blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 37
Текст из файла (страница 37)
) Е, переход с атомного уровня [гг) на уровень [т) более вероятен, . чем обратный, и в ббщем случае В' в Ф !)?аеп (7.2.3) Обсудим полученные результаты более подробно. Из соотношения (2.6.4) (йг'[р(0)л [й/') =ехр( — РЕм)/л (7.2.6) получаем йгет =- (2п/йл) ~~', ! (пг)г/! )л ! ггй/') [2 Х Х ехр ( — РЕЛ ) б (Ем — Ем — йогет), (7.2.7а) и для ооратного перехода !Вам = (2п/йЛ) К ! (ггйг' ! Ъ' ! гггйг) [2 Х мм' Х ехр ( — [)Ем) б (Ел — Ел — йсоам).
(7.2.76) Используя условие симметрии (7.2.4) и заков сохранения энергии Е = Ем + ń— Е,„, выражение (7.2.76) можно пре;!ставить в виде ((г„е, = ехр [ — 8 (ń— Ее,Я (2п/йгХ) Х Х ~ !(тйг[(л [пйг')[еехр( — 3Ем)б(ЕЛ, — Ем — йсот„). Сравнивая с (7.2.7а), находим Кме/Уе'„.„= — схР ( — [)Е»,)/ехР ( — 0Е,). (7.2.8) Слс.говательпо, ИРи Ее ) Ее, пеРсход с УРовнЯ [и) на УРовепь [аг) более вероятен, чем обратный переход. Рассмотрим, например, двухуровневую систему, имеющую осиониос состоаппе [1) с эпеРгпей Ег и возбУждеиное состоЯ- ннс [2) с энергией Е,. Из основного кинетического уравнения (?.2.!) и соотношения (?.2.8) получаем Р(г)и = ц?ао(г)22 !е 21Р(г)и = = !!22, (ехр [ — [2 (Е, — Ее)[ р (г)22 — р (г)1г) = — р (г)22 (7.2,9) Равновесие устанавливается, когда результирующая заселеиносгь уровней постоянна, т.
е. ко~да ри = р22 — — О, В этом ссгучае из (? 2.9) следует, что нероятиости заселенностей определяются распределением Больцмапа: ри ехр ( — ()Е,) рхе ехр ( — )1Е,) ' Итак, если первоначальное распределение отличается от (72 10), переходы, вызываемые процессом релаксации, стремятся создать равновесное тепловое распределение (7,2.10), п(ггг котором система находится в нижнем состоянии [1) с большей вероятностью, чем в верхнем состоянии [2), гллВА т калнтО1глч твогия Рглл1юлщи1 Наконец, заметим, что результат (7.2.8) формально следует нз того, что связаннь1с с резервуаром операторы Е1 и Е! в выражсниях (7.1.24), вообще говоря, ис коммутируют.
В противном случае, меняя местами Е;,Е, и ш, п в (?.1.24), Мы иОЛУ~!НЛн бЫ 1" тптп = 1'тппт и !итп = !Г пт С ДРУгОй сто роны, в теориях, где резервуар интерпретируется классическим образом и его действие иа систему оинсываетя с помощью случайных функций арсмеии, а нс с помощью неком-, МУТИРУ!ОЩИХ ОИЕРатОРОВ, ИМСЕт МЕСТО РаВЕИСтВО (Гп|п= !Гпт. Последнее является серьсзвым недостатком всех полуклассических теорий релаксации, Дальисйшес обсуждение затронутого вопроса можно найти, наиример, в книге Лбрагама (ЛЬ- гамаш, 1961). 7.3.
Кинетика индуцированного излучения и поглощения В этом а следующем разделах мы обсудим физический смысл и применение основных уравнений (7.1,28), (7.1.33) и (7.2.1). й!и рассмотрим взаимодействие атомов или молекул с внешним электромапштным иолам ири наличии процессов релаксации. Задачи такого рода особенно важны для кванто- вой электроники, Ограничимся теми случаямн, когда разность энсргий атом- ных или молекулярных состояний не слишком валика, так что соответствующая частота иерсхода лежит в области т (10э— 1011 Гц (т, е.
длина волны Л) 1 мм). Эта область включает, в частности, радиочастоты (10' — 1О' Гц) я лшкроаолновую область (1О' — 1011 Гц). Основн1ле сисктральиые переходы в этой области связаны с вращательным спектром молекул в миллиметровом и сантиметровом диапазоне, элсктроиным иарамагнитиым резонансом и ядерным магнитным резонан- .
сом. Изучаемые переходы в атомах соответствуют зесманов- ским уровням, расщепленным внешним магнитным полем, или . естественным уровням тонкой и сверхтонкой структуры. Да-, лее мы будем использовать сокращение РЧ для обозначения всей этой области частот. Одно из существенных свойств переходов в радиочастотной и микроволновой области заключается в преобладании вы- нужденного излучения. Из теории излучения Эйнштейна сле- дует, что отношение вероятностей вынужденных и спонтанных иереходов ироиорцноиально р(ч)Л', где р(ч) — спектральная плотность излучения. В оптической области р(ч) и Л малы .
и — исключая особый случай лазеров — преобладает сионтан- ное излучение. В Рс1-области длина волны Л валика и излу- чение может иметь большую плотность р(м), поэтому вынуж- дсииос излучение преобладает и часто оказывастся, что сиоитаииым излучснивм мо кио пренебречь. Другое различив мсжду оит1шескими и РЧ-линиями связано с тем, что ширина оптической линии обычного источника определяется эффектом Доилера Для РЧ-лшшй эффект Доллара мал, и, как будет иоказаио иижс, им часто можно арсисбрсчь ио сравнению с друп1ми эффектами уширсиия.
Тсисрь мы иродемонстрируел1 иримеиеиис основных уравнений, вывсдснных в разд. 7.1 н 7.2, на иростых иримсрах двухуровневых систем. Пусть осиовиос атомное или мопскуляриое состояние ~1) имеет энергию Е1, а возбужденное состояние !2) — энсрпно Е,. В экспериментах ио магнитному рсзоиансу разность энсрп1й двух синцовых состояний возни- каст за счет постоянного однородного магнитного поля Нь. Лтохшая систсма обладаст аксиальной симмстрией относитсльно оси квантования, оирсделяеьюй наиравлеиисм Нь, и, следовательно, когсреитность 11сжду двумя уровнями отсутствуст.
Соотвстстау1ощая матрица илотности диагональна в ирсдставлеиии с базисными состояними (1) и 12). Всостояиии тсилового равновесия заселенность этих уровней оиределяется расиредечением Больцыана. Приложенное РЧ-иоле вызываст иерсходы между состояниями. Прсдиоложим, что поле иериендикулярио оси квантования, так что существует выдслеинос 1юлеугчног наиравление.
Как было показано в гл. 4 и 6, в этом случае возникаст когсрснтная суисриозиция состояний !1) к !2);следовательно, ириведсниая матрица илотноств р(!)з рассматриваемой атомной системы не будет больше диагональной. Кроме взаимодсйствия с внешним полем следует учитывать процессы релаксации. Различные случайные взаимодействия между соседними атомами стремятся установить или сохранить твидовое равновесно в среде, т. е. распределение атомов ио дв) и !ров«я11, иод1иия1о1цасся закону Больцмана, В парях такие взаимодсйствия имеют место ири столкновениях атол1ов пара со стоиками сосуда.
В задачах, связанных с магнитным рсзонансом, флуктуирующие магнитныс поля создаются мапипиыми моментами атомов. В твердом теле всегда сущсству1от взаимодсйствия между соседними атомамн, которые колеблются относительно своих положений равиовссия; с этими колебаниями связана оиредслсипая эисргия.
Далсе всегда будет иредиолагаться, что ириняты основные ириблим1еиия разд. 7,1. Будем иолагать, в частности, что «среду», окружающую рассматриваемые атомы, всегда мох1но считать твидовым резервуаром, находящимся в состоянии тсилового равновесия. квл[пояля тгор1[я Реллксх[ии[ гллВА г 200 Таким образом, необходимо уч[мывать два конкурирующих процесса. Релаксация стремится восстановить тепловое распределение атомов ио двум уровням.
Так как вероятности переходов для вынужденного излучения и поглощения равны, внешнее поле стремится выровнять заселенности (в отсутствие спонтанного излучения). В результате за счет конкуренции этих процессов устанавливается динамическое равновесие, при котором заселенность уровня [2) выше, чем при тепловом равновесии. Релаксация вызывает больше переходов [2) ->-[1), чем переходов в обратном направлешш, а РЧ-поле постоянно индуцирует большее количество переходов с ьшжнего уровня на верхний, чем обратно, Таким образом число переходов, связанных с поглоп[еиисм фотонов, превышает число переходов, сопровождающихся выиу>кдепныл! излучением Поэтому эперпш непрерывно передается от поля к атомной системе, которая постоянно отдает ес резервуару в форме тепла. Такое поглощение излучения можно измерить методами РЧ-спектроскош[я.
Для системы атомов, взаимодействующих с внешним электрома!Яштиым полем, гамильтонпан (без учета релаксации) может быть записан в виде (7.3.1) 1! (!) = П„+ 1! (!), где Г!р — гамнльтоииаи системы в отсутствие переменного поля (в случае магнитного резонанса статическое поле Нр должно быть включено в гампльтоииан Г/р). Взашн>действие атомов нлп молекул с приложенным полем представим в виде )Г (!) =- )> соз и>! = (1/2) Р [ехр (!и!) + ехр ( — !2>!)]. (7.3.2) Для электрических дипольных переходов, например, оператор взаимодействия равен Р (1) = — егЕ (1) = — егЕ соз р>1, (7.3.3а) где вг — оператор давольно[о момента атома и Е(1) — напряженность электрического поля.
Взаимодействие парамагнитных атомов или ионов с переменным электромагнитиыч полем, имеющим вектор магнитного поля Н(1), описывается формулой 1' (!) = — РН (!) = — 1[Н соз р>1, (7.3.35) где 21 — дипольный момент атомов (см, разд. 2.5). Следует заметить, что временная зависимосгь вида (7.3.2) обеспечивает эрмитовость операторов (7.3.3). Для поперечных полей матричные элементы ([и'[В[я[) отличны от нуля только при и' чь т (т', [и = 1,2) .
В отсутствие всех релаксациоииых процессов уравнением дан>кения для интересующей нас приведенной матрицы плот[,ос[и является уравнение Лиувилля (2.4.20), которое здесь мы заи[пПСМ В фОРме [Р([[„, „,) = — йэя Р(!)„, „, — (г/Гг)(п['1[1>(!), Р(!)з) [т), (7.3.4а) где р>», „, =(Е,„— Е„,)/Гг. Взаимодействие между атол!амп и [ьх окружением обычно учитывается путем добавления в уравнение (7.3.4а) соответствующем> релаксацяонного члена Р (1),„„, = ~~'„!7,„„„Р (1)„„. (7.3.4б) РА В результате получаем полное уравнение движения: Р(!)„, „, = — !2>,„„,р(!),„„, — (1/Гг)([п ) [Р (1), Р(!)2) [т) + + Х !1[р,ярл„р(!)„Д„, (7.3.4) которое является основным кинетическим уравнением для рассматрш[асиой зада ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
