Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь (768834), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если функция потерь квадратична относительно сигнала з(Оь 1), т. е. с(0, й) =[з(0, 1) — й]з, 7)0, то оптимальные оценки сигнала й;,=М [ (О„тид,], (4.94) Качество оптимального оценивания определяется значением байесовского риска г*ы=Мс[О„б*, (у'ь)], который при квадратичной функции 'потерь (3) 177 (4.95) ценива- дратиче- у,=а(Оь 1)+$о (=1,2... (4.96) сигнала з(0„1,) и шума е,. Параметр О,=— 0(1,) представляет собой марковский процесс с дискретным временем и непрерывным " См.
комментарии к формуле (419). 178 г;,=М 10,— М(О,~ доН', т. е. совпадает со средним значением квадрата ошибки ния. Квадратный корень этой величины есть среднекв ская* ошибка оптимального оценивания: ам= Угаат. Отметим, что среднеквадратические ошибки оптим ьной интерполяции и оптимальной фильтрации удовлетворяют неравенству оы<о„, т(й Это объясняется тем, что дополни льное наблюдение реализации у'т=(уе, т(и(й) не может ух дшить качества оптимального оценивания. Оно может быть либ улучшено, либо, по крайней мере, остаться прежним. Последнее, как следует нз (95), будет в том случае, если М(От)у'о) =М(~0, у'о), т.
е. когда параметр 6, статистически не зависит от допо нительного наблюдения реализации у',. Таким образом, интерполяция позволяет повыситй качество оценивания по сравнению с фильтрацией. Покупаетс~ это ценой увеличения времени наблюдения и усложнения алгоритма обработки на~блюдаемого процесса 1531. Что касается эксТраполяции, то она применяется тогда, когда наблюдение окончейо, однако необходимо продолжать оценивание параметра О,. Тамая задача возникает, например, во вторичной обработке радиолокационной информации при определении траектории движущегося объекта (гл. 7). Центральное место в теории оценивания случайных процессов занимает задача фильтрации; на ее основе решаются также задачи интерполяции и экстраполяции.
В дальнейшем рассматривается только задача фильтрации. Для получения конкретных результатов необходимо задать вид случайного процесса Оо который может служить математической моделью изменяющегося параметра радиосигнала. Наиболее широкий и в то же время гибкий (в смысле возможности математического исследования) класс случайных процессов составляют марковские случайные процессы [22, 50, 531. Этими процессами можно с необходимой степенью точности аппроксимировать параметры реальных сигналов, используемых в радиолокации и радио.
навигации. Поэтому в дальнейшем предполагается, что оцениваемый параметр О~ является марковским случайным процессом. Общие уравнения оптимальной фильтрации. Вначале рассмотрим случай, когда в дискретные моменты времени 1, наблюдается аддитивная смесь фазов м пространством. Такой процесс описывается переходной (услов ой) плотностью вероятностей ше(91+1 ~8;) и начальной плотнос ью вероятностей ве(О~). Считаем, что шум $; является случайн м процессом с независимыми значениями, описываемыми плотйостью вероятностей ше($;).
Так кик оптимальная оценка сигнала и его параметра находится путем минимизации апостериорного риска, то для отыскания таких оценок необходимо определить прежде всего апостериорнук) плотность вероятностей параметра, которую обозначим ш (Ою !У, — У1) = — р; (ОА Е = 1, 2, .... (4.97) При квадратичной функции потерь оптимальные оценки параметра и сигнала, как следует из (93) и (94), соответственно будут д;ч=й4(Е,.!У,)= ( 9, р,(В,)дй,.=бо — ФО (4.98) д,",=М(з(Еь Ыд,)- Р з(йь(,) р,(В,.)дв,='ь где у'~= — (Уь - У) Зная апостериорную плотность р;(9;), можно определять также качество получаемых оценок, в частности среднеквадратическую ошибку фильтрации. Действительно, качество оптимальной фильтрации можно характеризовать «шириной» апостериорной плотности вероятностей, мерой которой служит апостериорпая дисперсия К,.=МЦ0,— М(Е,~У1)1'1У,) = )' (В,— Е,)'Р,(0,)дв,.
(4.99) Ю Усредняя апостериорную дисперсию, получаем (с учетом (2.4)) среднее значение квадрата ошибки оптимальной фильтрации: ИК,=М (И((В,.— 8,)'1УЗ=М(0,— Вд'. Следовательно, среднеквадратическая ошибка оптимальной фильт- рации (4 100) а" = — о~ = 3' й4 %.
Таким образом, апостериорная плотность вероятностей параметра играет важную роль в теории оптимальной фильтрации. К ее отысканию мы и перейдем. Для этого воспользуемся формулой Байеса (см. (2 8)): 179 О! , г+,,+, в(е,'+'. у',+') .Г ....Г в(е',+',у',+') пв!.„пег+! (4.[О() где 0!!+'= (ег, ..., 10!+!); у!'+' = (ут, ..., ут+,). Выразим совместную плотность вероятностей в(В,'+', у,'+'), случайного вектора (6,'+!, у,'е') через заданные распределения вероятностей параметра сигнала и шума. Учитывая (96) и то, что значения шума статистически независимы, имеем !+1 в (уг!+! [8(+ ) = Цв!(уг,— з(0», !»)). »=! Так как случайный процесс 8,(1= 1, 2, ...) марковский, то априорная плотность вероятностей вектора В '+! ., ( е,'+') = Ц „ ( е,+,[ 6») ве(е,).
»=! Поэтому совместная плотность вероятностей в ( 6[+~, у!г+ ) = в ( у!+ ) 0,'+!) щ, ( В!+!) = г+1 = Ц~»(у» — (0» 1~)) Цвв(6»+![6»)вв(0!) »=! »=! Перепишем эту формулу в виде в (О!, Уг+ ) = в! [У 1 ! з(ег+!, !г+!)) ве(В!!! [6!)Х [' ! — 1 Х ! Ц в!(у» — з(В», !»)) Цв (О»+![0») в (6!)~. !»=! »=! (4.102) Выражение, стоящее в фигурных скобках, есть совместная плотность вероятностей в(Ось уц).
Подставляя с учетом этого формулу (102) в (101), получаем (е,'+' [у,''+') = в! [у+ — з(В+,, !г+!)[в,(0,.+ [6!)в(у!!, В~!) О ) в! [у!1! — з(6!+г, Г!+!)) в (В!+! [В!) в (у1, О!) ю(6 ...4(0!1 ! — ОЭ вЂ” ОО (4.103) Учитывая, что )'... ) в(0!„у!!)!(6! .. х(0» !=в(ею, у!!), интегрируя обе 180 части равенства (!ОЗ) ио 0„ ..., ес „ находим в (0„ Ес+,~У,'+') = в» [у+, — а(0+с, С!+с)] в (8+,]6!) в(ес, ус) 00 ОО ) ва [ у +, — а ( 8с+, Сс+,)] в (О + ] 8;) в (ес, усс) с( ес с( Ес+ 00 ОО Интегрируя теперь обе части равенства по 06 учитывая соотношение ш(00 у'с) =ас(0с]усс)ш(усс) и используя обозначение (97), получаем рс+, (0,+,) = ОО в [у,.+ — а(8,.+,с,.+ )] ] сав(8,.+ ]ес)рс(ес)с(ес ОО (4.104) 8,+„— 0, а (х, !) =1йп М ьс-»а е,=х (4.107) (0,+„— ес)' Ь (х, К) =йгп М ьс о 0,= 181 ]' », ( в,[ус+,— (е,+,, !с+с)]во(ес+,[6;) рс(ес)ле,лес+, — Ф» 00 Найденное соотношение является рекуррентным, определяющим апостериорную плотность рс+с (0!+с) через апостериорную плотность рс(0с) для с=1,2, ....
При этом начальное условие имеет вид ч [у, — (Е,, С,)1 а (0,) (4.105) ва (у, — а(8с,с,Ц саз (0,)Осе, — » Рекуррентное соотношение (104) позволяет последовательно на- ходить апостернорную плотность вероятностей рс(ес) оцениваемо- го параметра 0; для любых моментов времени. Оно служит осно- вой для синтеза и анализа устройств оптимальной фильтрации сто- хастических сигналов и их параметров и называется рекуррент- ным соотношением оптимальной фильтрации.
Перейдем к случаю непрерывного времени. Наблюдаемый про- цесс ус = з (0с, г) + $с, ! =» О, (4.106) где параметр'Ос сигнала з(ес, !) — непрерывный марковский про- цесс, имеющий непрерывные с вероятностью 1 траектории. Такой случайный процесс называется диффузионным марков- ским. Его статистические свойства определяются коэффициентом переноса а(х, !) и коэффициентом диффузии Ь(х, !): (4,109) ОЬ 2 г 1 2(р,(8))= ) Мр,(8)ай= — у з(8,1)[у,— — з(8,()1 х ОО Ф е оь 2 х р, (8) Н8.
(4.111) Стохастическое уравнение (109) нелинейное интегро-дифференциальное с частными производными. Определяя апостериорную плотность вероятностей рг(~8), оно тем самым позволяет находить оптимальные (линейные и нелинейные) оценки сигнала з(81, 1) и его параметра и называется уравнением оптимальной фильтрации*. Линейная фильтрация. Рекуррентное соотношение (104) и интегро-дифференциальное уравнение (109) определяют оптимальную, в общем случае нелинейную фильтрацию. Рассмотрим важный частный случай, когда оптимальная фильтрация является линейной.
Пусть протекающий в дискретном времени наблюдаемый 'процесс имеет вид у,.=8,+В,. (4.112) * Уравнение (109) приведено в так называемой снмметрнзованной форме нли в форме Стратоиовича 1531. Существует также иная запись этого уравнения — форма Ито 1531. Некоторые пояснения к этим формам записи стохастических дифференпиальных уравнений будут даны позднее (см. й 8.2) на примере более простого уравнения.
182 Шум $г — белый гауссовский со спектральной плотностью йгз/2. Уравнение для апостериорной плотности вероятностей го(8г)уго)— = — рг(18) параметра 8с получим путем предельного перехода к не- прерывному времени в рекуррентном соотношении (104). Для этого учтем, что белому гауссовскому пгуму 41 в дискретном времени со- ответствует гауссовский процесс с независимыми значениями я'(уг) = — яг, 1=1,2, ..., с нулевым средним и дисперсией (2.42), т. е. ига(ьг) = ехр ( — ~ — ) йа ), А1 11 — 1; . (4.108) 1 /ага 2 Подставим (118) в (104) и разложим экспоненту в ряд по степе- ням М. Переходя затем к пределу при А1-+О, получаем стохасти. ческое дифференциальное уравнение для апостериорной плотно- сти вероятностей: рг (8) = (М - М (рт (8))) р, (8), где оператор Ы имеет вид Я= — — а(8, 1)+ — — Ь(8, 1)+ — з(8, 1) [у,— — з(8,1)~, д 1 да 2 г да 2 дда Фо ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
