blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 40
Текст из файла (страница 40)
7.3, а). После окончания ямпульса отдельные спины прецессируют вокруг направленая статического поля. Удобно рассматривать движение сппнов в системе координат, которая вращается вокруг оси г с ларморовской частотой. В отсутствие релаксации спины вра>дались бы свободно вокруг Н, с ларморовской частотой, 213 кВАнтОВАя теОРия Реллкслцитт глАВА т (7.4.21) аз = 1г [Р (1)з а ] = Р (1) и Р (1)22 г(п,/с(1 = [ю Х У[1 — Т~Т2 с(азггг(1 = [ю Х и[2 ЧТь г(а4г(1= [ю'Яч[з — ВР1 (7.4.22) т. е. находились бы в покое во вращающейся системе.
Так как частота прецессии имеет разную величину для каждой из компонент моментов из-за процессов релаксации, спины теряют фазировку и распределяются в плоскости ху (рис. 7.3, б). Спустя время 1 « Тя прикладывается второй импульс такой длительности, что направление всех спинов меняется на обратное («и-импульс»). Иными словами, те- Рис, 7.3, Схема, иллюстрируюпгая возникновение спинового эха. перь компоненты спинов оказываются просто перевернутыми, как показано на рис.
7.3, в. Так как спины вращаются со своей прежней скоростью, они снова сходятся к одному вектору (рис. 7.3,г). В результате возникает импульс намагниченности в этом направлении, который проявляется как «эхо» первого высокочастотного импульса, Лбрагам (ЛЬгадаш, 1961) предложил следующую аналогию рассматриваемого явления. Пусть группа муравьев ползет по краю блина. Все онп начинают ползти одновременно из малой области, но из-за различия скорости своего движения они будут все шире расползаться по окружности блина («Тз-процесс»). Если блин перевернуть («п-импульс»), то муравьи перевернутся, по будут продолжать ползти в прежнем направлении.
В конце концов все муравьи снова соберутся вместе, за исключением тех, которые упадут с блина («Тнпроцесс»). 7.4.3. «Оптические» уравнения Блоха Как было упомянуто в начале настоящего раздела, сушествует тесная аналогия между двухуровневым атомом и системой со спинам 1/2 (в статическом магнитном пале, параллельном осп г). Состояние «спин вниз» соответствует основному уровню атома, а состояние «спин вверх» — возбужденному. Формализм, развитый выше для описания магнитного резонанса, можно обобщить на случай любой двухуровневой системы, на которую действует резонансное поперечное поле. Такой подход можно использовать для описания экспериментов в микроволновой нли оптической области с применением когерентных палей (мазеров, лазеров) '). Пригодность уравнения Блоха для описания мазера была впервые установлена Фейнманом и др.
(Геуптапп, Чегпоп, Ие!!тчаг(Ь, 1957). Следуя упомянутой работе, введем фиктпвнуго величину — «вектор псевдоспина» тг, компоненты аг которого определяются аналогична компонентам (7.4.16б): о1 = 1г [Р (1)з ал! == Р (г)12+ Р (г)21э а2 1г [Р (г)з ая[ = =. 1 [Р (1) ю — Р (1)221 В этих выражениях р(1)з — матрица плотности атомной системы с двумя уровнями. Как показывают выражения (7.4.21), аз зависит от разности чисел заполнения, а а1 и аз характеризуют когерентность двух состояний.
Исходя из уравнений (7.3.5) и (7.3,7), можно показать, па аналогии с выводом уравнений (7.4.17), что компоненты о; удовлетворяют следующей системе уравнений, которые называются «абаби(енньглги» или «онтичеснилги» уравнениями Блоха: '1 См лекпив Лэмба «Теория оптических мазеров» в книге «1«вантовая оптика н квантовая радиофизика», — Мл Мнр, 1968. — Приам ред, ГЛАВА Т 215 214 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ р(1)„, — ~ (~ Й~~~ ) рГ(1) (7.5.2) (7.5.36) (7.5.1) где «вектор» Го имеет компоненты ГА! (1 !2+ 1 2!)!'" 222 2(1 !2 1 2!)!~ ~Ъ = (и ! Е2)!'а~ (7.4.23) , а Уи = (! ~ Г" 11) представляют собой матричные элементы введенного в равд. 7.3 оператора У, который описывает взаимодействие атомов с электромагнитным полем. Времена релаксации определяются выражениями (7.4.10) и (7.4.13) . Уравнения (7.4.22) позволяют дать геометрическую интерпретацию электрических дипольных переходов в двухуровневой системе, аналогичную описанию явления магнитного резонанса.
Можно считать„что без релаксациониых членов уравнения (7.4.22) описывают прецессию «вектора» ч вокруг «вектора» а. Релаксационные члены имеют такой же смысл, как соответствующие члены в предыдущем разделе. Релаксация О2 (с постоянной времени Т, )связана с различными путями обмена энергией между атомами и их окружением. Релаксация и! и О2 (с постоянной времени Т2) соответствует потере когерентности„вызванной различными процессами расфазировки. Рассматривая прецессию вектора ч в промежутке времени между двумя приложенными импульсами, можно использовать такую геометрическую интерпретацию для объяснения фотонного эха. Более того, уравнения (7.4.23) можно использовать для изучения электромагнитных переходов в очень сильных полях, когда методы теории возмущений неприменимы. Следует, однако, подчеркнуть, что как уравнения Блоха (7.4.17), так и уравнения (7.4.22) не описывают все явления, связанные с переходами в двухуровневой системе.
Подробный анализ упавнений (7.4.22) и их применения читатель может найти, например, в книге Вальтера (У!!а111!ег, 1976) 7.5. Некоторые свойства матрицы релаксации 7.5.1. Общие ограничения на элементы матрицы релаксации В равд. 7.1 было показано, что производная по времени от матрицы плотности в марковском приближении определяется системой связанных дифференциальных уравнений, которые в представлении взаимодействия имеют вид р1(1) = Е, )т;.р (1)...
где р! (1), — = (т '! р яз! рт) В секулярном приближении (7.1.28) имеем 2Т!л'тл'л = 1« л!лбл'л Ут'!лб!л'л'б!лл~ где первый член отличен от нуля только при л! Ф п, Совокупность не зависящих от времени коэффициентов назь!вается иагрицвй релаксации. Из результатов предыдущих разделов следует, что Кттлл, например, определяет скорость перехода атомов с уровня 1!!) на уровень 1т). Здесь мы, следуя работе Хаппера (Наррег, 1972), покажем, что физические соображения налагают некоторые важные ограничения на элементы матрицы релаксации.
При этом будут вновь получены и обобщены некоторые результаты, выведенные в предыдущих разделах. 1. Если механизм релаксации не меняет число имеющихся атомов, то из вероятностной интерпретации диагональных элементов матрицы плотности следует, что Так как в общем случае рг(1), л Ф О, имеем 2. й'...и=О для любых и' и и. 2.
Рассмотрим уравнение, полученное из (7.5.1) комплексным сопряжением: р (1);„, = ~ )Г', „,„рГ(1);,„. (7.5.3а) Из условия эрмнтовости следует р, (1) „ = Х )с"„ „ „р, (1)- Из уравнений (7.5.1) и (7.5.36) вытекает Х р, (1)л„. (1с'„, „, — г,„„,) = О, откуда находим 22!л и = 11 (7.5.3) 3. Диагональные элементы матрицы плотности неотрицагельны и не могут быть больше единицы (см. равд. 2.2). Чтобы обеспечить выполнение этих условий, элементы матрицы релаксации должны удовлетворять следующим условиям: (7.5.4а) КВАНГОВАЯ ТЕОР!Ш РЕЛАКСАЦИИ 2!У ГЛАВА ! 216 для любых двух ортогональных атомных состояний ]и!х и ]и).
В справедливости этих условий можно убедиться следующим образом. Г1усть в некоторый момент Х заселен только один уровень ]т) (р(Х) = 1, р(!)„, — 0). Г!ри этом р(1) =Х! р(Х) р(!).. =Х( . р(1) для любого состояния и Ф и!. Поскольку элемент р(Х) имеет максимум в момент 1, он может только уменьшаться или оставаться равным единице согласно (7.5.4а). Элемент же р(!) „, имеет минимум в момент ! и поэтому может только увеличиваться или оставаться нулевым согласно (7.5.46). 7.5.2.
Релаксация мультнполей состояний Если рассматриваемая система обладает определенной симметрией относительно поворотов, уравнение релаксации , (7.5.1) удобно записать с помощью мультиполей состояний. Для простоты ограничимся случаем, когда атомная система находится в основном состоянии с определенным угловым моментом Х и процесс релаксации вызывает переходы только между состоянивми этого мультиплета. Определим мультиполи состояния аналогично (4.3.3): !и!, А'„~-г ! — и' "'[!А+!|(, „)ьы'.
мм' Тогда, используя обратное соотношение (4.3.6), можно записать уравнение релаксации (7.5,1) в виде гхх!т(х 1) Й!гхг =!;,ггкака (т(х. 1)кп), (75.5) к и' Где )(кок'а' = ~~. !7м м„„( — !) Н2К+1) (2К'+1)] А Х м'мье!ь М' — М вЂ” Я т' — и! — 1Е Из условия эрмитовости (7.5.3) следует !~как а ( ) ~к-чк' — ц" (7.5.7) ' Уравнение (7.5.5) описывает временную эволюцшо муль-: типолей состояний при наличии взаимодействий, вызывающих релаксацию. В качестве особо интересного примера использования уравнения (7.5.5) рассмотрим случай, когда система находится в окружении, которое в среднем является наигранным. Изотропные условия часто имеют место прп релаксации поляризованного ансамбля к неупорядоченному состояншо. В гл. 4 было показано, что взаимодействие, инвариантное относительно поворотов, не может изменить ранг тензора К и пе перемешивает его компоненты.
Поскольку процесс релаксации не зависит от выбора оси квантования, скорость релаксации не должна зависеть от 1г'. Это приводит к условию симметрии )!какчу = укбк'кба'!2 (7.5.8) С учетом условия симметрии (7.5.8) уравнение (7.5.5) упрощается, и все (2К + 1) компонент тензора ранга К релаксируют с одной и той же скоростью: д(Т(Х, 1)" Д~дг = — у,(т(Х, !)"„У, т. е. (Т (Х, 1)к, ) = (Т (Х, 0) .а) ехр ( — уЯ.
(7.5.!Оа) (7.5.10б) Так как монополь (Т(ХДЯРХ пропорционален следу матрицы плотности (который постоянен, если ие происходит выбываппя атомов пз мультпплета Х), то у,1=0; (7.5.1 1) следовательно, все мультпполп с К ) 0 стремятся с течением времени к нулю, п в состоянии теплового равновесия все состояния мультпплета имеют одинаковую заселенность. Если рассматриваемый мультпплет не является основным состоянием, то следует учесть возможность радиационного распада состояний Итак, мы видим, что в условиях изогропии каждый л!уль!иноль не связан с другнлги мульгииоляхи! и релаксирует с хаРакгеуной скоРостью Релакеа!1ии Ую Число независимых скоростей, следовательно, уменьшается до (2Х+ 1).
Это число велико прп большом значении Х, но часто не все параметры представляют интерес. Существенное упрощение пл!еет место, папрппер, прп возбуждении атомов дппольиым излучением. В этом случае может существовать только ориентация и выстроенность (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
