matan1semestr (773486), страница 12
Текст из файла (страница 12)
По определению arctg x имеем tg(arctan x) = x21′22cos2 (arctan x) (arctan x) = 1. Так как cos y + sin y = 1, то 1 + tg y111122cos2 y ⇒ cos y = 1+tg2 y ⇒ cos (arctan x) = 1+tg2 (arctan x) = 1+x21(1 + x2 )(arctan x)′ = 1 ⇒ (arctan x)′ = 1+x2. 9) ∀ a ∈ R, (xa )′ = axa−1 (x > 0).Доказательство. (xa )′ = (ea ln x )′ = ea ln x · (a ln x)′ = ea ln x a · x1 = axa−1 .⇒=⇒8. Инвариантность формы I дифференциалаПо определению df (x) = f ′ (x)dx. Предположим, x = x(t) и рассмотримсложную функцию f (x(t)). Тогда ее дифференциал равенdf = fx′ (x(t)) · x′ (t)dt.Но x′ (t)dt = dx(t) ⇒ df = fx′ (x(t))dx(t), или корочеdf = f ′ dx,но здесь dx есть дифференциал не независимой переменной, а дифференциал функции x(t). Это свойство называют свойством инвариантности формы I дифференциала.9.
Производные высших порядковОпределение 9.1. Если f (x) дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то ∀ x ∈ (a, b) существует f ′ (x), т.е. f ′ (x) – снова функция,определенная на (a, b). Поэтому можно говорить о производной (f ′ (x))′ .Эта производная от f ′ (x) называется производной 2-го порядка и обозначается f ′′ (x). Вообще, производная от производной порядка (n − 1) называется производной n-го порядка. Производная n-го порядка обозначаетсячерез f (n) (x). Т.о. по определениюf (n) (x) = (f (n−1) (x))′ .Теорема 9.1 (формула Лейбница). Если f и g имеют производные до nго порядка включительно, тоn∑(n)(f · g) (x) =Cnk f (k) (x)f (n−k) (x).(9.1)k=077Доказательство.
Методом математической индукции.1) n = 1 – очевидно.2) Пусть выполнено (9.1). Тогда( n)′∑(f · g)(n+1) (x) =Cnk f (k) (x)f (n−k) (x) =k=0=n∑Cnk (f (k+1) (x)g (n−k) (x) + f (k) (x)g (n+1−k) (x)) =k=0=n∑Cnk f (k+1) (x)g (n−k) (x)+k=0n∑Cnk f (k) (x)g (n+1−k) (x) =k=0положим k + 1 = l в первой сумме=n+1∑Cnl−1 f (l) (x)g (n+1−l) (x)+l=1n∑Cnk f (k) (x)g (n+1−k) (x) =k=0в первой сумме выпишем отдельно последнее слагаемое, во второй сумме– первое=n∑Cnn f (n+1) g (0) +Cnk−1 f (k) (x)g (n+1−k) (x)+k=1=n∑Cnk f (k) (x)g (n+1−k) (x)+Cn0 f (0) g (n+1) =k=10Cn+1f (n) g (n+1)n∑n+1 (n+1) (0)+(Cnk−1 + Cnk )f (k) g (n+1−k) + Cn+1fg .k=1n!n!n!(k−1)!(n−k+1)! + k!(n−k)! = (k−1)!(n−k)!(n+1)!kk!(n+1−k)! = Cn+1 .
ПоэтомуНо Cnk−1 +Cnk =(n+1)k(n+1−k)=(f · g)(n+1)(x) =n+1∑(1n+1−k+1k)kCn+1f (k) (x)g (n+1−k) (x). k=010. Дифференциалы высших порядковОпределение 10.1. Положим по определениюdfdn f (x) = d(dn−1 f (x)).dn f (x) называют дифференциалом n-го порядка.78=n!(k−1)!(n−k)! ·Предложение 10.1. dn f (x) = f (n) (x)(dx)n .Доказательство. По индукции1) n = 1 df (x) = f ′ (x)dx – верно.2) Пусть dn f (x) = f (n) (x)(dx)n . Тогдаdn+1 f (x) = d(f (n) (x)dxn ) = dxn ·d(f (n) (x)) = dxn ·f (n+1) (x)dx = f (n+1) (x)dxn+1 .
Свойства дифференциала I порядка:1) d(f + g) = df + dg;2) d(f · g) = gdf + f dg;3) если λ = const, то d(λf ) = λdf .Предложение 10.2.nd fg =n∑Cnk dk f · dn−k g.k=0Доказательство. По формуле Лейбница( n)nn∑∑∑nnk (k)k (n−k)(n−k)k (k) (n−k)d fg =dx =Cn f dx ·gdx=Cnk dk f dn−k g. Cn f gk=0k=0k=011. Наибольшее и наименьшее значение функции наотрезке.
Теорема ФермаТеорема 11.1 (Ферма). Пусть f 1) непрерывна на [a, b],2) дифференцируема в (a, b),3) в точке x0 f (x) принимает наибольшее значение (наименьшее значение). Если x0 ∈ (a, b), то f ′ (x0 ) = 0.Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 f принимает наибольшее значение. В этом случае f (x0 ) ≥ f (x). По определению(x0 )(x0 )f ′ (x0 ) = lim f (x)−f. Пусть x < x0 , т.е. x − x0 < 0 ⇒ f (x)−f≥x−x0x−x0x→x0f (x)−f (x0 )0 ⇒ lim x−x0 ≥ 0. Пустьx→x0f (x)−f (x0 )lim x−x0 ≤ 0 ⇒ f ′ (x0 ) ≥ 0x→xx > x0 ⇒ x − x 0 > 0 ⇒f (x)−f (x0 )x−x0≤ 0 ⇒∧ f ′ (x0 ) ≤ 0 ⇒ f ′ (x0 ) = 0. Случай, когда f0в точке x0 принимает наименьшее значение, рассматривается аналогично.7912.
Теоремы Ролля, Лагража и КошиТеорема 12.1 (Ролля). Пусть f (x) удовлетворяет условиям:1) f (x) непрерывна на [a, b],2) f (x) дифференцируема в (a, b),3) f (a) = f (b).Тогда ∃ x0 ∈ (a, b), f (x0 ) = 0,Доказательство. Рассмотрим две возможности: 1) ∀ x ∈ (a, b), f (x) =f (a) ⇒ f (x) = const ⇒ f ′ (x) ≡ 0.2) ∃ x ∈ (a, b), f (x) ̸= f (a). Пусть для определенности f (x) > f (a) ⇒∃ x0 ∈ (a, b), в которой f достигает наибольшего значения. Следовательно,по теореме Ферма f ′ (x0 ) = 0.
Теорема 12.2 (Лагранжа). Пусть f (x) удовлетворяет условиям:1) f непрерывна на [a, b],2) f дифференцируема на (a, b).(a)Тогда ∃ x0 ∈ (a, b), в которой f ′ (x0 ) = f (b)−fb−a .Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) = f (x) − λx. Найдем λ, прикотором h(a) = h(b).
При таком λ выполняется равенствоf (a) − λa = f (b) − λb.Отсюдаf (b) − f (a).b−aЗаписывая для h(x) теорему Ролля, получаем, что ∃ x0 ∈ (a, b), в которойλ=h′ (x0 ) = 0 ⇒ f ′ (x0 ) − λ = 0 ⇒ f ′ (x0 ) = λ =f (b) − f (a). b−aТеорема 12.3 (Коши). Пусть функции f (x), g(x) непрерывны на [a, b],дифференцируемы на (a, b), g ′ (x) ̸= 0 на (a, b), g(b) ̸= g(a). Тогда ∃ ξ ∈(a, b) такая, чтоf ′ (ξ) f (b) − f (a)=.g ′ (ξ)g(b) − g(a)Доказательство.
Рассмотрим функциюh(x) = f (x) − λg(x).Подберем λ так, чтобы h(a) = h(b), т.е. f (a)−λg(a) = f (b)−λg(a). Отсюда(b)−f (a)находим, что λ = fg(b)−g(a). Тогда h(x) удовлетворяет условиям теоремы80Ролля, и, значит, существует ξ ∈ (a, b) такая, что f ′ (ξ) = 0. Тогда f ′ (ξ) −λg ′ (ξ) = 0, следовательно,f ′ (ξ)f (b) − f (a)=λ=. ′g (ξ)g(b) − g(a)Геометрический смысл теоремы Лагранжаf ′ (ξ) есть угловой коэффициент касательной в точке M (ξ, f (ξ)). С дру(a)гой стороны, f (b)−fесть тангенс угла наклона хорды, проходящей чеb−aрез точки (a, f (a)) и (b, f (b)), лежащие на графике.
Поэтому равенство(a)f ′ (ξ) = f (b)−fозначает, что касательная, проведенная в точке (ξ, f (ξ))b−aпараллельна хорде, стягивающей точки (a, f (a)) и (b, f (b)).13. Формула Тейлора для многочленаТеорема 13.1. ПустьP (x) =n∑an xkk=0многочлен степени n и x0 ∈ R – произвольное число. Тогда P (x) можнозаписать в видеn∑P (k) (x0 )P (x) =(x − x0 )k(13.1)k!k=0Доказательство.
По формуле бинома Ньютона( k)nn∑∑∑P (x) =ak ((x − x0 ) + x0 )k =akCki (x − x0 )i xk−i.0k=0k=0i=0Приведя подобные члены, получимP (x) =n∑ck (x − x0 )k ,(13.2)k=0где ck – неизвестные коэффициенты. Найдем эти коэффициенты. Подставим x = x0 , получимP (x0 ) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + ... + cn (x − x0 )n |x=x0 = c0 ,Продифференцируем (13.2) и подставим x = x0 , получимP ′ (x0 ) = c1 + 2c2 (x − x0 ) + ... + cn n(x − x0 )n−1 |x=x0 = c1 .81Продифференцируем дважды и подставим x = x0 , получимP ′′ (x0 ) = 2c2 + 3 · 2c3 (x − x0 ) + ...
+ cn · n(n − 1)(x − x0 )n−2 |x=x0 = 2 · 1 · c2 ......................Продифференцируем k раз и подставим x = x0 , получимP (k) (x0 ) = 1 · 2 · ... · (k − 1) · k · ck + (k + 1) · k · ... · 2ck+1 (x − x0 ) + ...+n(n − 1)...(n − k + 1) · (x − x0 )n−k |x=x0 .Отсюда P (k) (x0 ) = k! · ck , следовательно, ck =(13.2), получаем (13.1) P (k) (x0 ).k!Подставляя ck вОпределение 13.1. Формулу (13.1) называют формулой Тейлора длямногочлена P (x).Замечание.
В формуле Тейлора (13.2) многочлен записан по степеням неx, а x − x0 .14. Формула Тейлора для произвольной функцииПусть f (x) имеет в O(x0 ) производные до порядка n включительно.Определение 14.1. МногочленPn (x) =n∑f (k) (x0 )k!k=0(x − x0 )k(14.1)называется многочленом Тейлора для функции f .Определение 14.2. ПоложимRn (x) = f (x) − Pn (x)(14.2)Тогда (14.2) с учетом (14.1) можно записать в видеf (x) =n∑f (k) (x0 )k=0k!(x − x0 )k + Rn (x)(14.3)Формулу (14.3) называют формулой Тейлора для f (x) в O(x0 ).
Rn (x) называют остатком формулы Тейлора.8215. Остаток формулы Тейлора в формах Лагранжа иКошиВопрос: чему равен остаток в формуле Тейлора?Теорема 15.1. Пусть f (x) определена на интервале (x0 − h, x0 + h) иимеет на этом интервале производные до n+1-го порядка включительно;Тогда для остатка Rn (x) в формуле Тейлора в точке x ∈ (x0 − h, x0 + h)справедливо равенствоf (n+1) (ξ)(x − ξ)n (x − x0 )p.n!p(x − ξ)p−1Rn (x) =где ξ ∈ (x0 , x), x ̸= x0 , p ∈ N.Доказательство. Пусть для определенности x ∈ (x0 , x0 + h). По формулеТейлораn∑f (k) (x0 )f (x) =· (x − x0 )k + Rn (x).k!k=0Выберем p ≥ 1 (p ∈ N) и будем искать Rn (x) в видеRn (x) = A · (x − x0 )p ,где A – неизвестное пока число.Зафиксируем точки x0 и x и рассмотрим функцию( n)∑ f (k) (z)φ(z) = f (x) −· (x − z)k + Rn (x) ,k!k=0где z ∈ [x0 , x], Rn (x) = A · (x − z)p .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
