Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Это уравнение имеет вид «34) ~ + — ~ — Р(и, о, св), (5.2.57) Ч/Ав+О,ЗАв+о до Ч/А, +О,ЗАв — Ч до А,(и)= 4 вп'2и+«йсв+ ~ ' ~~ 1с(22и+ + 2«с (лвс + си,) с(2 и + а, Ав(о)= — "з(п 2о — ~йсв+" ' ' ]соз2о+ + 2~с (лвс — лв~) сое о — а, Ав(и, о)= "' ' ' (с(2исозЗо — с(23исозо), Р(и, о, ~р)=2пс'(с(22и — сое2о)— е'с'(а, — а,) (вь и сов Зо — 3 вЬ Зи сов о) "х;т О.м, -~. т оссв (а~ — ас) (МВ о сЬ Зо — 3 в~о Зо сЬ и) + "чт~-.м,— —, (5.2.58) св — произвольная постоянная. Кроме того, интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби (5.2.56) сводится к нахождению одного первого интеграла обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка «341 2(А,(и)+ А,(о)+ Ав(и, о)) —, + +И'+(~".)'ИЪ+ 1-[ +(~".)'ИФ+Ф1+ + 2лсв(с(22и — сов 2о)«1 + ( — „") ~ «А, (и)+Ав(и)+Ав (и, о)!'=О. (5,2.59) Вопросы интегрируемасти уравнений ограниченной круговой задачи трех тел рассматриваются в части Х.
Е 2.221 ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 347 Глава 3 ДРУГИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В целом ряде практических задач астрономяи и динамики космического полета вместо рассмотрения задачи трех тел в строгой постановке вполне достаточно исходить из различных упрощенных ее вариантов, так называемых ограниченных задач, В этой главе излагаются ограниченные задачи, нашедшие наиболее широкие приложения на практике. $3.01. Общий случай ограниченной задачи трех тел Ограниченная задача трех тел — это задача о движении материальной точки Р с нулевой массой, притягиваемой по закону Ньютона двумя другими материальными точками Рв и Рь имеющими отличные от нуля массы 1 — р и р и движущимися по кеплеровским орбитам вокруг общего центра масс.
Ограниченная круговая задача трех тел является частным случаем этой задачи. Дифференциальные уравнения движения задачи могут быть написаны в различных видах, однако наиболее удобная форма уравнений была дана Нехвилом 123] и Н. Ф. Рейн 1241 Пусть Охуг — барицентрическая прямоугольная неравномерновращающаяся система координат, плоскость Оху которой совпадает с плоскостью орбит конечных масс, а направление оси Ох совпадает с направлением РвРь Дифференциальные уравнения движения точки Р имеют вид 1231 1 дУ двх ду — — 2 — = дев до 1+е сов о дх 1 дУ вЂ” +2 — = дву дх дев (5.3.01) !+есово ду ' 1 д0 1+е сов о дг 9 хп! ГЛ. Х ДРУГИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 949 где о — истинная аномалия одной из возмущающих масс, а функция О выражается соотношением О = + — + — (хе+ уе) — — егесозо, ! — р р ! ! р1 ре 2 2 р', = (х + р)' + у'+ г', р,'=(х — 1+ р) + у + ге.
(5.3.02) (5.3.03) Переход от истинной аномалии о к времени ! осуществляется с помощью равенства ее (! +е еое и)4 (5.3.04) у4= —. Е4=0. ч/з 2 ! — 2р х,= —. 2 (5.3.05) В зависимости от значения эксцентриситета е можно различать три частных случая ограниченной задачи трех тел: ограниченная эллиптическая задача (О ( е ( 1), ограниченная параболическая задача (е = !), ограниченная гиперболическая задача (е > 1). Некоторые варианты ограниченной задачи трех тел, когда все массы отличны от нуля, рассмотрены в работе Н.
Д. Моисеева (25). $3.02. Задача двух неподвижных центров Задача двух неподвижных центров — это задача о движении материальной точки Р с нулевой массой в ньютоновском поле притяжения, создаваемом двумя неподвижными в абсолютной системе кооодинат Оет!ь притягивающими центрами Р, и Р4 с массами нее и п44 соответственно. Если началом координат О выбрана середина отрезка РРР, = 2с и ось ОЬ направлена по прямой Рерь то уравнения е, Р— соответственно эксцентриситет и параметр конического сечения.
Системы единиц выбраны следующим образом: РРР1 = 1, сумма масс возмущающих тел равна единице„постоянная тяготения ! = 1. Уравнения (5.3.01) имеют гомографические лагранжевы частные решения, рассмотренные в 9 1.02. В выбранной системе координат гомографические решения изображаются неподвижными точками. Например, точка либрации ~4 имеет координаты ч. ч. 3АдАчА ТРех тел [% ЗЛ2 650 движения точки Р имеют вид д2Е дУ дЗЧ дУ д2й дУ дЕ' дт ' Н2 дп' НП дг' (5.3.06) где ",=и+ ч'+к+ Ф 1 22 = а2+ т!2+ (ь — с)2 (5.3:07) (5.3,08) й = сА12, 21 = с Ь~(А2 — 1) (1 — !22) з(п в, ь = с 1/(1.2 — 1) (1 — р2) соз ш (5.3.09) и ввести новую независимую переменную (26) т; (5.3.10) то система (5.3.06) приводится к уравнениям (5.3.1 1) где С2 Р, (Л) =С,1.4+ 1(ч'2+ '1 Хз+ (5.3.12) Р( ) С 2 ( !(то — «2ю1 „з 1(ч2„— л2 ) С~З + (С2+ С,) !22, !А С,.
Интегрирование уравнений (5.3.11) дает общее решение задачи двух неподвижных центров, зависящее от шести произвольных Задача двух неподвижных центров относится к интегрируемым задачам небесной механики. Если перейти от координат $, ть 4 к эллипсоидальным координатам 1„р, ш с помощью соотноше- ний (26) Э ЗЛЗ1 ГЛ, 3. ДРУГИЕ ОГРАНИЧГННЫЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 551 постоянных С1, См Сз, Си См Сэ Качественному анализу задачи двух неподвижных центров посвящено много работ [4], (27]— [ЗО]. Особое значение приобрела эта задача в связи с исследованием движения искусственных спутников планет.
В этом случае потенциал сфероидальной планеты удается с высокой точностью аппроксимировать потенциалом так называемой обобщенной задачи двух неподвижных центров [26],[31]. В спутниковой теории массам неподвижных центров приписываются надлежащим образом выбранные комплексно-сопряженные значения, а сами центры располагаются на некотором мнимом расстоянии. Развитая на основе обобщенной задачи теория движения ИСЗ изложена в ч. '17!. й 3.03.
Задача Хилла Задана Хилла — это предельный вариант ограниченной эллиптической задачи трех тел Рм Р,, Р, получаемый из последней, если Солнце Р, удаляется на бесконечность таким образом, чтобы оставалось справедливым соотношение .Роз= от, + т,), (5.3.13) где аз — большая полуось орбиты Солнца, аз — среднее движение Солнца.
Из равенства (5.3.13) вытекает, что масса Солнца тз неограниченно возрастает и, следовательно, возмущающее влияние Солнца на движение точки Р в некоторой степени сохраняется. Если ввести планетоцентрическую прямоугольную вращающуюся систему координат Р|хуг, ось Р,х которой проходит через Солнце Ро, то уравнения движения в задаче Хилла примут вид [1] — [3] д"-х ду йэ1х дЯ вЂ” — 2пэ — + — — Заф = —, ир д1 Р дх ' дзу дх ~т ~у дИ вЂ”.+2ЛР— + ЫР д1 э ду ' д2х да дп + — +яг Р о дх (5.3.14) где й = — и' ~З вЂ” 'х' — Зх'+ Г'~1 — — ~ .
(5.3.15) 1 1 à — планетоцентрическое расстояние точки Р, Г1 = планетоцен- трическое расстояние Солнца Р,, Ч. У. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 552 Если зксцентриситет орбиты Солнца ео = О, то й = 0 и уравнения Хилла (5.3.14) принимают вид дах ду !агах — — 2п — + — — Злах = О, д! д! о — +2по — „, +,а а!ау дх !ла у О, дах !ла аз д!а + — +л 2 =О. га о (5.3.16) Уравнения (5.3.16) допускают интеграл Якоби ( — „") + Я) +( — „) =Злила — лзл'+ — '+2Ь, (5.3.17) где Ь вЂ” произвольная постоянная. Наконец, плоская круговая задача Хилла описывается систе мой дифференциальных уравнений четвертого порядка: дга 2пр дг + Злах Оа д'х ду !лаах дау дх !апау — + 2лр — +— д! д! г' = О.
(5.3.18) Уравнения Хилла служат основой для теории движения Луны Хилла — Брауна, изложенной в гл. 10 ч. ЪЧ. ЛИТВРАТУРА К ЧАСТИ Ч 1. Субботин М. Ф., Курс небесной механики, т. 2, ОНТИ, 1937. 2. Субботин М. Ф., Введение в теоретическую астрономию, «Наука», 1968. 3. Дуб ош ни Г. Н., Небесная механика. Аналитические и качественные методы, «Наука», 1964. 4, Ш а р л ь е К., Небесная механика, «Наука», 1966.
5, Пуанкаре А,, Лекции по небесной механике, «Наука», 1965. 6. Кур ош А. Г., Курс высшей алгебры, изд. 9-е, «Наука», 1968. 7. Сушкевич А. К., Курс высшей алгебры, Гостехиздат, !941. 8. Уи н т н е р А., Аналитические основы небесной механики, «Наука», 1967. .
9. Б р у м б е р г В. А., Астрон. ж. 34, 1, 1957. 1О. Мул атон Ф., Введение в небесную механику, ОНТИ, !935. !1. Н11! О., Ашег. 3. Ма!К 1, 1878. 12. Моисеев Нг Д., Тр. Гос, астрон. ин-та им. П. К. Штернберга 9, вып. 1, 7 1939. 13. !а ей н Н. Ф., Тр. Рос. анстрон. ни-та им.
П. К. Штернберга 9, вып. 1, 191, 1939. 14. Чеботарев Г. А., Аналитвческие в численные не~оды небесной механики, «Наука», 1965. 15. Кислик М. Д., Косм. исследования 2, 6, 853, !964. 16. Анри Пуанкаре, Избранные труды, т. 1, «Науиа», 1971; т. 11, «Наукаэа 1972. 17. 3 сЬа«а ах ос!а!16 К,, Ав1гоп. Р!асЬг. 147, № 3522, 287, 1898. 18. М оп11 оп Р. К., Реыоб!с огЬ11з, !Уаз!а!пк!оп, 1920. ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ И 553 19 Чеботарев Г. А,, Успехи астрон, наук 5, 176, 1950. 20. 3 и г е л ь К.
Л., Лекции по небесной механике, ИЛ, 1959. 21. Б х еЬ е Ь е1у У., ТЬеогу о1 огЪВа, Асадеппс Ргеаа, Ыети уогй апб Ьопбоп, 1967. 22. Т)а еег хи 4 Г., Тгайе йе Мйсап)цпе сй!еа1е, !. 1 — 1У, Раг!з, 1889 — 1896. 23. Хе сйч!1е У., Соп!91. Йепб. !82, 3!О, 1926. 24. Рейн Н. Ф., Тр. Гос. астреи. ин-та им. П, К. Штернберга 14, вып. 1, 127, 1940. 25. Моисеев Н. Д., Тр. Гос, астреи.
ин-та им. П. К. Штернберга 21, 3, 1952. 26 Де и ин В. Г., Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения, «Наукаь„1968, 27. Бадалян Г. К, Астреи. ж. 11, 4, 346, 1934. 28. Та!19т! а1 Н., Ас!а Бос. Бс!. Репи!сае, пота серия А, 1, № 1, 1927. 29, Алексеев В. М., Вюлл. Ии-та теор. астрон. АН СССР 10, 4 (117), 241, 1965. 30. И в а н о в Ю, И., Тр. Астрофиз. ин-та АН Каз. ССР 7, 32, 1966, 31, Аксенов Е. П,, Греб ения он Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
