Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь (768834), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Разобьем его на лт отрезков точками Оь 1=1, ..., па+ +1, Оыы=Ог<О»« ... О!« ... Опт+!=Оп!»». Тогда отношение правдоподобия (2) можно представить в виде Л= ~ У+'Л(у!О)ш,(0) (О. 1=! Еу Предположим, что условное отношение правдоподобия Л(у)0) непрерывно поО. Таккак плотностьвероятностей тно(0))0, то согласно теореме о среднем существуют такие точки Оса~[Он 0;+!) =ЛОь при которых Л = ~ Л (у)Ое) р,, г=! ' а) Рнс. 5.1, Структурные схемы многоканальных систем обнаружения сигнала н опеннаання его параметра прн байесоаской (а) н небайесоеской (б) постаноаках задачи 193 Если полезный сигнал присутствует в наблюдаемой реализации у, то, отыскав канал, для которого выходной эффект макситазлен (пусть это будет, например, 1-й канал), тем самым определим отрезок Лй„с наибольшей вероятностью содержащий неизвестный параметр, т.
е. осуществим оценивание параметра сигнала. Выне. сение оценки параметра естественно связать с вынесением решения с(1 о наличии сигнала. Не рассматривая пока вопрос об оптимальной взаимосвязи операций обнаружения и оценивания" будем считать, что в случае принятия решения с(1 ключ Кл замыкается и выдает оценку параметра, формируемую на выходе схемы выбора максимума СВМ. 'Таким образом, схема на рис. 5.!,а представляет собой систему совместного обнаружения сигнала и оценивании его параметра. Остановимся на вопросе об оптимальности обнаружителя и измерителя, входящих в эту систему. Если бы случайный параметр 0 мог принимать лишь конечное число дискретных значений О,е:— О с вероятностями р,()=1,, пт), то вместо интеграла в (2) сразу бы имели сумму, т. е.
отношение правдоподобия имело бы вид (3), причем 0',=0,. В этом случае каждый канал схемы на рис. 5.1,а был бы точно «настроен» на соответствующее значение параметра О, так как условное отношение правдоподобия Л(у)0,) зависело бы от известной величины 0т. При этом обнаружитель был бы оптимальным по критерию отношения правдоподобия, и в частности по критерию Неймана— Пирсона (если порог выбран по заданной вероятности ложной тревоги), а измеритель был бы оптимальным по критерию максимума апостернорной вероятности. В последнем нетрудно убедиться, принимая во внимание, что согласно формуле Байеса Л(у(0,) рт= — "(У)0м0="Рт =(с (у) Р(0,)у, 0=1), ее (у)0 = О) где величина Я~ м(у(01 0 = 1) РГ т(( ) 1=1 м(у)0=1) в (у(д = О) м(у(д =- О) не зависит от значения параметра 0 Поэтому на выходе СВМ (рис.
51,а) имеем максимальную апостериорную оценку, максимизирующую апостериорную вероятность Р(0,(у, 6=1), 1'=1, ..., пт, оцениваемого параметра. Отметим, что на выходе СВМ получаем оценку параметра сигнала лишь при 0=1, т, е, при наличии полезного сигнала в наблюдаемом процессе у. " Этот воврос рассматривается в й о 3 194 Рассмотрим теперь более общий случай, когда оцениваемый случайный параметр 8 является непрерывным. При этом обнару- житель и измеритель, показанные на рис.
5.1,а, будут, вообще говоря, квазиоптимальными. Отход от оптимальности вызван тем, что точки 0',е=Л0, в общем случае неизвестны * и их придется выбирать внутри отрезков ЛО,(1=1, ..., пг) более или менее произвольным образом. При достаточно малых отрезках Л0, (число каналов и велико) проигрыш квазиоптимальных схем по сравнению с оптимальными будет невелик, причем при лт — ~-сс этот проигрыш стремится к нулю.
Рассмотренное байесовское решение задачи обнаружения сигнала и оценивания его параметра требует знания априорной плотности вероятностей параметра шс(0), по которой определяются априорные вероятности (4), используемые при весовом суммировании в многоканальном устройстве (рис. 5.1,а). Если эти априорные сведения неизвестны, то суммирование сигналов с выходов каналов может оказаться неэффективным. В этом случае следует использовать иебайесовский подход.
Небайесовская задача. Считаем, что оцениваемый параметр 9 является неслучайным, принадлежащим множеству О. В данном случае для синтеза оптимального обнаружителя целесообразно воспользоваться критерием максимального отношения правдоподобия*'. Согласно этому критерию оптимальное правило обнаруже. ния подобно правилу (2.25) и имеет вид Л„~ Ь, (5.5) где статистика щах ш(у!0, б = ! ) (у ! б = 0) (5.6) а значение порога и выбирается по заданной вероятности ложной тревоги: 1" и(у!8=0)ду=р. Отметим, что рассматриваемое л„>а правило обнаружения сохраняет прежний вид и при векторном параметре в. Статистика (6) представляет собой максимальное значение условного отношения правдоподобия: Л„ = !пах ("1 ' = гпах Л (у)8) = Л (у)8м).
(5.7) выв ш (у!б = О) еыв * Теорема о среднем, которая использовалась при получении формулы (3), гарантирует лишь существование укаэанных тачек, однако она не дает способа их отыскания. еь Этот критерия является частным случаем обобщенного критерия отношения правдоподобия (см. $ 2,!1). !96 Рис. б 2 Структурная схема системы обнаружения сигнала и опенивания его параметра Максимум достигается в точке 9„, являющейся оценкой максимального правдоподобия параметра 9. В результате приходим к схеме на рис. 5.2.
Первый блок формирует условное отношение правдоподобия Л(у~О), которое поступает на схему выбора максимума, отыскивающую максимальное значение Лм=Л(у~О ) во всей области изменения параметра О~ЕОь Это значение поступает на пороговое устройство, а зафиксированное значение параметра 9, при котором условное отношение правдоподобия максимально, подается на ключ. Если величина Л, превышает порог, то выносится решение с(1 (есть сигнал), при этом подается команда на ключ и на его выходе имеем оценку параметра 9,.
Обнаружитель рассматриваемой системы совместного обнаружения и оценивания (рис. 5.2) оптимален по критерию максимального отношения правдоподобия, а измеритель оптимален в том смысле, что он формирует оценку максимального правдоподобия. Отметим, что решающее правило (5) эквивалентно правилу р(Лм) ~ р(й)=й„ (5.8) Ит где гр-монотонная функция (например, логарифм), причем <р (Л„) = ~р (|пах Л (у(911 = гпах ср (Л (у) О)). в е При конкретизации блока формирования условного отношения правдоподобия (рис. 5.2) или блока формирования логарифма условного отношения правдоподобия можно непосредственно воспользоваться результатами синтеза оптимальных измерителей Я 4.1 и 4.2).
В общем случае при многоканальном варианте измерителя имеем систему совместного обнаружения и оценивания, показанную на рис. 5.1,б. Каждый из каналов формирует условное отношение правдоподобия Л(у)Оу) (или его логарифм) для фиксированного значения параметра Оу(1=1, 2, ..., т), взятого из множества возможных значений параметра 9~6. Схема выбора максимума определяет канал с максимальным выходным эффектом. Если 196 Л(у)О;) )Л(у(О;) для всех 1=1, ..., пг, !М1, то величина Л(у)0;) подается на пороговое устройство.
При превышении порога на выходе ключа получаем значение Оь являющееся оценкой параметра О. Если бы оцениваемый параметр 0 был дискретным, принимающим и возможных значений, то оценка 0; являлась бы оценкой максимального правдоподобия: 0;=О . В общем случае, когда параметр 0 непрерывный, значение О; приближенно совпадает с оценкой максимального правдоподобия: О;жО„. Степень приближения увеличивается с увеличением числа каналов т.
Требуемое число каналов определяется так же, как и в, в 4.1, 4.2. Сравнивая многоканальные системы совместного обнаружения и оценивания (см. рис. 5.1), видим, что в отличие от байесовского варианта структурной схемы (рис. 5.!,а) в схеме на рис. 5.!,б весовое суммирование сигналов перед пороговым устройством отсутствует, что обычно более приемлемо для практики. Таким образом, небайесовское решение поставленной задачи привело к технически более приемлемой схеме совместного обнаружения и оценивания. Перейдем к рассмотрению задачи совместного обнаружения и оценивания для конкретных моделей сигнала, используя при этом результаты О 4.2.
Вначале остановимся на сигнале вида з(0, !), где форма сигнала з †детерминированн функция. Наблюдаемый процесс р,=бз(0,7)+~,; О=О,1; О<г~т, где Цс — белый гауссовский шум со спектральной плотностью Фо!2. Условное отношение правдоподобия в этом случае определяется формулой (4.34). Следовательно, статистика (7) т г Л„= р 1„— ! д, (Е„,ла- — ! ~~е„,ю)а), ~о а !уо о а ее логарифм 2 т т г„=1п Л„= — Р у,з(О„, 1) б) — — )' з'(О„, 1) гЫ. (5.9) о о в~о а к, Решающее правило (5) с учетом (8) принимает вид з„~ ~Ьь При Фв неэнергетическом параметре вторым слагаемым в (9) можно пренебречь. При этом структурную схему системы совместного обнаружения и оценивания (рис.
5.1,б) можно непосредственно конкретизировать, использовав либо многоканальный коррелятор (см. рис. 4.5,а), либо многофильтровую схему (см. рнс. 4.5,б). 197 Рис 53 Структурная схема многоканальной системы обнаружения сигнала и оценивания смещения частоты Рассмотрим теперь сигнал с неизвестным смещением частоты 1 и со случайными начальной фазой «р н амплитудой ьм з (~, а, «р, 1) =аА (1) соз [2п (1'е+~) 1+«р (1) — «р) Неинформативные параметры а и «р распределены по рэлеевскому и равномерному законам соответственно, А(1) и «р(1) — детерминированные законы амплитудной и фазовой модуляции.
Применительно к такому сигналу, принимаемому на фоне белого шума, структурная схема многоканального измерителя частоты в фильтровом варианте приведена на рис. 4.11,а. Используя эту схему при конкретизации схемы на рис. 5.1,б, получаем систему совместного обнаружения и оценивания доплеровской частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой (рис. 5.3). Согласованные фильтры СФм 1'=1, ..., и«, настроенные на частоты 1«, ..., 1, перекрывают весь диапазон доплеровских частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
