blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 35
Текст из файла (страница 35)
вызванными взаимодействием. В таком случае р(!)с гллвА т можно представить в каждый момент времени в более простом виде: Р'1г) —.~ Я~ =Р(Г) Р(0)я, (7.1.6) не вводя сколько-нибудь заметной ошибки при вычислении р(1)зь Матрица плотности р(0) я определяется формулой. (2.6.1): р (0)я — — ехр ( — 11НВ)/2. (7.1.6) Соотношение (7.1.6) является основным условием необратимости. Далее мы будем рассматривать поведение «малой» дина-' мической системы 5, связанной с «большой» системой имеющей много степеней свободы.
Во всей этой главе мы будем называть большую систему «термостатом» илп «резервуаром». Например, атомы в газе сталкиваются с другими атомами, и последние могут играть роль теплового резервуара для рассматриваемых атомов. Свет в замкнутой полости взаимодействует со стенками, которые играют роль термостата для света. В экспериментах по магнитному резонансу спиновые переменные взаимодействуют с другими степенями свободы («решеткой») и переменные решетки образуют термастат. Подстановка в уравнение (7.1.3) приближенной матрицы плотности (7.1.6) дает р (Г)ег — — — (1/й) 1гя ]Ъ'(Г)» р (0)з р (0)я]— — (1/6)' $ Ж'1гя]У(1)о ]Ъ'(Р)о Р(Р)з,Р(0)я]].
(7.1.7) о Следует заметить, что поправки, не учитываемые в (7.1.6) ., и (7.1.7), можно рассматривать путем последовательных приближений. Если член взаимодействия У равен нулю, то система и резервуар некоррелированы и р(1)с = р(Г)ь Если взаимодействие Г мало (т. е. ] ь'] «. ]Нз~ь ] Р] ( ]НА]), то ' можно записать р(Г)=р(/)гр(0) +ар, (7.1.8) где Лр имеет порядок малости К Подставляя (7.1.8) в (7.1.3) и удерживая члены порядка У», мы получаем уравнение, (7.1.7). Следовательно, (7.1.7) представляет собой уравнение движения для динамической системы с точностью до второго порядка по взаимодействию. В уравнении (7.1.7) р(Р)ю стоит под интегралом, следо-' вательно, поведение системы зависит от ее предыстории с мо-, КВАНТОВАЯ ТВОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ мента времени Р = 0 до момента Р = й Однако движение системы 5 демпфируется за счет ее связи с резервуаром; это демпфирование уничтожает информацию о поведении системы в прошлом.
Поэтому мы делаем второе ключевое предположение: р(г)ы зависит только от текущего значения р(1)з,. Другимп словами, предполагается, что система теряет всю память о своем прошлом. Тогда в уравнении (7.1.7) можно сделать замену Р (Р)ег — Р (1)ен (7.1.9) Эта замена соответствует марковскому приближению н приводит к уравнению р (/)зг = — (1/6) 1гв ]Р (Г)о р(0)зр (0)я]— — (1/й)' $ М'(г„]т (Г)„]Р (Р),, р(1),р(0),]].
(7,1.10) о В следующем разделе мы рассмотрим марковское приближение более подробно. 7.1.2. Временнйе корреляционные функции. Обсуждение марковского приближения Следующий шаг при анализе приближения (7.1.9) заключается в рассмотрении коэффициентов при р(1)вь Мы следуем здесь работе Луазелля ((.о)зе11, 1973), в которой можно найти более подробное изложение отдельных вопросов (см. также Багдеп1, ЗспПу, 1.аппо, 1974; На(геп, 1970).
Предположим, что оператор взаимодействия можно записать в виде )'= Е() Р (7.1.1 1) где операторы Р~ связаны с резервуаром, а операторы 1г; действ)чот только на переменные динамической системы. В представлении взаимодействия У(Г)г =ехр(1(Не+ Ня)Г/й] Рехр( — 1(Нз+ Ня) Щ = =~' Р(1) Ж)~ (7.1.12) где Р (Г), ехР ((НВГ/6) Р,ехР ( — 1НВ//6), (7,1.13а) () (/)г ехр (/Нз//Ь) ~ф ехр ( — 1НзЦй). (7.1.136) Подставляя выражение (7.1.12) в уравнение (7.1.10), используя коммутативность операторов Р~ и я~ н свойство КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАксАИИИ ГЛАВА т 1ЗВ цикличности следа, получаем Р (!)Тн — — — (с/й) 2"„(!г (!)с Р (0) „!гя (Е (!), Р (0)я)— — р (0)а! (>(!)г !Тя (Г (!)г р (0)„))— с -г!гсг'у ) ссггчго чг!ъаг!г.,— чг!!ой„чг!ггх с! Х 1гя (Г (!)Г (!')! Р (0)В) — (!г(!)г Р (!)з! Я (!')!— — р (!)з! (! (!)! !! (!)г) !Тя (Г (!')! Г (!)г р (0)я)). (7.1.
14) Рассмотрим сначала средние значения (Г(!)г>=1гя(Г(!)г р(О)„) = ,'Е (Л ! Г(!), !Л>(Л ) р(О)„! !у>, (7.1.15) . где след удобно вычисляется с помощью собственных состояний ~!у> оператора Нгь поскольку равновесная матрица плотности (7 1.6) диагональна в этом представлении, Предполагая, что операторы взаимодействия Гг не имеют диагональных элементов в этом представлении (иначе свободный гамильтопиан можно было бы переопределить так, чтобы включить в него соответствующие члены), получаем (Г (/)с> = О. (7.1.!6) Это эквивалентно предположению, что среднее значение сдвига частоты, обусловленного взаимодействием, равно нулю.
Таким образом, первый член в уравнении (7.!.!4) обращается в нуль. Далее рассмотрим функции (Г (!)гГ (!')!) = 1гя (Г (!)г Г (!')! р(0)я). (7.1.17) Это временные корреляционные функции, т. е. средние значе! ия произведений физических величин, взятых в различные моменты времени. Они характеризуют корреляцию, котора! .О ., ясуществует в среднем между взаимодействиями в моменты и !'. Как уже говорилось, резервуар предполагается большим я таким, что в нем быстро затухают эффекты взаимодействи, следовательно, резервуар будет быстро «забывать» о взаим- одействиях с системой 5. Таким образом, можно ожидать, что функция (Р(!)гГ(!')с> отлична от нуля в некотором интервале ! — Г < т, где т представляет собой характерное время резервуара и называется корреляционным врехсенем резервуара. Взаимодействия в моменты времени ! и !' становятся .
очень мало коррелированными для ! — !' ~ т и некоррелпрованными для ! — !'.э. т, когда с учетом (7.1.16) имеем (Г(!) Е(! )!) = (/г(!)г>(/г(! )с> "-г 0 (7 1 18) Следовательно, корреляционная функция (Г(!)гГ(!')г> имеет максимум прп ! = !' и уменьшается с увеличением разности Корреляционное время т в среднем определяет время, в течение которого сохраняется некоторая память о взаимодействии. Природа т зависит от природы резервуара. В газах, например, т может определяться средним временем свободного пробега между двух!я столкновениями. В экспериментах по магнитному резонансу любые ядра взаимодействуют с магнитным моментом соседних ядер, а в случае жидкостей т определяется средним временем, в течение которого ядра данной пары находятся в непосредственной близости друг от друга, прежде чем разойдутся в результате диффузии. Наконец, заметим, что корреляционные функции (7.17) стецпонпрны, т. е.
зависят только от разности ! — !'. Это можно показать, если использовать определение (7.1.13а), свойство цикличности следа и то Обстоятельство, что равновесная матрица плотности (7.!.6) коммутирует с гамильтонпапом Нси Г (!), Г (! )!) =- 1гя (ехр (гН„!//г) Гс ехр ( — !На!/1г) схр (!Ня! /Л) Х Х Ггехр( — сНВ!'/Л) р (0)я) = = 1гя (ехр (сНВ (! — !')/й! Х >< Гг ехр ( — сНЯ (! — !г)/л) Г;р (0)я) = = (Г (! — !')грс>. (7.1.19) Теперь мы используем этп результаты н снова рассмотрим марковское приближение. В силу свойства (7.1.18) в интеграл в (7,1.7) дает ненулевой вклад фактически только интервал от !' = ! — т до !'= !.
Следовательно, значения р(!')ги в момент !', лежащий вне этого интервала, влияют мало илп совсем не влияют на значение р(!)Ег в момент времени !. Таким образом, система способна помнить свое состояние только в течение интервала времени, немного превышающего коРреляционное время. Обычно интерес представляет макроскопнческое поведение системы, а не детальные изменения ее состояния. Если т много меньше характерного времени 1/у (времени затухания или распада), требующегося для заметного изменения р(!)си в макроскопическом масштабе, т « 1/у, (7.1.20) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ ГЛАВА Т 190 то в подынтегральном выражении в уравнении (7.1.7) р(1')>и ж р(1)з! и марковское приближение справедливо.
Замена р(1')ю на р(1)ю в уравнении (7.1.7) подразумевает, что мы не пытаемся подробно описать движение системы в течение интервалов времени, сравнимых с т. Нас интересует величина В!>(!)о! Р (!+ в!)е! Р 1!)з! А! А! (7.!.21) где сравниваются два значения матрицы плотности системы в моменты времени 1 и 1+И, причем интервал >>! много больше т, но еще достаточно мал, чтобы изменение р(1)з! было линейным по М. Если удается найти интервал О1, удовлетворяюшнй этим условиям, то Лр/>1! можно заменить производной по времени (7.1.10).
Необходимо только помнить, что нельзя использовать это уравнение для описания изменений р(1)о! в течение интервалов времени, меньших т. В указанном смысле марковское приближение часто называют «крупнозернистым» усреднением, а производную (7.1.10)— «крупнозернистой» производной. Заметим, что вся информация о резервуаре содержится в корреляционных функциях. Беря матричные элементы от операторов Я! по собственным состояниям ) т) гамильтониана Не, можно написать с помощью (7.1.136) (т!Щ)!1и) =ехр(йо „1)(т! !;>! !и), (7.1.23): о> „=(Š— Е„)ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
