Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь (768834), страница 33
Текст из файла (страница 33)
30) Здесь паы (1=1, ..., !) — диагональные элементы матрицы ! ', обратной информационной матрице Фишера 1, элементы которой ~ а д 1 ! да угу=м~ — 1п (р)е) — 1 (р(е)~=. — м~ )пю(р(е)1. (4.3П 1 дег ае! ! ( ае ае! Система неравенств (30) обобщает неравенство Крамера — Рао (15) на век. торный параметр. Для наиболее эффективных оценок неравенства (30) переходят в равенства. При этом если существуют такие оценки, то они являются оценками максимального правдоподобия 0,=(ень ..., 0~„).
Кроме того, при довольно общих условиях оценки (еоь ..., 0~ ) асимптотически (при увеличении объема л выборки у=уь ..., рч) наиболее эффективны. Это позволяет определить потенциальные точности измерения пе компонент векторного параметра 0 формулой тl а пв =та' и, дающей наименьшие значения среднеквадратических ошибок. (4.32) 4.2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНА- ЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА 'Применим изложенные методы к задаче оцениеания неслучайного параметра 0 сигнала з(!0, !) (з — детерминированная функция), наблюдаемого в течение времени Т на фоне белого га- 154 (4.36) !55 уооовского шума $(4) со спектральной плотностью Ма/2.
Наблюдаемый процесс у(()=з(8, ()+$((), 0-=.((Т. (4.33) В дальнейшем будут рассмотрены также задачи, когда сигнал зависит от случайных неинформативных параметров. Оценки параметров сигнала будем искать методом максимального правдоподобия. Для этого нам потребуется условное отношение правдоподобия Л(у(0).
Как следует из гл. 2, применительно к рассматриваемой задаче условное отношение правдоподобия т т ла!В)- р( — ~у(ш) а, КФ вЂ” — ~Фа, ~ю). (439 ! аоО !уо о Параметры сигнала можно разделить на энергетические, для которых равенства з(0, 4) =0 следует 0=0 и наоборот, и неэнергетические, для которых указанное условие не выполняется. Энетогетический параметр определяет энергию радиосигнала Е(0) = 1 з'(0, о Г)й. От неэнергетического параметра энергия сигнала, как правило, не зависит, и поэтому в формуле (34) второе слагаемое под знаком экспоненты при фиксированном Т является константой.
Амплитуда и длительность радиосигнала являются энергетическими параметрами, а фаза, частота и время запаздывания — неэнергетическими. Оценка амплитуды. Рассмотрим сигнал з (а, !) = аз, ((), 0 ~( ( ~ Т, (4.35) где з1 (Г) — детерминированная функция времени, а неизвестным параметром является амплитуда: 'О=а. Условное отношение правдоподобия (34) в этом случае гза т аа т л<а.>=..~ ! — у ~о>,ча- — у,'аа).
'уо о а'о о а уравнение максимального правдоподобия (25) д з т 2а — ! и Л (у ! а) = — )' у (!) з, (() Ж вЂ” — )' зз (!) й = О. да ао о Решением этого уравнения является оценка максимального правдоподобия т т а = )' у (() з, (() й )' за (1) й. (4.3?) о о Отсюда видно, что оптимальный измеритель амплитуды сигнала (35) может быть реализован с помощью коррелятора или же линейного фильтра.
при этом оо/и=(/)/2Е//о/о, где Е=а',) зоо(/)ой — энергия сигнао ла. Таким образом, относительная погрешность измерения амплитуды сигнала обратно пропорциональна отношению сигнал-шум по напряжению. Оценка неэнергетического параметра. Условное отношение правдоподобия (34) при неэнергетическом параметре орочко)- р( — — ') р( — ррррр (о, /)ор1, р"о Лро о (4.38) т где Е= ( зо(0, ()сй — энергия сигнала.
Первый блок оптимальноо 156 Вычислив математическое ожидание оценки с учетом (2,34) т ( т Мо. = Щ й-о Я+ ~(()) зо'.(() й( Роо(() й(= о, о о видим, что оценка амплитуды является несмещенной. Дисперсия оценки 0а„= М(а„— Ма„)о= М(аи — а)'= М(а„,)о — а'= т чо тт ~ за(о)ой М )' )' уй) у((") з,(й)з,(г") ой'вайо — ао. о о о Подставляя сюда выражение (ЗЗ) с учетом (35), используя соот.
ношение (2.34) и фильтрующее свойство дельта-функции, находим т и =й/,/2~ т(()М. о Вычислим теперь границу Крамера — Рао. Подставляя (36) в (23), получаем до Г оа ..= — )и —,( — рррр,ррррр- — рЧрррор)) .оа Лро о т = Л~о/2 (' з', (г) ой. о В результате оказалось, что 0й =оо,, т. е. оценка амплитуды (37) является наиболее эффективной. Потенциальная точность измерения амплитуды т оа = ~/ й/о/2,~ зр (() гйр о го измерителя (см. рис. 4.1,б) формирует корреляционный интеграл т г(81=)" у(1)з(0, 1)с(1, о (4.39) Первое слагаемое зависит от рассогласования по измеряемому параметру опорного сигнала з(О, 1) коррелятора и принимаемого сигнала з(Оо, 1).
Поэтому интеграл т (0„0) = У е (О„, 1) з (О, 1) д( о (4.41) называют функцией рассогласования сигнала по паралоетру 8. Если оценивается время запаздывания сигнала т (т. е. О=т), то (41) переходит в автокорреляционную функцию сигнала. Введем также нормированную функцию рассогласования: т р(0„0) =)' з(0„1)з(0, 1) М~Е. (4.42) о Сигнал на выходе коррелятора и функция (42) будут максимальными при отсутствии рассогласования, т. е. при О=Оо, при р(0, 0 )=1. Построить одноканальный корреляционный измеритель в принципе возможно, но практически неудобно, так как требуются запоминание (запись) принимаемой реализации (у(1), 0~7(Т) и ее перемножение на опорное колебание з(0, 1) последовательно для разных значений О, перекрывающих область 6; результаты перемножений интегрируются в течение времени Т, и затем отыскивается максимальное значение г(О„).
Такая процедура требует больших затрат времени. От этого недостатка свободен многоканальный измеритель (см. рис. 4.2), схема которого для рассматривае- 157 а второй блок отыскивает в области 6 его максимальное значение г(0,), тем самым определяя оценку максимального правдоподобия 8,. Уравнение (25) в рассматриваемом случае имеет вид дг(0)/д8=0. На вход измерителя поступает процесс у(1) = з(8„1)+$(1), (4.40) где 8о — истинное значение оцениваемого параметра.
На выходе коррелятора согласно (39) н (40) имеем т т г(8) =. )' з(О,, 1) з(0, 1) Ш+)'з(1)з(0, Ю) о(1. о о б) Рнс, 4.о. Структурные схемы корреляционного (а) и фильтрового (б) многоканальных измерителей (4.43) Опорные сигналы з(Оь 1) (1=1... и), подаваемые на умпожители, должны перекрывать весь диапазон возможных значений параметра 9. Число каналов и выбирают из тех же соображений, что и в общей схеме на рис. 4.2.
Многоканальный измеритель можно реализовать и в фильтровом варианте (рис. 4.5,б). В этом случае корреляторы заменяются согласованными фильтрами. Импульсная характеристика согласованного фильтра в 1-м канале, как следует из (43), согласована с формой сигнала, являясь ее зеркальным отображением Ьг(1) =з(Оь Т вЂ” 1). Конкретизируем теперь общую схему дискриминатора (рис. 4.3,б) для рассматриваемой задачи.
Заменив производную д 2 д т — 1и Л(У19)1е=о,„= — — )'У(1)з(9, 1) гЩо=вои 1че дв о конечной разностью и опустив весовой коэффициент, представим дискриминатор в виде двухканального коррелятора с расстроенными на ЛО каналами, выходы которых присоединены к схеме вычитания (рис. 4.6). Подав выходной сигнал дискриминатора на цепи сглаживания и управления и замкнув обратную связь, получим следящий измеритель. Например, следящий измеритель времени запаздывания сигнала (9=т) можно представить в виде схемы на рис. 4.7.
Оценка 1зв мого случая показана на рис. 4.5,а. Каждый канал формирует соответствующее значение корреляционного интеграла т г(О;) = (' у(1)з(9;, 1), 1 =1,..., и. о г(г --' г) Рнс. 46. Структурная Рнс. 4.7. Структурная схема следящего нзмернсхема днскрнмннатора тела времени запаздывания сигнала времени задержки снимается в виде напряжения с выхода цепи сглаживания, в качестве которой может быть использована, напри. мер, интегрирующая цепь.
На схему регулируемой задержки поступает опорный импульс, который запускает генератор селекторного (следящего) импульса. На умножители подаются два селекторных импульса, задержанных относительно друг друга на Лт. Напряжение на выходе схемы вычитания пропорционально временному рассогласованию (тп — т,„) принимаемого сигнала з(( — то) и селектор. ных импульсов. Управляющее напряжение, снимаемое с цепи сгла.
живания, изменяет положение селекторных импульсов так, что временное рассогласование уменьшается. При изменении задержки сигнала тз, т. е. при изменении дальности до цели, временное положение селекторных импульсов соответственно меняется, в результате происходит автоматическое сопровождение цели по дальности.
Определим теперь потенциальную точность измерения параметра. Согласно (24), ~(38) имеем Г 2 дз оп = — 1 1 — М вЂ” )" р(() з(О, () с(г)з=в,. ! лГз ддз о Подставляя в зто соотношение наблюдаемую величину (40), учитывая равенство МК(1) =0 и (41), получаем оке= 2 дз = — 1 / — —, т(О„О))в=в,. Заменив т(Оз, О) нормированной е функцией рассогласования (42), имеем l 2л дз о, '= — 1 у — —, р (О„О) (а=а,.
Фз Таким образом, потенциальная точность ~измерения параметра оа 1! 'ф/ 2Е д р (О, О)(в (4.44) ага 159 Рис. 4.8. Структурная схема многое канального корреляционного измери- теля фазы радиосигнала Как видим, среднеквадратическая ошибка обратно пропорциональна отношению сигнал-шум и зависит от кривизны нормированной функции рассогласования в ее максимуме. В качестве примера рассмотрим радиоимпульс з(ф, /)= =А(/)соз[гоог+зР(1) — ф), 0(1(Т, с неизвестной начальной фазой ф, где А(/), зр(/) — законы амплитудной и фазовой модуляции соответственно, являющиеся детерминированными функциями; гоев известная частота. Конкретизация общей схемы многоканального корреляционного измерителя (см. рис. 4.5,а) приводит к схеме на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
