blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Нужно отметить, что гамильтониан Но+ 'г'(1) описывает только саму систему и не включает влияние термостата. Предположим, что г'(1) можно представить в виде 1' (1) = — Иг) В (7.7.4) где 1(1) — внешняя вынуждающая сила (например, электрическое поле), а  — оператор, относящийся к системе (например, днпольный оператор). Подстановка (7.7.4) в (7.7.3) дает Ь (Л (1)) = ~с/й) ~ ~й' (г ( (В, ра] Л (1' — 1)] 1(г')— Ю) ~ (г(ро(Л(1 — 1)> В] ) 1(1') с(Г', (7.7.5) при этом мы испольэовали циклическую инвариантность следа н ввели величину Л (Г' — !) = ехр ( [ — 1Нз (1' — 1)]/Л) Л схр ]1Н, (1' — 1)1а]. (7.7.6) Если ввести 4ункцаю Грана ((Л(!)В(М')))= — (1ф)0(1 — 1!)1г(ро(А(1), В(1')]), (7.7.7) где 6(г' — Е) — ступенчатая функция, то верхний предел интегрирования в (7.7.5) можно устремить к бесконечности.
Тогда выражение для б(А (1)) можно записать так: Ь(А (1)) = ~ ((Л (1' — 1) В)) У(1') й', (7.7.8) Выражение (7.7.8) показывает, что влияние внешнего возмущения на среднее значение наблюдаемых можно описать с помощью функций Грина, связывающих наблюдаемую величину с возмущением. Смысл функции Грина можно выяснить, если рассмотреть единичный импульс в момент й, т. е. заменить 1(1') на 225 КВЛНТОВЛЯ ТЕОРИЯ РЕЛЛКСЛЦНН 224 ГЛЛВЛ 7 б(!' — !1), где б( — !1) — дельта-функция Дирака. При этом из (7.7.8) следует Ь (А (1)) = ((А (й — л) В)). (7.7.9) Таким образом, функция Грина ((А(!' — 1) ВУ) есть изменение о(А(!)) величины А в момент времени 1, обусловленное единичным импульсом в момент времени !'.
Тогда выражение (7,7.8) можно интерпретировать как линейную суперпозициго откликов, каждый из которых вызван импульсом в момент времени !' с амплитудой 1'(1'), Область значений Вв (7.7.8) определяется условием В ( ! (иначе ступенчатая функция об ратцается в нуль). Следовательно, отклик носит причинный характер, так как учитывается только влияние возмущений, имевших место в прошедшие моменты времени. Г!Оэтому величину (7.7.7) называют залаздыеающей функцией Грани, ' Равенство (7.7.8) называется формулой Кубо для линейного отклика системы. Важно подчеркнуть, что эта формула выражает неравновесные свойства системы через средние по равновесным состояниям. Можно так>не определить нелинейный отклик системы на внешнее воздействие.
Однако функ- ' ции Грпна в этом случае уже не будут определяться свойствами невозя1угценной системы. Рассмотрим частный случай периодического возмущения . 17 (!) = — )таехр( — !ю<+ е<) В, (7.7.10) где >лс — амплитуда, а е — бесконечно малая величина, обеспечивающая условие «(!) -л-0 прп 1-м — оо. Для периодического возмущения (7.7.10) формула (7.7.8) принимает вид Ь (А (г)) = )7о ехР( — !ю) + е!) ~ гй'((А (У' — 1) В)) Х Х ехр ! — гю(1' — 1) + в(1' — !)! = = !гвехр( — <ю<+ в)) ~ ((А (т) В))ехр( — нот+ ет) с<т= = >го ехр ( — 1ю! + е<) ((АВ)), (7.7.! 1) где т = <' — ! и ллАВ)>м определяется интегралом в (7.7.11а).
Обобщенная еосприилгчивосгь Х(оз), описывающая влияние периодического возмущения (7.7.10), определяется соотношением )>(А(!)) = Х(со) Ьlвехр ( — ггн< + е(). (7.7.1л Сравнивая (7.7.11) и (7.7.12), получаем х(ю) =((АВ)) . (7.7.13) Это формула !л",>'бо для обобщенной восприимчивости.
Выведенные здесь соотношения можно использовать в качестве отправной точки прн описании явлений переноса. Г!рп соответствующих условиях можно установить связь между формализмом отклика и теорией необратимых процессов Онсагера. Показано, что при достаточно слабом внешнем возы> щецин, когда допустимо ограничиться первым порядком теории возмущений, коэффициенты переноса можно вычислить, используя равновесную матрицу плотности. Например, электрическая проводимость непосредственно связана с откликом системы на внешнее поле, а этот отклик в свою очередь оказывается связанным с временнйми корреляционными функциями.
Обсуждение затронутых вопросов выходит за рамки нашей книги. Подробное изложение теории п многощлсленные применения читатель может найти в книге Зубарева ') (1971). где (...> — усреднение по статистически равновесному состоянию. Для этого усреднения удобно использонать матрицу плотности для большого канонического ансамбля Гиббса рл =- л ехр < — йЖ), л = 1г ехр < — <)ЗЕ), где ус = Н вЂ” рй, р — хнмпческпйл потенциал, 51 — полное чпсло частиц. Такое усреднение имеет преимушество перед усредненном с матрицей плотности канонического ансамбля Гиббса, так как не требует дополнительного условия постоянства числа часпш.
Представление Гейзенбсрга операторов удобно определять также с помошыо ж, а не 1ч: А <0 = юср ( — — ) А ехр ( —.„) . Термодинамические функции Грина нашли лпирокое применение в теории твердого тела н вообще в статистической физике равновесных и неранновесных процессон, так как онп очень упрошают решение сложных задач <см.
Боголюбов Н, Н., 1959; Зубарев Д. Н., 1960; Тяблпков С. В., 1975). Кроме заназдываюших функций Грина, аводят оперелкаюшис функции Грива: «А«>«»>.= — —.Е« — 1)<!А«), В«')!>. <2> 1 которые, хотя и не имеют такого простого физического смысла, как запаздыва1ошпс, очень удобны как вспомогательное средство для аналптнче- ') Б этом разделе была рассмотрена теория реакции квантовой системы на внешнее возмушеппе, которая приводит к запаздываюшнм термодпяамнческнм функциям Грина: <(А «) В «'))) = — 9 « — В) ((А «), В «')!), 226 гллвл т КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ ((А) В»й' = ' ~ (евв г(ю Š— юш(а' поэтому ского продолгкенпя фурье-компонент функций Грина.' «ч ((А ) В))м — — ~ ((А (1) В (Е))) Е и» 1Г Г 1н' (1 — и>. что облегчает решение уравнений для функций Грана.
Прнменяютсн также функции Грина, в ноторых усредпяется не кпм. мутатор А(Г>В(1') — В(В)А(1), а аитпкоммутатор А(1>В(И) + В(1')А(1), и функции Грана, в которых вместо разрывного множителя О(1 — Е] стоит символ хронолопшеского упорядочения операторов (причинные функции Грина). Последние при нулевой температуре совпадают с функпнями Грина, применяемымн в квантовой теории поля. Функции Грина зависят только от разности († п удовлетворяют уравнению движения †, ((Л (1) В ( '»> = †,.„ ( (Л, В) > + (((Л (1>, Уб). В ( » >, (8> Ь (1 — Е) которое имеет неоднородный член, пропорциональный 0(г — Г), возниказз. щпй при дифференцнровчпин О(! — В). Этот член, делающий уравнение неоднородным, облегчает его решение, подобно тому как в теории линейных дифференциальных уравнений введение б-образного члена а уравнение опрелсляет функцию Грина, упрощающую его решенне.
Уравнение (3) содернап кроме исходных функций Грина также функции Грина более высокого порядка. Для них можно также построить подобное уравнение и т. д„т.в. получить цепочку для функций Грана. Этн уравнения одинаковы как для запаздывачошпх, так н для оперегкаюпгпх функций Грина (для антикоммутаторных фуякппй Грина нужно заменить средина коммутатор на средний аптшсоммутатор); следовательно, нх необходимо дополнить гранич. иымн условпямп. Это делается с помощью спектральных представлений для функций Грина. Если уравнения для функций Грана удастся приближенно свестп к конечной системе уравнений («расцспнты), то, решая полученнме уравнения, моткпо найти пе голы«о функции Грина, но и временнйе корреляционные функции <Л(1)В(1')) и средние значения операторов (АВ) беа явного вычислення слепа Для врсменнйх корреляционных Функций имеет место простое соотношение (ч.раяичное услонпе Кубо — Мартияа — Швгчнгера) (А (1) В (0)) = (В (О) Л ($ + И/3)), (4) которое легко доказать, выл«анна циклическую перестановку операторов „ под знаком следа: (А (1) В (О)) = Я (г (а Р~а~~О~Ае ~~пяВ) = я ~ 1г(Ве (в-ггЯ жлеФ-ггга) жа Рж>, Следовательно, спектральная интенсивность временных корреляционных ф>шкцпй обладает свойством "ГАВ ( Ю) = УВА(ГЗ) Зйм (5): (В(1'>А(1>)= — ' ~ У,„( >а«н'-Пб, (А(1) В(Е)) = — ~ Упл(ю) аз™еь»И Обю.
Учитывая спе рал ое представ!еппе дчя разры й 01 вно ункции — глг (е > 0 считается бесконечно малой), получаем сп к р . нпя для функций Грина м спешрачьпые представле где знаку г соответствует «+», а знаку а « — » пер ' . и цпю (8) в область комплексной энергии, полагая « — » пеРед га. Родолжим нк.
ч(гз (г ((А ! В))л пРа 1гп Г >О, ' (9> (((А ) В))л при 1щ Е<0, и будем рассматривать (9) как елнаую аналитическую функцию в комплексной плоскости Е. Эти простые аналптнчес цпп рина (9) весьма улобными лля прнчоже Г. Е . Г г . г скпв свойства делают ян.чо' сии ь ели известна фуйкцпя ((Л ( В))м, го можно нанти спектРальпУю ипченснаност Гвмл ь вл с помощью простого соотношения ((А(В».+г -((А~В». г.= Г (ар"-1))вл(гз>. которое следпУет |чз формУлы (9), Для анжчкоммутап„п, ж ф „„„„„- 1- „„ множитель е — 1 надо заменить на ерм+ 1, — Г) — Рил. рз . пгиложеппя Приложения А.
Прямое произведение (Л.З) (Л.б) :~ -(.",и мв) (Л.1а) апЬп аоЬж аоВ = апЬ„ аоЬм (Л.1б) (Л.2б) Важную роль в матричной алгебре играет прямое произведение С=А Р',В двух матрип А и В; каждый элемент матрицы С получается путем замены каждого элемента ап матрицы А на матрицу апВ.
Таким образом, если А и В представляют собой соответственно У- и и-мерную матрицы, то С является У Х п-мерной матрицей. Например„если то прямое произведение А Х В есть четырехмерная матрица где каждый «элемента, апВ означает двумерную матрицу Можно показать, что если А и С суть т Х т-матрицы, а В и О суть и Х п-матрицы, то обычное матричное произведение матрицы (А )4 В) на матрицу (СХ 0) определяется формулой (А Х В) (С Х В) =(АС) Х(В0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
