифференцируема в точке x0 и (f ± g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) ± g ′ (x0 ).′3) f ·g дифференцируема в точке x0 и (f ·g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 )+f( (x)0 )g (x0 ).4) Если g(x0 ) ̸= 0, то′f (x)g(x)дифференцируема в точке x0 иfg′(x0 ) =′f (x0 )g(x0 )−f (x0 )g (x0 ).g(x0 )2Доказательство. 2) (f ± g)′ (x0 )limx→x0f (x)−f (x0 )x−x03) (f · g)′ =± limg(x)−g(x0 )(f (x)−f (x0 ))x−x0x→x0lim· g(x) + limx→x0(f (x)±g(x))−((f (x0 )∓g(x0 ))x−x0x→x0lim== f ′ (x0 ) ± g ′ (x0 ).x−x0x→x0f (x)g(x)−f (x0 )g(x0 )limx−x0x→x0=f (x)g(x)−f (x0 )g(x)+f (x0 )g(x)−f (x0 )g(x0 )x−x0x→x0(g(x)−g(x0 ))· f (x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 ).x−x0= lim=4) Так как g(x0 ) ̸= 0, то g(x) ̸= 0 в некоторой Oδ (x0 ) тогда)(f (x0 )f (x)( )′g(x) − g(x0 )f1f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x)(x0 ) = lim= lim·=x→x0x→x0gx − x0x − x0g(x)g(x0 )()f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 ) f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g(x)1= lim+=x→x0x − x0x − x0g(x)g(x0 )74g(x0 )f ′ (x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 )=.
g 2 (x0 )Следствие. d(f + g) = df + dg, d(f g) = g · df + f dg, d( )fg=gdf −f dg.g25. Производная сложной функцииТеорема 5.1. Пусть f дифференцируема в точке x0 , f (x0 ) = y0 , g(y)дифференцируема в точке y0 . Тогда g(f (x)) дифференцируема в точке x0и справедливо равенство(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (y0 ) · f ′ (x0 ).Доказательство. Так как f дифференцируема в точке x0 , тоf (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) + α(x)(x − x0 ), α(x) → 0 при x → x0 .Так как g(y) дифференцируема в точке y0 = f (x0 ), тоg(y) − g(y0 ) = g ′ (y0 )(y − y0 ) + β(y)(y − y0 ), β(y) → 0 при y → y0 .Тогдаg(f (x)) − g(f (x0 )) = g ′ (y0 )(f (x) − f (x0 )) + β(f (x))(f (x) − f (x0 )) =g ′ (y0 )[f ′ (x0 )(x − x0 ) + α(x)(x − x0 )] + β(f (x))[f ′ (x0 )(x − x0 ) + α(x)(x − x0 )] =g ′ (y0 )f ′ (x0 )(x − x0 ) + (g ′ (y0 ) · α(x) + β(f (x)) · (f ′ (x0 ) + α(x))(x − x0 ).Обозначимφ(x) = g ′ (y0 ) · α(x) + β(f (x)) · (f ′ (x0 ) + α(x))(x − x0 ).Так как α(x) → 0 и β(y) → 0, тоlim φ(x) = g ′ (y0 ) · 0 + 0 · f ′ (x0 ) = 0.x→x0Следовательно, g(f (x)) дифференцируема и (g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (y0 ) · f ′ (x0 ).
Следствие. g(f (x))′ = g ′ (f (x)) · f ′ (x).6. Производная обратной функцииТеорема 6.1. Пусть f (x) дифференцируема в O(x0 ), f (x0 ) = y0 и существует обратная функция f −1 (y). Тогда f ′ (x0 ) · (f −1 )′ (y0 ) = 1.75Доказательство. Так как f −1 обратная к f , то y = f (x), y0 = f (x0 ),f −1 (y) = x, f −1 (y0 ) = x0 .
Тогдаf (x) − f (x0 )x − x0f (x) − f (x0 ) f −1 (y) − f −1 (y0 )·=1 ⇒= 1.x − x0f (x) − f (x0 )x − x0y − y0Переходя к пределу, получаем f ′ (x0 ) · (f −1 )′ (y0 ) = 1. 7. Производные некоторых элементарных функций1) (xn )′ = nxn−1 (n ∈ N).Доказательство. По формуле бинома Ньютона((x + ∆x)n − xn )(x ) = lim=∆x→0∆xn ′xn + Cn1 xn−1 ∆x + Cn2 xn−2 ∆x2 + ...
+ ∆xn − xn= lim=∆x→0∆x= lim (nxn−1 + Cn2 xn−2 ∆x + ... + ∆xn−1 ) = nxn−1 . ∆x→02)ex+∆x − ex(e∆x − 1)= lim ex ·= ex .∆x→0∆x→0∆x∆x(ex )′ = lim3)()(∆xln1+ln1+ln(x+∆x)−lnxx(ln x)′ = lim= lim= lim∆x∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆xx∆xx)·11= .x xa+b4) Используя формулу sin a − sin b = 2 sin a−b2 cos 2 , получаем()∆x∆xsin·cosx+sin(x + ∆x) − sin x22(sin x)′ = lim= lim= 1 · cos x.∆x∆x→0∆x→0∆x25))′(π) (π)′− x = cos−x ·− x = sin x · (−1) = − sin x.(cos x) = sin222′(π1.6) (arcsin x)′ = √1−x2Доказательство. По определению arcsin x справедливо равенствоsin(arcsin x) = x. Дифференцируя это равенство, получаем cos(arcsin x) ·arcsin′ x = 1, откуда76√√1cos(arcsin x) = 1 − sin2 (arcsin x) = 1 − x2 ⇒ arcsin′ x = √1−x.217) (arccos x)′ = − √1−x. (Доказывается аналогично.)218) (arctan)′ = 1+x2.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
