blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В случае ядерного магнитного резонанса необходимы радиочастоты. Число атомов в верхнем состоянии увеличивается за счет падающего излучения. Однако одновременно идет и обратный процесс, обусловленный релаксацией, которая приводит к передаче энергии возбужденного состояния «окружающей среде» и стремится восстановить условия теплового равновесия. Действие этих конкурирующих факторов на спиновую матрицу плотности р(1) и опнсываетси уравнением (7.3.4), В котором гамильтониан Н, включает теперь статическое поле На: На=Но — 1».
На. (7.4.4) 1'ампльтоииан Но иевозмущенных спиновых состояний не входит в уравнение движения из-за вырожденности этих состояний, Используя (7.3.36), представим взаимодействие спина с внешними полями с помощью гамильтониана: Н(1) = — 1» Н, + 1» (/) = — 1» ° (Но+ Н ()),).
(7.4.6) Прежде всего рассмотрим уравнения (7.3.6) в отсутствие РЧ-поля. При этом Р (!) и = йх Р ())м — йтп Р ()) н = — Р ())о ° (7 4 6) Будем считать, что каждый рассматриваемый спин реагирует на внешние поля независимо от всех других спннов и что «окружающую среду» можно рассматривать как тепловой резервуар в состоянии теплового равновесия. Добавляя и вычитая член %' трц в уравнении (7.4.6), с учетом условия рц + Рм = 1 получаем Р(~) =й „вЂ” (й „+)Рт,)Р())н, Р»~)ье 1« о1 (йГ~ + йтм) Р (г)оо (7.4.7а) (7.4.76) УРависиие (7.4.8) можно записать в виде р(У) р(!)„(Р— 2)-[ ') — ")о]. (7.4.11) 1 Вамп»им, что величина Т1 действительна в силу (7.1.30), откуда вытекает Р(1) -Р())'=()Р -)р ) — (й +йг )[Р(1)Н-Р(1)оп].
(7.4.8) В состоянии теплового равновесия Ри =рот =О, и из (7.4.8) следует <о> Рпо (7.4.9) В'п+ 1Г'»1 ' где р]",' и Р<о~ — соответственно вероятности заселенностей уровней [1) и ]2) при тепловом равновесии (в присутствии статического поля). Определив параметр 7, выражением й» т, = 1/()У'... + ]Р'э,), (7.4,10) гловл ! квонтовля теогня веллкс>шин 208 — '„" ,=у[МХ(Н,+Н(!Ц,— ф, Хг г> Ик >>>, — „'," =у[М Х(Н,+ Н(/Ц„-~, >>л! >о> — „,' =у[М~(Н(/Ц,+ М>о» г и — "'и мт>! о >Гг>г+ >>гг~ 2 (7Л.17а) (7.4.17б) (7.4. 17в) (7.4.18) где РЧ-полс можно учесть, добавляя соответствующие члены в уравнение (7.4.11): >г (!) и — р (1)л = — (>/й) [(1 ! [)> (1), р (1)з] [ 1)— 7 >о> >о>г (>! (>1 — (2![Р(!), р(!)з]/2)] + т ~ (7А.12) Теперь рассмотрим неднагопальные элементы, пренебрегая мннмой частью у>г (т.
е. сдвигом линии). В этом приближении определим Т, с~>сд) >ошнм образом: То —— 1/ум (7.4.13) и запишем уравнение для нсдпагональных элементов р (!)г! =( — >о>>о+ 1/Тг) Р(!)г! (>/а) (21[К (!), р (!)з[! 1) = р(!)>и; (7.4.14) которое можно представ>>ть в виде Р (1)о! — — — (>/Д) (2 ! [Т/ (1), Р (!)з] ] 1) + Р(/)ч/Ть (7.4.15) где О(!) — гампльтоннан (7.4.5). Макроскоппческая намагниченность М определяется формулой (2.6.6): М,=А>уй>(п!)/2, >=х, р, а, (7А.16а) где о; — соответствующая матрица Паули, А> — полное число атомов в единице объема, у — гпромагнптное отношение..
Используя выра>кения (1.1.6) для матриц Паули, можно записать М в явном ниде: М, = (!/2) й!УЛ (Рж + Р>п), Мо = (1/2) А>УЛ!'(Рм — Рл), М, = (1/2) А>у/! (рп — рм). (7.4.! 66) В отсутствие эффекта релаксации уравнение движения для вектора намагниченности М совпадает с (2.5.5) с заменой Р на М н Н на Н, + Н>(!). Добавляя рслаксацпопныс члены п используя уравнения (7.4.11), (7.4.15) и (7.4.166), полу'>асм Как показывает уравнение (7.4.17в)„М, есть равновесное >о> (г/Мг/г/! = О) значение М, в отсутствие РЧ- поля.
Уравнения (7.4. 1 7) называются уравнен иял>и Блоха; они были впервые выведены Блохом н 1 946 г. (В !осЬ, 1 946) для атомов с А> уровнями, а в дальнейшем обобщены (В!осЬ, 11>апазпсзз, 1952). Основная особенность общих уравнений Блоха состоит в том, что влияние релаксации описывается с помощью двух действительных параметров Т! и Т,. Мы прпвели здесь вывод уравнений Блоха главным образом для того, чтобы объяснить разчичные содержащиеся в нпх приближения. Этп приближения не всегда справедливы, п релаксация в общем случае описывается не столь просто, как в уравнениях (74.17).
Тем не менее эти уравнения во многих случаях описывают наблюдаемые явления с хорошея точностью. Следует заметить, что макроскопичсская намагниченность М определяется такими же уравнениями, как и в классических феноменологических теориях, я можно показать, что значения М равны значениям, полученным в классических моделях. Это объясняется тем, что в уравнениях (7.3.4) не учить>нается спонтанное излучение. Подробное обсуждение затронутого вопроса можно найти в книге Абрагама (АЪгадаш, 1961). В заключение заметим, что в полуклассическнх теориях, как указывалось в равд.
7,2, йт>г = Ю'о>, откуда следует М>> =О, в противоречии с экспериментом. 7.4.2. Продольная и поперечная релаксация. Сливовое эхо Подробное обсужденне уравнений Блоха можно найти во многих работах, посвященных явлениям магнитного ре- зонанса; мы ограничимся обсуждением физической природы параметров Т! и Тг.
Предположим, что в определенный момент времени (ска- жем. прп ! = О) поле Н(!)! исчезло. В отсутствие Н! урав- нения Блоха сводятся к уравнениям г>/Мгг/г>! — оог Мд — Мг/Тг, >!Мк/й = — о>гу, — Ма/Т>ь (М;/(! = (М! — М.)/Тп где о>г = у>Но]. Яслн все процессы релаксации отсутству>от, вектор М будет свободно прецесспровать вокруг статиче- ского почЯ Но с частотой сом Компонента М, остаетсЯ по- стоянной, а М, и М„постоянны по величине п вращаются в плоскости ху.
За счет различных взаимодействий спинов пх окружением сппновая спстема будет релаксировать 211 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ ГЛАВА 1 21О к состояншо теплового равновесия. Можно показать, что ре- шение уравнений (7.4.19) имеет вид М (1)„= А з)п (в, т'+ в) ехр ( — 1(ТВ), М (1)„= А соз (вс1 + ~р) ехр ( — 1(Тз), (7.4.20) М (1) = ( — М',М) Ехр ( — 1(Т,) + М"1, где А, В и ~р — постоянные интегрирования. Выражения (7.4.20) показывают, что вследствие релаксации М, и М„ стремятся к нулю с постоянной времени Тв а М, стремится к своему равновесному значению с постоянной времени Ть Таким образом, Т; отражает распад компонент М н М„, перпендикулярных Нь, и поэтому называется временем поперечной релаксации, тогда как Т1 отражает распад продольной компоненты М, и называется временем продольной релаксации. Обращение в нуль компонент М, и Мь в состоянии теплового равновесия обусловлено отсутствием выделенного поперечного направления.
Поэтому направления отдельных поперечных компонент М меняются случайным образом при переходе от одного атома к другому, и суммарная равнодействующая равна нулю. Отличие М, от нуля связано с осевой симметрией системы, обусловленной статическим полем Нь, которое приводит к различию энергий двух уровней. Физическую природу параметров Т1 и Т; можно понять, обратив внимание на существование различных механизмов релаксации. Прежде всего это спин-решеточное взаил1одействие, включающее все процессы обмена энергий между спиновой системой и ее окружением, например кристаллической решеткой. В общем случае все степени свободы, кроме спиновых, мы называем решеткой.
Передача энергии от спиновой системы к решетке связана с переходами из верхнего спинового состояния в нижнее и вызывает изменение заселенностсй двух спиновых состояний, а следовательно, и М,. Таким образом, продольная релаксация связана с передачей энергии от спинозой систел>ы к решетке. Поэтому Т1 характеризует время, которое требуется системе для достижения энергетического равновесия со своим окружением. Второй тип взаимодействия, спин-сшгновое взаимодействие, включает все механизмы, посредством которых спины могут обмениваться энергией друг с другом, а не с решеткой в целом.
Например, прн упругом столкновении, в котором один атом испытывает переход (1)- 12), а другой— переход 12)- 11), энергия спиновой системы и значение Мт не изменяются. Следовательно, такие столкновения не могут дать вклад в продольну1О рЕлаксацию, иО разрушают кагЕ- рентность между спяновыми состояниями (см. гл. 3); поэтому недиагональиые элементы спиновой матрицы плотности и поперечные компоненты М стремятся к нулю. Такал> образолц поперечная релаксация связана с потерей когеренгности спиновой системы. Отметим, что любой процесс, дающий вклад в Ть будет в общем случае разрушать когерентность, так что Т, ~ Т,. Метод магнитного резонанса дает возможность определять времена релаксации и получать информацию о различных релаксационных процессах (см., например, АЬгадат, !961; Согпеу, 1977). Физический смысл величины Т, можно понять с помощью следующей простой модели (которая, однако, не учитывает всех аспектов поперечной релаксации).
Непосредственно после выключения РЧ-поля индивидуальные спины начинают прецсссировать вокруг Нь В отсутствие релаксации все компонс>пы сппнов вращались бы с одной и той же частотой вт и исходные значения величин М, и М„были бы постоянны во времен~. Различные случайные взаимодействия магнитных дпполей создают вокруг каждого атома магнитное поле, что приводит к появлению помимо внешнего поля Нь флуктупрующих компонент, либо усиливающих, либо ослабляющих Н,, и тем самым вызывает увеличение или уменьшение скорости прецессии отдельных спинов. В результате спины теряют синхронность вращения, и с течением времени нх распределение размазывается на все более и более широкую область в плоскости хд; в конце концов результирующая поперечная компонента обращается в нуль. Величина Т, характеризует время, за которое согласованность движения спинов совершенно исчезает. Прямое измерение времени Тт представляет собой наиболее однозначный способ исследования механизмов потери когсрентности.
Эта простая модель поперечной релаксации позволяет легко объяснить явление, известное под названием спинового зха. Пусть система ядерных магнитных диполей такова, что вектор намагниченности М указывает в направлении статического поля (оси г). К системе прикладывается резонансное радиочастотное поле, причем длительность импульса поля такова, что вектор М поворачивается в направлении х (чп/2ь-импульс; рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
