Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь (768834), страница 38
Текст из файла (страница 38)
2 (4.110) / О', '! дев (8,) = ехр ~ — — ' о 1/2а 2од! / (4.114) Предполагается также, что шум $! гауссовский: пью!)= ехр — — ', д=1,2,... ад о, 1/2а '! 2одо/ (4.115) Так как сигнал и шум гауссовские и аддитивные, то наблюдаемый процесс (112) тоже гауссовский. Кроме того, с помощью формулы Байеса можно убедиться, что апостериорная плотность верояг. ностей рд(8!) также является гауссовской. Поэтому ее можно записать в виде Р! (Од) =- )/ 2 ехр ~ 2 (Од (4.118) Апостериорное среднее т! и апостериорная дисперсия 1//д» полностью определяют апостериорную плотность вероятностей рд(8!).
Параметры т! и Ь! определим исходя из рекуррентного соотношения оптимальной фильтрации (104). Для этого согласно (96) н (112) нужно в нем положить з(6ь !!)=8; и затем подставить (~113), (115), а также рд+д(Од+!) и р;(6;) в форме (118). Конкретизировав таким образом рекуррентное соотношение (!04), проинтегрируем по 8ь используя для этого интеграл О /а (а ехр ( — ахд + бх) д(х = ~// — ехр ~ — ) а 4а/ Затем, приравняв соответствующие члены, стоящие в разных частях полученного равенства, найдем рекуррентные алгоритмы для параметров апостериорной плотности вероятностей: (4.117) (4.118) тдч.д = сдд уд.~д+сд! т!.
/д а! +, д=1,2,..., од а Ьд о~! ( ! — р') + р' (зз При этом полезный сигнал 6! является марковским гауссовским процессом, для которого переходная плотность вероятностей доз (8!+!)8!) ехр 1 — ', (4.113) од 1/2а(1 — р ) 1 2 о~!(! — рд) где р=ехр( — у(ддд!); М=(д+!-~(ь д=1,2, ....
Здесь р — коэффициент корреляции", 1/у — интервал корреляции сигнала Оь Начальная плотность вероятностей где Ь»о~»(! — р )+р ь» оор л» о» (1 — р') + рв -(- Ь» о~ ~Ь» ов (1 — ре) + ре + Ь» о~ Начальное условие получаем из (105) и (114) оо» ут т,=,, а„= — + —, (4.120) но+ о» о» оо Апостериорное среднее и»», как следует из (116) и (98), совпадает с оптимальной оценкой сигнала: лт»=~0».
Таким образом, рекуррентные соотношения (117), (118) вместе с формулами (119), (120) позволяют последовательно находить оптимальную оценку сигнала. Весовые коэффициенты сы и ссь вычисляемые по формулам (119) и (118)„от на~блюдаемого процесса у» не зависят. Рекуррентные соотношения (117) и (118) определяют оптимальный линейный фильтр с переменными параметрами (рис.
4.14,а), который является одномерным вариантом дискретного фильтра Кал» лана. Рекуррентное соотношение (118), определяющее весовые коэффициенты фильтра Калмана, позволяет также рассчитать качест» с, б) а) à — — — — —— ~ффп»фуппгпп фппппф о» г) Рис. 4.14. Структурные схемы дискретного (а) и непрерывного (б — г) фильтров Калиена 184 (4.122) (4.126) во его работы. Действительно, так как апостериорная дисперсия Кс=1/йс от наблюдаемого процесса ус не зависит (см. (118)), то МКс=Кс=1/йс и в силу соотношения (~100) среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации о, =.!/у'й,. (4.121) Рассмотрим теперь случай, когда наблюдаемый процесс протекает в непрерывном времени: ус=~Ос+чс, где зс — белый гауссовский шум со спектральной плотностью Мз/2, а сигнал Ос является непрерывным марковским гауссовским процессом, определяемым стохастическим дифференциальным уравнением Ос = — 70с+с с где ~с — дельта-коррелированный гауссовский процесс: Мьс= 0, Мьс ьс+,=(сс~2) б (т).
(4.123) Процесс Ос принадлежит к классу диффузионных марковских процессов. При этом, как следует из (107) и (122), (123), его коэффициенты переноса и диффузии а (О, 1) = — 70, Ь (О, /) = сс'2. (4. 124) Используя эти коэффициенты и учитывая, что з(0с, /)='Ос, конкретизируем оператор (110): д сс дс 2 С 1 я= 7 — О+ — — + — О ~у,— — О~ .
(4.125) дв 4 дОс су, ~ 2 Апостериорная плотность вероятностей рс(8) по тем же причинам, что и в случае дискретного времени, является гауссовской: Рс(8)= 1/ 2 ехр~ — 2 (Π— спс) 1' Подставив (125) и (126) в уравнение оптимальной фильтрации (109), выполним в нем операции дифференцирования. Приравнивая затем члены при одинаковых степенях 0 и Ос, получаем дифференциальные уравнения для параметров апостериорной плотности вероятностей: (4.127) Х>ас / усьс й,= — 27о', йс+27йс+— (4.128) с1со где осс=сс/47 — дисперсия сигнала 8с. Апостериорное среднее лсс совпадает с оптимальной оценкой Ос (как и при дискретном времени).
При этом линейное дифференциальное уравнение (127) с85 вместе с уравнением (~128) определяет структурную схему (рис. 4.14,б) оптимального линейного фильтра, являющегося одномерным вариантом непрерывного фильтра Калмана. В полученной схеме имеются усилители с переменными коэффициентами усиле- ния 2 / 2 с„= —, с„= — [у+ — 1 /[/о "С ~ /Ро ЬС / (4.129) причем функция Ь» является решением обыкновенного дифференциального уравнения (128): [1-»оеар(-2 с» СН 1 а, + 2тос [1+»оехР( — 2»»С)1 2ос где ч / 4тОС» г»+т — 2 тОС»ао го= зт/ Ус+ —; го= но с,— т+2тос~ао а Ьо — начальное условие для уравнения (128). В стационарном режиме, когда Ь»=0, функция Ьс обращается в постоянную: Ь= — 1+ ~~ 1+ — . 1 ~ .
/ 4оР»3 (4.130) н„~ При этом коэффициенты усиления ('129) также становятся постоянными. Техническая реализация фильтра Калмана в этом случае существенно упрощается. Структурную схему фильтра Калмана можно представить в по-иному (рис. 4.14,в). Чтобы убедиться в этом, достаточно переписать уравнение (127) в виде 2 тс = г то+ (ус тс). »'о'о /»» При таком представлении непосредственно видно, что фильтр Калмана включает в себя формирующий фильтр (на рис. 4.14,в обведен штриховой линией), структурная схема которого описыва ° ется уравнением (122), т. е.
определяется априорными сведениями о фильтруемом процессе 6». Отметим, что [фильтр Калмана можно также представить в виде схемы разомкнутого типа, использовав ссС-цепь. Действительно, напряжение то снимаемое с емкости при подаче на /хС- цепь напряжения у», определяется уравнением тс= — атс+аус а=1/ЙС. Сравнивая это уравнение с уравнением фильтра Калмана (127), видим, что его структурную схему можно представить в виде 186 рис.
4.14,г. В стационарном режиме коэффициент усиления К= =2/(2+уй/э/с) и параметр стС-цепи а=у+(2/Же/с) являются постоянными величинами. Среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации определяется аналогично (121): ос='1/ )с /сс. В стационарном режиме эта ошибка равна постоянной величине о = 1/ )/ /с = ')с 2 о, / $ 1+ 1с 1 + 4 с/, (4.131) р, (8) ж )с' ~ ' ехр ~ — ~Я (8 — тс)~~ (4.132) Уравнения для параметров тс и /сс получим с помощью уравнения оптимальной фильтрации (109). Для этого подставим (132) в (109), причем функции е(6, 1), а(~0, 1), Ь(6, /) разложим в ряды Тейлора в окрестности тс. В соответствии с гауссовским приближением в разложении функции з(6, /) ограничимся членами, степень которых ие выше (6 — тс)с, в разложении а(О, 1) — не выше (Π— тс), а в разложении Ь(В, /) — первым членом, не содержащим О.
Приравнивая затем члены при одинаковых степенях (6— — псс), получаем тс = а (спс 1)+ — (У, — з (тс 101 е' (тс г) ° счс /сс (4.133) !Вт где параметр с/=асс/сс/эу имеет смысл отношения сигнал-шум по мощности. Как видим, среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации стохастического сигнала Ос растет с увеличением его дисперсии о'с и уменьшается с ростом отношения сигнал-шум с/. Нелинейная фильтрация. Как уже отмечалось, в общем случае оптимальная фильтрация является нелинейной.
При этом для получения технически реализуемых алгоритмов приходится прибегать к приближенным методам конкретизации общих уравнений оптимальной фильтрации. Рассмотрим один из них — лсетод гауссовского приближения. Пусть наблюдаемый процесс имеет вид (100), где диффузионный марковский параметр О, сигнала з(Ос, /) может иметь как гауссовское, так и негауссовское распределение вероятностей. Показано, что при условии большой апостериорной точности (48, 53], которое выполняется, в частности, при достаточно большом отношении сигнал-шум, апостериорная плотность вероятностей рс(8) не сильно отличается от гауссовской. Поэтому при выполнении условия большой апостериорной точности согласно методу гауссовского приближения используют гауссовскую аппроксимацию Ь,= — Ь(то ~)(п — 2Н, а'(гпо 1) — — (у,— з(тп ()) з'(то 1)+ з 2 )чю + — (з' (га„~)Р, (4.134) з(о где дз(0, 0 ~, ( д~з(0,!) 1 =т1 1=с а'(т„() = да(0, ().
д0 Если сделать замену переменных, перейдя к апостериорной дис. персии Кс — — 1/Ьь то вместо (133) и (134) будем иметь т,=а(ш„()+ ~' [ус — з(ть ()) з'(т () (4.135) а~в 2 К~~ К, = Ь (то 1)+ 2 К, а' (то 1) + — ((у, — з (тп 1)) з" (то 8)— е — [з' (т 1))з).
(4.136) При выполнении условия большой апостериорной точности апостериорное среднее приближенно равняется оптимальной оценке параметра: т~=йь Таким образом, уравнения ~(133), (134) или эквивалентные им (135), (136) определяют квазиоптимальиые алгоритмы нелинейной фильтрации параметра 6~ сигнала з(60 1), наблюдаемого на фоне белого шума. Отметим, что при увеличении отношения сигнал-шум (д — ~-оо) эти алгоритмы являются асимптотически оптимальными [531. Конкретизируя форму сигнала з и вид параметра 00 можно с помощью уравнений (133) — (136) синтезировать устройства квазиоптимальной фильтрации стохастических сигналов и их параметров.
Уравнение (136), необходимое для синтеза алгоритмов фильтрации, определяет также и их анализ. Действительно, качество фильтрации, как уже отмечалось, характеризуется апостериорной дисперсией Кб последняя же в гауссовском приближении определяется уравнением '(136). При этом среднеквадратическая ошибка ~фильтрации о,ж ~МКо (4.137) В отличие от подобной формулы (100), равенство в (137) приближенное вследствие того, что рассматриваемая задача фильтрация решалась в гауссовском приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
