matan1semestr (773486), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Аналогично, f (x) убывает в точке x0 эквивалентно тому, что в правой половине окрестностиOδ (x0 ) f (x) < f (x0 ), а в левой – f (x) > f (x0 ).Определение 1.2. Функцию, возрастающую или убывающую в точке,называют монотонной в точке.Теорема 1.1 (Необходимые условия монотонности в точке). 1) Если fвозрастает в точке x0 и дифференцируема в точке x0 , то f ′ (x0 ) ≥ 0.2) Если f убывает в точке x0 и дифференцируема в точке x0 , тоf ′ (x0 ) ≤ 0.Доказательство. 1) Пусть f возрастает в точке x0 . ТогдаВычислим производную f ′ (x0 ) = limf (x)−f (x0 )x−x0x→x0f (x)−f (x0 )x−x0≥ 0.≥ 0.2) Пусть f убывает в точке x0 . Вычислим производную f ′ (x0 ) =(x0 )lim f (x)−f≤ 0. x−x0x→x092Теорема 1.2 (Достаточные условия монотонности в точке). .1)Если f ′ (x0 ) > 0, то f возрастает в точке x0 .2)Если f ′ (x0 ) < 0, то f убывает в точке x0 .Доказательство. 1) Пусть f ′ (x0 ) > 0 и пусть x > x0 .
Тогда по определению производной∆f (x0 )= f ′ (x0 ) > 0.x→x0 ∆x0 ∆f (x0 )f ′ (x0 )′Выбираем ε = 2 . Тогда ∃ Oδ (x0 ), в которой ∆x0 − f (x0 ) <Следовательно,f ′ (x0 ) = limf ′ (x0 )2 .f ′ (x0 ) f ′ (x0 )∆f (x0 )≥ f ′ (x0 ) −=> 0,∆x022значит, в точке x0 функция возрастает.2) Аналогично, и в случае убывания. Но можно иначе.
Т.к. f ′ (x0 ) < 0 ⇒(−f (x))|x=x0 > 0, значит, в точке x0 функция (−f ) возрастает, следовательно, f (x) в точке x0 убывает. Замечание 1. Условие f ′ (x0 ) ≥ 0 является необходимым для возрастания,но не является достаточным. Например, f (x) = x2 в точке x0 = 0 : f ′ (0) ≥0, но f (x) не возрастает.Замечание 2. Условие f ′ (x0 ) > 0 является достаточным для возрастания,но не является необходимым. Например, f (x) = x3 в точке x0 возрастает,но f ′ (0) = 0.2. Монотонность функции на отрезке. Необходимые идостаточные условия монотонностиОпределение 2.1.
Функция f (x) называется возрастающей на [a, b], если ∀ x1 , x2 ∈ [a, b] из условия x1 < x2 следует f (x1 ) ≤ f (x2 ). Функция f (x)называется убывающей на [a, b], если ∀ x1 , x2 ∈ [a, b] из условия x1 < x2следует f (x1 ) ≥ f (x2 ).Теорема 2.1 (Необходимое условие монотонности). Пусть f дифференцируема на [a, b]. Если f (x) возрастает на [a, b], то ∀ x ∈ [a, b], f ′ (x) ≥ 0.Если f (x) убывает на [a, b], то ∀ x ∈ [a, b], f ′ (x) ≤ 0.Доказательство. 1) Пусть f (x) возрастает и x0 ∈ (a, b). Тогда f ′ (x0 ) =(x0 )≥ 0.lim f (x)−fx−x0x→x02) Если f (x) убывает, то −f (x) возрастает, ⇒ −f ′ (x) ≥ 0 ⇒ f ′ (x) ≤ 0. 93Теорема 2.2 (Достаточное условие монотонности).
Если f (x) дифференцируема на [a, b], f ′ (x) ≥ 0 на [a, b], то f (x) возрастает на [a, b].Доказательство. Пусть x1 < x2 . Тогда f (x2 )−f (x1 ) = f ′ (ξ)·(x2 −x1 ) ≥ 0.Следовательно, f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0. Значит, f возрастает.Случай, когда f ′ (x) ≤ 0 – доказывается аналогично. Замечание. Таким образом, условие f ′ (x) ≥ 0 является необходимым идостаточным для возрастания на отрезке, в отличие от возрастания в точке,где оно является только необходимым.Пример.x22x(x − 1) − x22x2 − 2x − x2x2 − 2xx(x − 2)f (x) =; f (x) ====.x−1(x − 1)2(x − 1)2(x − 1)2(x − 1)2Следовательно, f (x) возрастает на [2, +∞) и на (−∞, 0]; убывает: на [0, 1)и на (1, 2].3. Экстремум функции в точке. Необходимое условиеэкстремумаОпределение 3.1.
Пусть функция f определена в O(x0 ).1) Функция f имеет в точке x0 max, если ∃ Oδ (x0 ) ⊂ O(x0 ) такая, что∀ x ∈ Oδ (x0 ) f (x) ≤ f (x0 ).2) Функция f имеет в точке x0 min, если ∃ Oδ (x0 ) ⊂ O(x0 ) такая, что∀ x ∈ Oδ (x0 ) f (x) ≥ f (x0 ).3) Если функция f имеет в точке x0 min или max, то говорят, что онаимеет в точке x0 экстремум.Замечание. Понятие экстремума – локальное, т.е. зависит от значенийфункции в малой окрестности точки x0 .66x0В точке x0 –min-x0-В точке x0 –maxТеорема 3.1 (Необходимое условие экстремума). Пусть f определена вO(x0 ) и дифференцируема в точке x0 . Если f имеет в точке x0 экстремум, то f ′ (x0 ) = 0.94Доказательство.
Пусть для определенности f имеет в точке x0 max. Таккак в точке x0 существует производная f ′ (x0 ), тоf (x) − f (x0 ).x→x0 +0x − x0Так как в точке x0 max, то f (x) − f (x0 ) ≤ 0 в Oδ (x0 ). Поэтому при x > x0f ′ (x0 ) = limf (x) − f (x0 )≥ 0.x − x0Переходя к пределу при x → x0 + 0, получаем f ′ (x0 ) ≥ 0. Аналогично,переходя к пределу при x → x0 − 0 в неравенствеf (x) − f (x0 )≤ 0,x − x0получаем f ′ (x0 ) ≤ 0. Соединяя неравенства 0 ≤ f ′ (x0 ) ≤ 0, получаемf ′ (x0 ) = 0. 4.
Нахождение экстремума. 1-е достаточное условиеэкстремумаТеорема 4.1. Пусть f определена в O(x0 ) и имеет в этой окрестностинепрерывную производную f ′ (x).1) Если f ′ (x) изменяет знак с + на − при переходе через точку x0 , то вточке x0 функция достигает max.2) Если f ′ (x) изменяет знак с − на + при переходе через точку x0 , то вточке x0 функция достигает min.Доказательство. 1) Пусть f ′ (x) > 0 при x < x0 и f ′ (x) < 0 при x > x0 .Если x < x0 , то f (x0 ) − f (x) = f ′ (ξ)(x0 − x) ≥ 0. Тогда f (x0 ) ≥ f (x).Если x > x0 , то f (x) − f (x0 ) = f ′ (ξ)(x − x0 ) ≤ 0.
Тогда f (x0 ) ≥ f (x).Следовательно, в точке x0 max.2) Аналогично. x2, f ′ (x) = x(x−2)Пример. f (x) = x−1(x−1)2 . В точке x = 0 – max, в точке x = 2 –min.5.Нахождение экстремумов. 2-е достаточное условиеТеорема 5.1. Пусть 1) f определена в O(x0 ), 2) f имеет в O(x0 ) непрерывную производную 2-го порядка. 3) f ′ (x0 ) = 0. Тогда:951) Если f ′′ (x0 ) > 0, то в точке x0 – min.2) Если f ′′ (x0 ) < 0, то в точке x0 – max.Доказательство.
Записываем для f (x) формулу Тейлора до членов второго порядка с остатком в форме Пеаноf ′ (x0 )f ′′ (x0 )f (x) = f (x0 ) +(x − x0 ) +(x − x0 )2 + α(x)(x − x0 )2 ,1!2!где α(x) → 0 при x → x0 .( ′′)f (x0 )′1) По условию f (x0 ) = 0 ⇒ f (x) − f (x0 ) =+ α(x) (x − x0 )2 .2!Если f ′′ (x0 ) > 0, то ∃ Oδ (x0 ) в которой |α(x)| <′′0)α(x) < f (x4f ′′ (x0 )4 .Отсюда − f′′(x0 )4<f ′′ (x0 )f ′′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f ′′ (x0 )+α(x) ≥−=> 0 ⇒ f (x)−f (x0 ) ≥ 0 ⇒ f (x0 ) ≤ f (x).2!242Следовательно, в точке x0 – min.2) Аналогично.
Теорема 5.2 (2-е достаточное условие в общем виде). Пусть1) f (x) определена в O(x0 ),2) f имеет в O(x0 ) непрерывные производные до порядка 2n включительно,3) f ′ (x0 ) = . . . = f (2n−1) (x0 ) = 0.Тогда1) Если f (2n) (x0 ) > 0, то в точке x0 − min.2) Если f (2n) (x0 ) < 0, то в точке x0 − max.Доказательство. Записываем формулу Тейлора с остатком в форме Пеано(2n)f ′ (x0 )f (2n−1) (x0 )(x0 )2n−1 ff (x) = f (x0 )+(x−x0 )+.
. .+(x−x0 )+(x−x0 )2n +1(2n − 1)!(2n)!+α(x) · (x − x0 )2n .Так как f ′ (x0 ) = . . . = f (2n−1) (x0 ) = 0, то( (2n))f (x0 )f (x) − f (x0 ) =+ α(x) (x − x0 )2n .(2n)!После чего доказательство завершается как в теореме 4.1, т.е. ∃ Oδ (x0 ), вкоторойf (2n) (x0 ) 11 f (2n) (x0 )f (2n) (x0 )1 f (2n) (x0 )|α(x)| <· ⇒ α(x) > − ·⇒+α(x) >>0(2n)! 22 (2n)!(2n)!2 (2n)!96Поэтому f (x) − f (x0 ) > 0, следовательно, в точке x0 – min.
x2Пример. f (x) = x−1, f ′ (0) = 0; f ′ (2) = 0.f ′′ =(2x − 2)(x − 1)2 − x(x − 2) · 2(x − 1)(x − 1)((x − 1)2 − x(x − 2))=2=(x − 1)4(x − 1)42(x − 1)(x2 − 2x + 1 − x2 + 2x) 2(x − 1)==,(x − 1)4(x − 1)4в точке x = 0 производная f ′′ (0) < 0 ⇒ max, в точке x = 2 f ′′ (2) > 0 ⇒min.6. Касательная и ее уравнениеОпределение 6.1. Пусть функция f определена и дифференцируема вO(x0 ), Γ(f ) – график f . Пусть M (x, f (x)) ∈ Γ(f ), M0 (x0 , f (x0 )) ∈ Γ(f ).Пусть l – прямая, проходящая через точку M0 , d(M, l) – расстояние отточки M ∈ Γ(f ) до прямой l. Прямая l называется касательной к Γ(f ) вd(M,l)точке M0 , если lim d(M,M= 0.0)m→M0Теорема 6.1. Пусть f определена в O(x0 ) и дифференцируема в точкеx0 .
Тогда в точке M0 (x0 , f (x0 )) существует касательная к Γ(f ) и ее уравнение имеет видy = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).(6.1)Доказательство. Так как f (x) дифференцируема в точке x0 , то f ′ (x0 ) существует, поэтому уравнение (6.1) определяет на плоскости прямую l, проходящую через точку M0 . Покажем, что это касательная. Запишем уравнение (6.1) в видеf ′ (x0 )x − y + (f (x0 ) − f ′ (x0 )x0 ) = 0.Это общее уравнение прямой. Известно, что если прямая l имеет уравнениеAx + By + C = 0, M1 (x1 , y1 ) ∈/ l, тоd(M1 , l) =|Ax1 + By1 + C|√.A2 + B 2В нашем случае A = f ′ (x0 ), B = −1, C = f (x0 ) − f ′ (x0 )x0 . Так какM1 (x1 , y1 ) ∈ Γ(f ), то y1 = f (x1 ). Поэтому|f ′ (x0 ) · x1 + (−1) · f (x1 ) + f (x0 ) − f ′ (x0 )x0 |√d(M1 , l) ==(f ′ (x0 ))2 + 197|f ′ (x0 )(x1 − x0 ) + (f (x0 ) − f (x1 ))|√=.(f ′ (x0 ))2 + 1Так как f дифференцируема в точке x0 , то f (x1 )−f (x0 ) = f ′ (x0 )(x1 −x0 )+α(x1 )(x1 − x0 ).
Тогда|α(x1 )| · |x1 − x0 |d(M, l) = √.1 + (f ′ (x0 ))2Отсюда находимd(M, l)α(x1 ) · |x1 − x0 |1= √·√=d(M, M0 )1 + (f ′ (x0 ))2(x1 − x0 )2 + (f (x1 ) − f (x0 ))2=√α(x1 )1 + (f ′ (x0 ))2·√(1+1f (x1 )−f (x0 )x1 −x0)2 → 0при x1 → x0 , т.к. α(x1 ) → 0. 7. Выпуклость в точке, точки перегибаОпределение 7.1. Пусть f определена в O(x0 ) и дифференцируема вточке x0 .1) f называется выпуклой вверх в точке x0 , если ∃ Oδ (x0 ), что ∀ x ∈Oδ (x0 ) Γ(f ) в этой O(x0 ) лежит ниже касательной.2) f называется выпуклой вниз в точке x0 , если ∃ Oδ (x0 ), ∀ x ∈ Oδ (x0 )Γ(f ) в O(x0 ) лежит выше касательной, проведенной в точке (x0 , f (x0 )).3) Если при переходе через точку M0 (x0 , f (x0 )) график Γ(f ) переходит надругую сторону касательной, то точка M0 называется точкой перегиба.6!!!!!!!!!x0В точке x0 –выпуклость вниз6!!!!!!!!!x0В точке x0 –выпуклость вверх6!!!!!!!!!x0x0 –точка перегибаЗамечание. Так как касательная l имеет уравнение l : y = f (x0 ) +f (x0 )(x − x0 ), то1) f выпукла вверх в точке x0 тогда и только тогда, когда в Oδ (x0 ) функцияF (x) = f (x) − f ′ (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 ) ≤ 0.2) f выпукла вниз в точке x0 тогда и только тогда, когда в Oδ (x0 ) функцияF (x) = f (x) − f ′ (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 ) ≥ 0.3) Если F (x) меняет знак при переходе через точку x0 , то точка M0 – точкаперегиба.′98Теорема 7.1.
Пусть f имеет в O(x0 ) непрерывную вторую производнуюf ′′ .1) Если f ′′ (x0 ) > 0, то f выпукла вниз в точке x0 .2) Если f ′′ (x0 ) < 0, то f выпукла вверх в точке x0 .Доказательство. Запишем для f (x) формулу Тейлора с остатком в формеЛагранжаf ′′ (ξ)(x − x0 )2f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +.2!′Тогдаf ′′ (ξ)(x − x0 )2F (x) = f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 ) =ξ ∈ (x0 , x).2!1) Пусть f ′′ (x0 ) > 0. Тогда ∃ Oδ (x0 ) в которой f ′′ (x) > 0, значит, f ′′ (ξ) > 0.Отсюда ∀ x ∈ Oδ (x0 ) F (x) ≥ 0, следовательно, Γ(f ) выпукла вниз.2) Пусть f ′′ (x0 ) < 0. Тогда ∃ Oδ (x0 ) в которой f ′′ (x) < 0, значит, f ′′ (ξ) < 0.Отсюда ∀ x ∈ Oδ (x0 ) F (x) ≤ 0, следовательно, Γ(f ) выпукла вверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
