Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Для того чтобы постоянный вектор у = а был частным решением уравнения (5.1.10), необходимо и достаточно„чтобы он был решением векторного функционального уравнения Р(у, х) =0 (5.1.11) для любого х е= Х. Чаще всего ищут равновесные решения в случае автономных систем дифференциальных уравнений (Р зависит только от искомого вектора у). Тогда равновесные решения определяются функциональным уравнением Р(у)=0. Ч. Ч.
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ !$ Еоо 528 Если применить (5.1,!2) к уравнениям (5.!.05), в которых уравнения для координат точки Р, заменены тождествами (5.1.06), то необходимое и достаточное условие существования равновесных решений (или положений равновесия) в задаче трех тел выражается уравнениями тохо + т~хз + тзхз = О, 1 — лох +1т ' ' +1тз ' " =0 Зз -' Лз о~ 12 12 02 тоуо + т~у~ + тзуз = О (5.1.13) ау1+Мо 3 +)тз 3 0 АО, Л!2 — и'уо+ ~тз з ' +)то — "з — — О.
воз Ьы — — Ьоз = Ь12 = а, 2 з лзо+оз3+ыз .и =!' „3 (5.1.14) (5.1.15) (а — произвольная постоянная) н среди неизвестных хо, хь х„ уо, уь у, четыре считаются произвольными постоянными. Если, например, считать, что уо — — уз = О, а хо и хз — известные, от. личные от нуля числа, то х,= ', уз= ~ — (х, — х,), х,+х, чГЗ Система (5.1.13) состоит из шести уравнений с семью неизвестными: л, хы хь хм Уъ Уь Уо. О п р е д е л е н и е. Лагранжевыми частными решениями задачи трех тел называются вещественные решения системы (5.1.13). Таковыми являются: а) круговые лагранжевы решения; б) коллинеарные лагранжевы решения; в) гомографические лагранжевоз решения.
Решения а) и б) являются частным случаем решений в) и их выделение в отдельные группы обьясняется методическими соображениями. Круговые лагранжевы решения — зто такие решения системы (5.1.13), для которых Точка Р2 с массой упт занимает одно из 7.6 на рис. 67. Точки !'.! и Ьв называются либрации. В системе координат Оху точки Р„ Рь Р, образуют неподвижный равносторонний треугольник со стороной а, ориентация которого определяется четырьмя произвольнымн постоянными.
Отсюда следует, что при заданном а имееТся четырехпараметриче- улт ское семейство круговых лагранжевых решений. В абсолютной системе координат 0~~7, центр масс треугольника Р6Р!Рт будет двигаться равномерно и прямолинейно, а точки Ръ Р!, РЕ будут равномерно вращаться вокруг О с угловой скоростью л. Таким образом, равновесные решения в системе Оху не будут таковыми в системе Оет)т, Коллинеарные лагранжевы решения стемы (5.1.13), если считать, что у, = у! двух положений! Ьч и треугольными точками Рнс.
67. Треугольные точки лн. брннии. определяются иэ си= у2 = О, а абсциссы Рнс. 66. Первое ввлиниое рлсно. ложение точек Рч Рь Р ° Рис. 69. Второе ввлкнное ресооло жение точек Рч, Рь Р ° точек Рр, Рь Рр определяются из системы уравнений + от!х, + пьгх2= 0, + (глт (х! хт) О аув 3 + (и! ( . - х ) О ЛО2 Прахб (ну а (х! хс) — лх, + ао! (лг ! (Хт — х!) — л хр+ йз !2 (5.1.!6) Возможны три расположения точек Р,, Рн Р, на прямой: 1) хо ( х! ~ хт (рис. 66), 2) хр С хб < х! (рис. 69), 3) хб ( х2 С х! (рис. 70).
$ !.62! ГЛ. !. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ ола ($7.02 Ч. Н. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ азо Решение системы (5.1.16) для случая 1) сводится к решению уравнения (т, + т,) га+ (Зта+ 2т,) га + (Запз + т,) гав — (и, + Зи,) г' — (2и, + Зт,) г — (т, + пз,) = О, (5.1.17) где ха — х, г= хч — х, (5.1.18) Если считать х7 известным, то после решения (5.1.17) хз и ха определяются из равенств У ха = х1 " ' ' (5.1.19) т,г+ та та — (та + т,) г таг+ та гор 7' г ~7 г' а угловая скорость л дается формулой и'= ( ' ' ' ' .
(5.1.2!) х,(т„+т,+т) г Существует однопара метрическое семейство частных решений типа 1), так как х7 — произвольный параметр. Для случая 2) решение системы (5;1.16) сводится к решению алгебраического уравнения Рис. 70. Третье аааиииое расаолоте иие точек Р . Р » Рь где Х2 Ха г= ха — х, (5.1.23) Если ха задано и уравнение (5.1.22) решено, то хп хз и и определяются по формулам ьиаг + (ьиа + чиг) Х~ — Ха ть + (та + ть) г Х2 Ха 70 ~ — Иьаг 7 (ть — пьг)' [та (г + (Р + та) (5.1.24) (5.1.25) (5.1.26) хза(т + т~+ т )2(а+1)~(т г+(т +и )) Так как хз — произвольный параметр, то здесь также имеетса однопараметрическое семейство коллинеарных лагранжевык рЕ- шений. (т, + и,) га+ (2т, + Зт,) г'+ (т, + Зиь) г— — (тз+ Зтз) гг — (2из+ Зтз) г — (тз+ тт) =(1, (5 1 22) Ф 7Л2) Гл.
ь неОГРАниченнАя злддчл трех тел ЗЗ) Наконец, для случая 3) решение системы (5.1.16) сводится к решению уравнения (7722 + те) г + (Зта + 2т2) га + (37пр + тг) гз — (тг+. Зт,) гл — (2тл+ Зт1) г — (т~ + тх) =О, (5.1,27) где х, — ка г= к, —.еа " Считая хр произвольным параметром, все вестные находим нз соотношений т1х — (т, + т,) «р «2 т~ — (та+ лга) х х =х т~х+ т, 2 1(тах т~)(т~х + та) ох= 2 'У кл (т„+ лг, + т,) л' (5.1.28) остальные неиз- (5.1.29) (5.1.30) (5.1.31) Рис. 7Ь Коллиаеариые и треугольные голеи либраиии.
Здесь также имеется однопараметрическае семейства коллинеарных лагранжевых решений. Если тр ) тг » ть то положение точки Рл в слУчае 1) называется точкой либрации 1.2, положение Рх в случае 2) называется точкой либриции Ье, а положение Р, в случае 3) на- У зывается точкой либриции Е,ь Замечание 1. Полажение тел Р„РИ Р2 неизменно лишь в системе координат бхуг, В абсолютной системе бяе)~ (рис. 71) вся система обладает поступательно-вращательным движением, так как I центр масс б движется прямолинейно и равномерно относительно 057)~, а прямая бх врашается с постоянной угловой г скоростью п в плоскости бху )) 0$7).
3 а меч ание 2. Нас интересуют лишь положительные корни уравнений (5.1.17), (5.!.22), (5.1.27). Согласно теореме Декарта (6], 17] каждое из этих уравнений имеет только один положительный корень. В книгах (1] — (4] можно найти координаты точек либрации Ьь Ь2, Ье для задачи трех тел: Солнце — большая планета— астероид. 632 1$ ыа ч.
ч. зхдхчА тРех тел Гомографичегкие лаграижевы решения — это частные решения уравнений (5.1.05), удовлетворяющие условиям аи [О) = р (1) где р(1) — некоторая функция времени, Л;г — начальное значение взаимного расстояния Ли. Очевидно, что круговые лагранжевы решения и коллинеарные лагранжевы решения являются частным случаем гомографических решений, получаемых при р(Г) = — 1. Доказательство существования гомографических коллинеарных и треугольных лагранжевых решений можно найти в книге Г. Н. Дубошина [3). Полную теорию гомографических решений в задаче и тел, построенную Ппцетти, можно найти в книге А,.Уинтнера [8) (см также [9)) . П р и меч ание, Используются и другие обозначения точек либрации. Глава 2 ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ Эта глава посвящена важнейшей задаче небесной механики — ограниченной круговой задаче трех тел.
Она нашла широкое применение как в классической небесной механике (теория движения Луны), так и в динамике космического полета (задача достижения Луны). Изложены сведения о либрационных решениях. Приведены сведения о сферах действия планет. $2.01. Дифференциальные уравнения движения. Интеграл Якоби Ограниченная круговая задача трех тел — это задача о движении материальной точки Рк — Р с нулевой массой ти = 0, притягиваемой по закону Ньютона двумя другими материальными точками Ре и Рь имеющими отличные от нуля мас- р~т, у сы лто и вт, и движущимися по круговым кеплеровским 1г орбитам вокруг общего центра масс.
Рис=еесЩ Ограниченная задача ф~к,а,г9~ е трех тел представляет собой а Я' и' предельный вариант неограниченной задачи трех тел, Рис. тк Равиоиерво врассакикавсв баркцевериПОЗТОМу диффсрсицнаЛЬН1[Е еескав сиссеив кооиивиас. уравнения движения в различных системах координат могут быть получены из уравнений (5.1.01), если в них положить ти = О.
Чаще всего для описания движения точки Р используется барицентрическая прямоугольная система координат бхуе, равномерно вращающаяся с угловой скоростью, равной среднему движению н точек Ре и Рь причем плоскость Оху совпадает с плоскостью орбит точек Ре и Р„которые находятся на оси бх (рис. 72). Координаты х, у, з точки Р определяются из системы Ч. М ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ (2 2.02 дифференциальных уравнений [1), [3), [4) —,— 2 аах ду И (5.2.0!) где И (х, у, х) = — (х + у ) + 1 ( — ' + — '), г2 = (х + а,)2 + у' + гх (5.2.02) г2 =(х — а,)2+ ух+ е~, г — постоянная тяготения, Система (5.2.01) обладает первым интегралом ( — ) + Я) + ( — „2 ) = 2П вЂ” С, (5.2.03) называемым интегралом Якоби.
Плоская ограниченная круговая задача трех тел описы- вается системой дифференциальных уравнений четвертого по- рядка — 2 Ы."х ду дЯ НР д2 дх ' аау дх дп — + 2п — = —, да д2 ду ' для которых интеграл Якоби имеет вид ( — „) + Я) =2П вЂ” С. (5.2.04) Другие первые интегралы систем (5.2.01) и (5.2.04) неизвестны, поэтому общее решение ограниченной круговой задачи трех тел до настоящего времени не найдено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
