Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 91
Текст из файла (страница 91)
19' 5ао ч. уе дВижВние искусстВенных спутникоВ земли 14 зл1 Первые интегралы задачи Гарфинкеля имеют вид 1 — (г'+ г'ф'+ гэ соз' ~рА') — у = а„ 2рг + 2а,гт — гзгз = аз, гз созе ~Р2, = аз, где ан ам аз — произвольные постоянные. Формулы, описывающие промежуточное движение, приводятся в работе Б. Гарфинкеля 125]. 3.
Задача К; Аксиеса. К. Акснес строит свою промежуточную орбиту на основе промежуточного потенциала у, определяемого формулой (6.3.10) г 1 Вгр~2 2) Формула для возмущающей функции 1Т в этом случае имеет вид к=1пьГ,( — ') (2а з(п'ф — — )( — — — ). (6.3.1 1) Отсюда и следует интегрируемость рассмотренных задач, ибо эта форма, как известно, позволяет проинтегрировать соответствующее уравнение Гамильтона — Якоби методом разделения Функция У, таким образом„мало отличается от У, если эксцентриситет орбиты спутника является малой величиной.
Как и в задаче Гарфинкеля, она выбрана так, чтобы промежуточная орбита учитывала вековые возмущения первого порядка относительно 7ь Общее решение уравнений промежуточного движения в этом случае также может быть найдено методом Гамильтона— Якоби. Оно получено в работе ]26]. Приведем здесь первые интегралы задачи Акснеса. Они таковы: 1т .з 21ы 6~ — + г' — — + — =0 Г.2 г г' ° 0~ — г (соз~ф2,~+ ф') О~ — Хзфи)'гз(3 з(п <р — 1) =О, г'соз'~р2, = и.
Здесь Ь, сг, Π— канонические постоянные Делоне. 4. Замечания. Предложенные Т. Штерном, Б. Гарфинкелем и К, Акснесом промежуточные потенциалы по своей структуре имеют много общего друг с другом. Все три потенциала можно записать в такой общей форме: 'у =г" (г)+ — ~. (6.3.12) $ 2.021 ГЛ 3 ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ 68! переменных [27) '). Далее, все промежуточные потенциалы обладают тем важным свойством, что они дают возможность построить промежуточные орбиты, учитывающие важнейшие неравенства в движении спутника, а именно, вековые возмущения первого порядка относительно сжатия Земли.
К настоящему времени наиболее полно разработана промежуточная орбита Акснеса. На ее основе была развита теория, учитывающая вторую, третью и четвертую зональные гармоники геопотенциала. Эта теория дает вековые возмущения до третьего и периодические до второго порядка относительно 72 включительно. Недостатки всех промежуточных потенциалов заключаются в следующем. Все они зависят не только От характеристик гравитационного поля Земли, но и от элементов орбиты (большая полуось, эксцентриситет, наклон) спутника.
Поэтому точность аппроксимации для разных орбит будет разной. Во всех случаях возмущающая функция содержит коротко-периодические члены первого порядка относительно Хг. Следовательно, промежуточные орбиты не учитывают этих возмущений, и их нужно определять методами теории возмущений. 5 З.С2. Задачи Варрара, Винти и Кислика В этом параграфе будет рассмотрен другой тип аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли. Эти выражения были предложены Р. Варраром [291 Дж.
Винти [ЗО) и М. Д, Кисликом [311 Все они обладают двумя важнейшими свойствами. Во-первых, они отличаются от потенциала реальной Земли членами порядка выше первого относительно сжатия. Во-вторых, дифференциальные уравнения движения в гравитационном поле, определяемом аппроксимирующими потенциалами, строго интегрируются в квадратурах. В отличие от промежуточных потенциалов, рассмотренных в предыдущих параграфах, они зависят только от постоянных гравитационного поля Земли, и не зависят от элементов орбиты спутника. Возмущающая функция в этом случае не содержит второй зональной гармоники. Если отбросить тессеральные и секториальные гармоники, то потенциал притяжения Земли можно записать в виде ч О= — (! — л /,( ) Р„Ь) Н~, (63АЗ) и г где Є— полипом Лежандра и-го порядка.
*) К сожалению, задача не интегрируется, если во втором слагаемом (6,3 12) показатель у г будет равен 3, а не 2. В атом случае формула (6,3.12) содержала бы как частнмй случай формулу (6.3.01). аале ч„уе движение искусстВенных спутникОВ земли я ХОВ 1. Задача Баррара. Задача Р. Баррара заключается в изучении движения спутника в гравитационном пале с потенциалом (6.3.14) где р = ч/х' + у' -1- (е — б)з.
Предполагая, что б — малая величина, разложим У' в ряд по степеням б. Тогда 11 = — ~ 1 — —, Рт(ебп ф) ~ + 0 (б~) (6.3.15) где г = ч/х'+ у' -1- г', з = г В1п 1р, а 0(бз) — некоторая функция, имеющая третий порядок малости относительно б. Выберем б так, чтобы б=, т/~,. (6.3.16) Тогда первые два члена формулы (6.3.15) будут соответственно равны первым двум членам формулы (6.3.13).
Если через )т обозначить возмуща1ощую функцию Я=У вЂ” У, то из (6.3.13) и (6.3.15) находим Й вЂ” — — ~ Х„( — ) Р„(юп1р) — 0(Ь). (6.3.17) и 3 Таким образом, функция у' отличается от (/ членами порядка ать и, следовательно, дает достаточно хорошее приближение к потенциалу притяжения Земли. Чтобы проинтегрировать дифференциальные уравнения движения в силовом поле с потенциалом У, введем сферические координаты р, ф, 1 по формулам х = р сов ф соз А, у=рсозфз(пй„ г=б+ рз1пф, так что / т+йб ф 1 бг е 1я ф=(иф+ — весф Тогда ~~и 11ве мп ф (6.3.18) гл. х твогия пяомежхточиых огвнт исз баз Сопоставление формул (6.338) и (6.3.12) показывает, что соответствующее уравнение Гамильтона — Якоби должно ин.
тегрироваться методом разделения переменных. Первые интегралы задачи Баррара можно записать в виде р~Х =со рз-(- тф'-)- ~)'соз'ф=2р-(- „ рю (фз -(- Х' соз' ф) + 2~тб з 1п ф = сз. Формулы, описывающие промежуточную орбиту Р. Баррара, получены в уже указанной работе (29). Они приводятся также в книге [27). 2. Задача Винти и Кислина. Дж.
Винти н М. Д. Кислик предложили новые аппроксимирующие выражения для потенциала притяжения Земли. Эти выражения, в сущности совпадающие друг с другом, можно представить следующей формулой: г зл !'= —,(!.!-Е ! — !!" /;( — ) Р ь! ~!~. (Бз.!9! !!= ! Сравнивая формулу (6.3.19) с (6.3.13), мы видим, что первые два члена в разложении У в точности совпадают с первыми двумя членами в разложении (!'.
Если обозначить через г1 возмущающую функцию, то О )т= — ~ 1ь ( — ") Рь(з(п!р), ь з (6.3.20) где !ы»- ! = уь!+! !в!= Ьэ!+( 1) М. (6.3.21) х =.1/($'+ с') (1 — !1т) соз н!, у= „/(аз+ сэ)(1 — !1т) з!пи!, г=$п. (6.3.22) Поскольку коэффициенты Хь имеют второй порядок малости относительно Ум то из формул (6.3.20) и (6.3.21) видно, что возмущающая функция содержит лишь члены второго порядка.
В этом отношении формула (6.3.19), несомненно, имеет явное преимущество по сравнению с формулой (6.3.14). Дифференциальные уравнения задачи Винти и Кислина могут быть проинтегрированы в сфероидальных координатах $, т1, и!, связанных с х, у, г равенствами хм ч. Уе дВижение искусстВенных спутникоВ земли ф 2.22 Первые интегралы задачи записываются в следующем виде: (ко з/Ф (1) и ~ч з/Р (ч) 1 22 (В2 + с') (1 — 2)2) — „= а„ В2 (6.3.23) где 1 = Е2+ стт)2 Ф ($) = (ВО+ сз) (2а, В2 + 2)те — а2) + сзаз Р (2)) = (1 — 212) (2а,с22)2+ а'-) — а'„ гО '2~12 е (6.3.24) й 3.03. Обобщенная задача двух неподвижных центров В .!961 г. Е.
П. Аксенов, Е, А. Гребеников, В. Г. Демин предложили для построения теории движения ИСЗ использовать обобщенную задачу двух нелодвижных центров [36], [36). Задача эта заключается в исследовании движения спутника и гравитационном поле, потенциал которого дается формулой (6.3.26) Здесь [ и оз — постоянная притяжения и масса Земли, 1= = /:Т, 22 = х2+ у2+ [г — с (а + 2Н2, 1 г,'=х'+у'+[а — с(а — 1))2, ~ (6,3.26) а с и о — некоторые вещественные постоянные. а аь ам аз — канонические лосгоннные Якоби. 3.
Замечания. Хотя задача Баррара и представляет интерес и могла бы найти приложения при изучении движения далеких спутников, нужно все же подчеркнуть особую важность задачи Винти и Кислнка. Здесь мы имеем интегрируемую динамическую проблему, которая имеет важнейшие приложения в современной небесной механике, как в теории движения ИСЗ, так и в теории движения естественных спутников планет. Промежуточная орбита, основанная на задаче Винти и Кислика, исследовалась не только авторами, но и многими другими. Рабочие формулы для вычисления промежуточной орбиты были получены Дж.
Винти [ЗО], [32), М. Д. Кисликом [31), [33] и И. Ижаком [34]. гл. з. теоРня пРОмежутОчных ОРБит исз ззз % ззз! Предполагая, что с и О малы, разложим )Р' в ряд по полиномам Лежандра. Тогда получим Г= — !! — ~7'( — ') Р Р~~Ы), ~6327) 2 2 где коэффициенты Х'„даются равенством ~2 — 2 (,) (( +ш)(о+2) +(1 — 2О)(п — 1)"). (6.3.28) Тогда (6.3,29) Подставляя в (6.3.29) вместо гм Х2 н Хз их числовые значения из $1.02, найдем с = 209,729 км, О = — 0,035647. (6.3.30) При этих значениях для гм с и а нз формулы (6.3.28) получаем Х(= 1,!66. 10, Хз = — 0,006 10 При этом Х'„для й ) 6 будут меньше 10-', Таким образом, хотя Х,' и Х2 не равны друг другу, однако их разность меньше, чем Хо Вследствие малости отношения с/гз постоянные Х' убывают с возрастанием й быстрее, чем Хь. Поэтому разность функций (Х и ят будет содержать члены, порядок которых 10 2 и выше. Пусть ХХ йт" где !Х дается формулой (6.3.01), есть возмущающая функция.
Тогда )т= ~ ~ Х„( — ') Р„(з!П~р), (6,3.3 1) где (6.3.32) Отсюда, в частности, следует, что при вещественных с и О для любого целого й коэффициенты Х' являются величинами действительными. Выберем теперь с и а из условий 2 М 2 3' з з.оз, ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРВИТ ИСЗ 567 Полный интеграл уравнения (6.3.36) находится методом разделения переменных и дается формулой (6.3.37) где Ф(5) =($2+ сз) (2а,$2+ 2('те — аз) + сзаз г" (Ч) = (1 — 212) (2а2с'21' — 2(тсаЧ + аз) — аз, ! (6.3.38) а ап аз, аз — произвольные постоянные Якоби. Йз (6.3.37) нетрудно найти три первых интеграла задачи Вз 1 ' и а (аз ВВ «ч /Р (ч) (1 — 212)(зз+ сз) " = а,.
Введем новую независимую переменную т согласно уравнению 2(1 = 12(т. (6.3.40) Тогда из равенств (6.3.39) находим 1 2(Ч з/Ф (з) ч/Р (ч) З2 + сзЧ2 ' 1 (42 -(- с') (1 — ч') (6.3.41) где с2, сз, сз — постоянные интегрирования. Таким образом, задача свелась к обращению квадратур. После того, как из первых двух равенств (6.3.41) найдем в и ч как явные функции т, третье равенство (6.3.41) даст и2 как функцию т, а уравнение (6.3.40) позволит связать т с временем 1.
3 а м е чан и я. Функция (12' содержит два параметра с и а„ которые мы выбрали так, чтобы вторая и третья гармоники в разложении потенциала 21 совпадали с тиковыми в разложении (22. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. Пусть а = О, с Ф О. Тогда формулы (6.3.28) и (6.3.29) дают 1;„„= О, 1,'.„=( — 1)" ( —;)', с =, Ъ/1, и, следовательно, формула (6.3.27) совпадает с формулой Винти и Кислика. Пусть а = О, с ~ О. Тогда, если ввести 2=~/Р— 2 2 '; разложить (22 в рнд по степеням с и сохранить члены до сз включительно, то получим формулу Баррара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
