Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь (768834), страница 42
Текст из файла (страница 42)
имеет порядок малости 0(Л/). Это является следствием изломанности реализации белого шума $« и наблюдаемого процесса у,. Такие реализации недифференцируемы в обычном смысле, однако их можно дифференцировать, пользуясь специальным правилом — формулой дифференцирования Ито [53, с. 30). Таким образом, переходя в соотношении (19) к пределу с учетом коэффициента (22), получаем стохастическое дифференциальное уравнение для отношения правдоподобия в форме Ито: (5.23) с(» Лг = (2/л/«) Лз зг Уг »У (чтобы отличить стохастический дифференциал Ито от обычного дифференциала используем знак «).
Однако на практике шум радиотехнических устройств является «сглаженным» (не дельта-коррелированным) процессом. В этом случае коэффициент (22) имеет порядок малости 0[(Л/)з) и в пределе дает нулевой вклад. Поэтому, отбрасывая в формуле (19) член, содержащий указанный коэффициент, переходя к пределу при Л!-»О, получаем симметризованное стохастическое дифференциальное уравнение для отношения правдоподобия б Лг = (2/Л'«) Лг з! У! б/ — П //у«) Лг зз х3! 204 которое эквивалентно уравнению т ! т а, = — (згртси — — ) 4~8 Лаосе Таким образом, отношение правдоподобия т « т а, — р ( — г,га- — !чу) .
Ло о й/а Рассмотрим теперь уравнение в форме Ито (23). Заменяя переменные гг=)пЛс и применяя формулу дифференцирования Ито, получаем (53! 2 т 1 т зт = — )' з, дегте/ — — ) (з,)'г/й й/о о й/о о Первый интеграл в этой формуле является стохастическим интегралом Ито, который подчиняется особым правилам интегрирования, не совпадающим с обычными правилами интегрирования гладких функций. Как следует из (27), отношение правдоподобия 12 т- ! т л, =.*г ! — 1 г,а'~ — 1 аа'а) . (5.28) )та о 'Ча о (5.26) Формулы (26) и (28) определяют отношение правдоподобия в задаче обнаружения произвольного стохастического сигнала в в белом шуме.
Они отличаются друг от друга вследствие использования различных форм записи стохастических интегралов: первые интегралы в формулах (26) и (28) есть симметризованный стохастический интеграл Стратоновича и стохастический интеграл Иго соответственно. Подчеркнем, что полученные формулы определяют отношение правдоподобия (и его логарифм) для любых моделей стохастического сигнала. При этом они устанавливают функциональную взаимосвязь отношения правдоподобия с оптимальными оценками 205 Лт = (2/гуа) Лт зг рг (1/Л/а) Лг ~. (5.24) Найдем решение полученного уравнения При этом учтем, что при симметрированной записи стохастических выражений с ними можно обращаться, используя обычные правила дифференцирования и интегрирования, как если бы белый шум й~ и наблюдаемый процесс ю имели гладкие реализации Поэтому, заменяя переменные а~=!п Л~ и дифференцируя по обычному правилу яЧ=Л~/Ль из уравнения (24) получаем аг= (2/Лга)АЮ вЂ (1//Уа)ааь Используя начальное условие а,=о (Л,=1), находим логарифм отношения правдоподобия в момент окончания наблюдения Т: сигнала, определяя так называемую оценочно-корреляционную обработку сигналов.
При детерминированном полезном сигнале з(8ь () =з(г) оценка сигнала равна самому сигналу: А=з(г). При этом стохастические интегралы Ито и Стратоновича совпадают, что следует из формулы их взаимосвязи (531. Поэтому в данном частном случае должны совпадать и полученные формулы, записанные в симметризованной форме и в форме Ито.
Действительно, для детерминированного сигнала (зг)'=за,=з'(г) и выражения (25), (27) одинаковы: т 1 т гт = — )' 3 (() уг й — — )' яв (() с((, йа о у, о (5.29) Эта формула совпадает с (2.43) и определяет логарифм отношения правдоподобия в задаче обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. На практике полезные сигналы недетермииированные и корреляционный обнаружитель, формирующий статистику (29), не оптимален. Для различных квазидетерминированных сигналов оптимальные обнаружители синтезированы в 9 2.5. В общем же случае, когда сигнал стохастический, оптимальным будет являться оценочно-корреляционный обнаружитель, определяемый полученными формулами. Сравнивая найденные выражения, видим, что логарифм отношения правдоподобия для общей задачи в форме Ито (27) можно получить путем формальной замены детерминированного сигнала з(() в формуле (29) оценкой к, стохастического сигнала.
При этом оценочно-корреляционный обнаружитель можно представить в виде схемы на рис. 5.6,а, где блок обнаружения формирует статистику вида (29) (с учетом замены з(г) на з~) и сравнивает ее с порогом. Рис. 6.6. Структурные схемы оптимального (а) и квааиоптимального (б) оценочно-коррелнционных обнаружнтелей 206 Рассматриваемый оценочно-корреляционный обнаружитель представляет собой систему совместного обнаружения и о»(енивания стохастичесного сигнала. Обнаружитель оптимален по критерию отношения правдоподобия ($ 2.2), а блок оценивания оптимален по критерию минимума среднего квадрата ошибки (э 4.1). Если 0=1 и обнаружитель вынес решение а»», то на выходе ключа Кл имеем оптимальную оценку сигнала Мь Оценочно-корреляционный обнаружитель можно упростить.
Для этого учтем, что в большинстве радиолокационных н радионавигационных задач оцениваемый параметр 0» сигнала е(0», 1) не- энергетический. В этих случаях члены з'» и (з»)', входящие в (25), (27), могут быть»представле»чы в виде суммы неинформативной константы и колебательных членов удвоенной частоты, дающих малый вклад. Пренебрегая указанными членами, получаем т гт ж ] з» у»»(г о (5.30) Отметим, что к такому же алгоритму можно прийти, если предположить, что сигнал достаточно слабый !53].
Таким образом, схема квазиоптимального оценочно-корреляционного обнаружителя может быть представлена согласно формуле (30) в виде рис, 5.6,б. Если сигнал детерминированный, то задача его измерения отпадает (й»=з(г)) и схема на рис. 5.6,б переходит в корреляционный обнаружитель (см. рис. 2.5,а). В таком обнаружителе в качестве опорного колебания используется сам обнаруживаемый сигнал, который заранее известен. В общем случае при обработке стохастического сигнала, не известного наблюдателю, опорным колебанием служит оценка й» вЂ” отфильтрованное от шумов значение полезного сигнала. Отметим, что опорное колебание представляет собой оценку сигнала (20) лишь при 0=1, т. е. когда на входе обиаружителя есть полезный сигнал., Если же такого сигнала нет (0=0), то опорное колебание являетгя псевдооценкой, представляющей собой шум, прошедший через блок оценивания.
Квазиоптимальный оценочно-корреляционный обнаружитель, как и оптимальный,— система совместного обнаружения и оценивания. При превышении выходным напряжением интегратора значения порога обнаружения, устанавливаемого в ПУ, на выходе ключа Кл имеем оценку полезного сигнала (если 0=!). При этом экономится общее время обработки (обнаружения — измерения).
В обычных же системах лишь после окончания обнаружения система переходит в режим измерения и формирует оценку. В оценочно-корреляционном обнаружителе удачно реализуется и режим подтверждения, когда обнаружитель не прекращает 207 работы после установления факта наличия сигнала. При этом обнаружитель работает совместно с блоком оценивания и является индикатором срыва слежения. Примеры.
Полученные алгоритмы оценочно-корреляционного обнаружения являются общими. Однако для реализации оценочно- корреляционных обнаружителей необходимо раскрыть блок формирования оптимальной оценки Уь Для этого потребуется конкретизировать модель полезного сигнала и синтезировать блок оценивания. При этом можно воспользоваться результатами по фильтрации стохастических сигналов 0 4.3). Предположим, что полезный сигнал з(Оь !)=О, — марковский гауссовский процесс, определяемый стохастическим дифференциальным уравнением (4.122). Апостернорная плотность вероятностей сигнала в рассматриваемом случае является гауссовской (4.!26), а блок формирования оптимальной оценки 01=гп~ представляет собой линейный фильтр (фильтр Калмана), описываемый уравнениями (4.127), (4,128).
Конкретизируя выражение для логарифма отношения правдоподобия в симметризованной форме (25) с учетом 4,=0ь за~=О', и того, что апостернорная дисперсия (1//и) =Оаг — лтзь получаем 1 т 1 т Ф ат — — — ) лггугп/ — — ) ~г л/ — — 3 (5.3!) Ага е й/е о йге е йг Так как апостериорная дисперсия 1/5, от случайного процесса у, не зависит (см. (4.128)), то последний интеграл в (31) является детерминированной величиной и ее, а также множитель 1/л/е из статистики яг можно исключить. В результате достаточная статистика т т ат.
2 ) юг узп/ — ) лггг(/. (5.32) е е Аналогичный внд имеет статистика оптимального обнаружения в форме Ито (27). Отметим, что в рассматриваемом случае уравнения оптимальной фильтрации в симметризованной форме (4Л27), (4.128) и в форме Ито совпадают, Структурная схема оптимального обнаружителя, формирующего статистику ме Рнс. 5.7. Структурная схема оценочно-корреляционного обнаружителя гауссовского сигнала 208 (32), показана на рис. 5.7, где Кв — квадратор (структуриая схема фильтря Калиена приведена на рис. 4.!4,б, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
