blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(Л.2а) Имеется важное соотношение между следами: 1г (А )( В) = 1г А 1г В. Применение соотношений (Л.2) позволяет исключить использование явных матричных представлений в болыппнстве расчетов. Определение (Л.1) применимо и для векторов-строк, которые можно рассматривать как матрицы с одной строкой. Например, при записи сппновых состояний в стандартном представлении прямое произведение состояния 1+1) со олином 1 п состояния ~ — 1(2) со спппом 1(2 имеет внд что мы будем записывать в виде 1 + 1) 1 — 1(2) = ~ 1, — 1(2) (Л.4) В более общем случае рассмотрим два линейных пространства Я и г с базисамп 1Ф) и ~п) соответственно (т.
е. любой вектор пз й(г) можно записать в виде линейной комбинации состояний 1Ф)(1п))1. Комбинированное пространство (прямое произведение пространств Й и г) можно натянуть на множество всех прямых произведений 1 Ф, п) = ~ Ф) 1п), т. е. произведений всех возможных пар, составленных из базисных векторов 1Ф) и ~ и). Например, ансамбль частиц со олином 1 может находиться в состоянии ~+1), а ансамбль частиц со спином 1(2 — в состоянии ~ — 1(2). Когда системы разделены и не взаимодействуют, состояние комбинированной системы представляется прямым произведением 1+1, — 1(2).
Это простое представление неприменимо, когда две системы взаимодействуют (см. разд. 3.1). Однако любой вектор ~ф), представляющий состояние связанной системы, можно всегда записать в виде суммы прямых произведений: ! ф) = ~, а (Ы, и) ~М) ~ и), (Л.б) где л1 = ~1, О, ит = .+1(2, Прямое произведение состояний обладает следующими важными свойствами. Скалярное произведение определяется соотношением (о', и'!Ж, п) =(У'! Ф)(п'!и). Матричные элементы оператора Я(й), действующего только на пространство й, имеют внд (У', и'1(((В) ( Ж, и) =(Ф' ~ Я Я) ( Ь() Ь1'1и), (ЛУ) ПРИЛОЖЕНИЯ зз! ПРИЛОЖЕНИЯ прямое произведение операторов записывается следующим образом: (И', и'!1'„1(1г)ХЯ(г)~!У, п)=(А!'~Я(1г))Л!)(п'!Я(г)~п). (А.8) Рассмотрим теперь смесь состонний )А!, п)„представленных матрицей плотности р = 2' ))тн, и ~ А!, п) (У, п 1, (А.9) где )1гн есть вероятность обнаружить систему в состоянии )А!, п) = ~Л!)~п).
Две системы являются некорреларованными, если (А.!0) т. е. если вероятность обнаружить одну систему в состоянии ~А!) не зависит от вероятности обнаружить другу!о систему в состоянии ~п). Если условие (А.10) выполняется, то, согласно (Л.5) и (А.9), Р = ( Х 1(тн ~ !ч) (А' 1) ( Х нтп 3 и) (и!) = Р (Л~) Х Р (и) (А.11) Таким образом, в частном случае некоррелированных систем полная л!атрнна плотности представляется прял!ьы! произведением матрац отдельных систем. В качестве примера рассмотрим два ансамбля частиц со спинами д! п Яь В отсутствие взаимодействия две системы некоррелпрованы п описываются матрицах!и плотности Р(3!) и Р(Я»). Тогда объединенная система характеризуется матрицей плотности Р!п=р(8!) ХР(3з)- Разлагая матрицы плотности р(5!) п р(3 ) по спин-тензорам согласно равд. 4.4, получаем Р,п = ~ Х (Т (3Д,) Т (д!)к,Ц Х (Т (дт),' ) Т Рт),„1 = 2 (Т ($!)ко) (Т (3,)ьч) ГТ(3!)ка Х Т (К,)пч ) (А.12)- коьч Используя соотноп!ения (А.2б), (4.2.24) и (4.2.25), получаем след: 1г (р!„(Т(3!)»,О,Х1)1= ~' (Т(д!)к )(Т(34ь ) Х Х 1г ~Т(З!)ко Х Т(3)„ЦТ(3!)к, Х11= =(2дп+ Ц-'! (Т(3!),',)(Т(зт) ).
С учетом (4.3.14) окончательно имеем (Т(д!)КО) =1!' Р!и ~ТА)у,.п. Х 1~. (А 13) Подобным образом спин-тензоры, характеризующие только вторую систему, определяются выражением (Т Фз)ь ) = (г Рап) 1 Х Т Щ)ь ). (А.14) Выражения (А.12) — (Л.14) используются, например, в теории рассеяния для описания начального состояния поляризованных част!ш. Б. Мультиполи состояния связанных систем Рассмотрим две взаимодействующие системы, имеющие моменты Х и!. Этп две системы могут быть Образованы дву- МЯ раЗЛИЧНЫМИ аНСНМбЛЯМИ ЧаетИН, НаПРИМЕР ЭЛЕКТРОНЕМ!! со спинам 1 = 1/2 и атомами со спином 7, пли двумя разлнчнымп характеристиками одного и того же состояния (например, атомное состояние может характеризоваться электронным угловым моментом 7 и ядерным спинам 1). й(ультнноли состояния, описываю!цпе связанную систему, можно построить, связывая сначала состояния Ь!М) и ~1т) в собственные состояния оператора полного углового момента Е', а затем используя этп собственные состояния г для построения тензорных операторов Т(Г'г)кч по формуле (4.2.3) и мультпполей состояний согласно (4.3.3).
Часто Оказывается более удобным другой способ представления полной матрицы плотности. Возьмем набор всех тензорных операторов ТЯ ко и ТЯп„описыва!Оп!Нх отдельные подсистемы (К ~ 27, я ( 27), и построим набор всех прямых произведений Т(Х)ко Х Т(1)пч, как описано в приложении А. Любой оператор, действующий на полном пространстве, натянутом на прямые произведения )УМ)1ггп), можно разложить по этому набору. Следовательно, Р= )'. (ТЯ,' ХТ(1)'„)[Т(Т), ХТ(1)„~. (Б 1) Согласно приложению А, мультиполп состояния Определяются из (Б.1) путем вычисления следа: (Т Я»„„Х Т Я»,) = (г Р ~Т (Т)~о Х Т Я~3.
(Б.2) Если две системы некоррелированы, то, как следует из приво>кения А, (Т Яко ХТ(1)»,) =(Т(Х)»кд)(Т(1)»п,). (Б.З) пппложенпя азз ппиложенпя Свойства симметрии: дучгилаолы Определение; Во многих случаях особый интерес представлшот параметры (Т(у))~, Х 1) =(21-1- 1) '(Т(у)к Х Т(1)са). (Б.4) В выражении (Б.4) использовано соотношение (4.2.14) и 1 есть (21 + 1)-мерная единичная матрица. Используя (А.86), легко показать, что (т(у)к Х1)=1гР~Т(у)к Х1~=1г~Р(у)т(у)Ц, (Бб) где р(у) — приведенная матрица плотности, описывающая только систему У: (Ум'!р(у) !УМ)= ~„(уи', 1т1р !УМ, Хт). Поэтому, если нас интересует только система У, а система 1 не наблюдается, то следует рассматривать только набор мультиполей (Т (У)~, Х 1) =(Т (У)„, ).
Точно так же если наблюдается только система 1, то представляют интерес мультиполи (1 Х Т(1)„) =(Т(1)» ). Соответствующие примеры приведены в равд. 4.7. В качестве еще одного примера рассмотрим эксперименты по рассеянию поляризованных частиц со спнпамп У и 1. Для определения полярпзацнонных состояний одной пз систем У или 1, когда состояния другой системы не поляризованы нли не регистрируются, можно использовать набор всех спин-тензоров, соответственно (Т(у) Х1) или (1ХТ(1)~ ).
Если измеряется поляризация обеих систем в эксперименте на совпадения, то нужно рассматривать некоторые плн все параметры, для которых К н й одновременно отличны от нуля. Используя для ргм выражение (Б.2), для ры — выражение (А.!2) и соотношение (Д.5), можно связать сппн-тензоры конечных состояний со спин-тензорамп начальных состояний. Наконец, приведем соотношение между «связанными» тензорами Т(Р'Р)ко и «несвязанными» операторами Т(у)коХ Х Т(1).;. Т(ГГ)к'о'= Е Н2К+1)(26+!)(2Г +1)(2Е+1)) Х ко»« КйК' Х(К!У, йх!К'Я У 1 Г (т(у)к,ХТ(1)„), (Бб) У 1 Г где (...) означает 91-символ.
Обратное соотношение можно получить, используя свойства ортогональностп 91-символа: Т(У)коХ ТА«= у Н2К+ 1)(2й+ 1)(2Е'+ !НА+ 1))'с:Х РРкиг К й К' Х(КЬ уау ~ К'Я') У ! Г т(унГ),~,. (Б.7) У 1 Е В частном случае й = О соотношение (Б,7) дает 7' (У)ко Х 1 = (21 + 1) '" Р' (У) ко Х Т (1)оо) = к+так-и ~~ =-Х И2Е'+ !)(2Р+ 1))ъ( — 1) "к 11 у дт(Г'К)ка. (Б.8) »к Аналогичное соотношение справедливо и для тензорных опе- раторов ! ХТ(1)ьь описывающих только систему 1, когда система У не наблюдается. В.
Формулы теории углового момента Коэффициенты Клебша — Гордана (Лиь ЧИ !!Ум)(у~ми Ухи»!Ум)=6 ° 6 „. (В.!а) И! мР~ "'«и2' ~ (У,ми У.м, ! У'М') (У,ми Хама ! УМ) = 6э эбмм" (В.! 6) м,ль (1 Мь У»Ма !УМ) =( — 1)л+л-'(У, — М„х, — М, !У вЂ” М) = (В.2а) ( 1) (Уэгмг У~и~ !Ум) (В.
26) =((21+ !)У(21., + !)) ь( — !)" " (У,ио У вЂ” И !Ха — Иа) —. (В.2в) =.Н21+ !)/(21,+ 1)]ь( — 1) '" "(У вЂ” М, У,иа!У, — ИЯ= (В.2г) (,; )- У, Уа У'~ 1 !)л-л-и (11М~ Угм2 ! У М). (В.З) М, и, МУ' !Зу+!)Ч* ПРИЛОЖСПИЯ ПРИЛОЖЯНИЯ Соотношения ортогональностп: (В.4а)! (В.ба)! Частное значение: ч У! Уз Уз! ! — 1!л+1'+1' 0 1, Уз4= !!ау!+ !!(зуз+ !!1' (В.11) Частный случай: ) У, 1з 0'~ ! !)л м, М вЂ” М, 0/ !еу ! !!те (В.6) бучсимволы Определение: Частное значение: (В.16 а) (В.166) (В.16в) Произведение (ы = у!!а)! 0 (м)о 1 0 (в)1; и и, м и, (В.8) зм ~М Ме МГ З М' М' М/ 'и(з!! мзмз' Х~,, )~', ', ~= 1М, М, М'~(,Ь1, М, Л1,1 !21-~-061лб,изг. (В.4б)! Свойства симметрии: 3!'-символ не изменяется при циклической перестановке его столбцов и умножается на ( — !) '~6+ при нециклпчсской перестановке. В частности, У! Уз Уз ( — 1)В!1+~ !!+Х в!!' ! Уз уз ве веев М, ж ~,— М! — Мз — Мз/ 1 !з 1з ') ( !! Уз !з ~ ( 1! Уз Уз ~ х(~ ' )( 1 'пз в'з ~ — !и! Мз взз,з$,и!! !И„М /.
(В.7) Симметрия: 61-символ не изменяется при перестановке двух любых столбцов и прп перестановке любых двух элементов верхней строки с двумя элементами, расположенными под ними, например У! Уз Уз У! Уз Уз !! Уз Уз Свертка: (:) ( )( 1, вв Ортогоиальностзн „(21+ ц(2У" -(- 1) ~ ' „~ = 61'1" (В.10) '(у, у, у~~~, 1, 1"1 Зле иенты .натрицы поворотов Определение: 0(т)!а)'„',и =ехр(1М'у) !У((!)и~ ехр(!Ма).
(В.12) Симметрия: с((Р)й„= !! (-6)',,",и. = ( — 1) " !1 Ф)",,'и, = ( — 1)м™ д ((!)'"м, (В.!3) 0(ура)~ ! =( 1) 0(Ъ|)а)~ 1, н (В.14) Связь со сферическими функциями У!и и полпномамн Лежандра Р!! 0(У(!а),ин =( — 1) (4иу(21+ 1)) е У ФУ)ли 0(уй ),"м =(4лу(21+ 1)) е УФ )1и* 0 (!'6а)~~! = Р (соз (1) . 236 пРилажвния ПРИЛОЖРНИ» Я О 1 — <У (Г.б) (Г 3) (Г.й) Ортогональностгя ~ .0(уйа) ~~; 0 (ура)мпм, з(п 8 сф да дт = 8пг/(2У+ 1)) б !б . б ' . (В.18) Матричные элемента неприводимых гензорных операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
