Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Х, гл, 3). Если !Ао ( р < 1 — ро, то общее решение уравнений (5.2.38) будет содержать неограниченные функции времени, поэтому в этом случае Гочка либрации Л4 неустойчива в смысле Ляпунова (см. ч. Х, гл. 3). Замечание 1. Эти выводы в равной мере относятся и к точке либрацин Ео. 3 а м е ч а н и е 2, Точки либрапии Лн Ц, ьо неустойчивы в смысле Ляпунова даже в первол4 приближении [1]. Полученные Пуанкаре [16] периодические решения классов в), г) и д) характеризуются тем, что их периоды совпадают с периодом «порождающегоэ решения, т. е. решения уравнений движения при нулевом значении малого параметра. Различия между ними следующие: 1) решения первого сорта — это плоские почти-круговые периодические решения; 2) решения второго сорта — плоские почти-эллиптические периодические решения; 3) решения третьего сорта — пространственные периодические решения.
Для решений первого сорта оскулирующий эксцентриситет пропорционален !4 [см. (5.2.40)] и поэтому обращается в нуль вместе с !А, а для решений второго сорта е ~ 0 при !4 = О. Пуанкаре доказал, что такие периодические решения имеются и в неограниченной задаче трех тел. ч. чг. здддчд трех тел 14 кот К периодическим решениям класса е) можно отнести периодические орбиты с периодом, отличным от периода порождающего решения. Такими являются периодические решения Шварцшильда [17[. Эти вопросы подробно рассмотрены в фундаментальном сочинении Пуанкаре [16), а также в книгах Г.Н. Дубо- шина [3[, Ф.
Мультона [18), Г. А. Чеботарева [19[ и К. Зигеля [20). Кроме аналитических методов для отыскания периодических решений ограниченной круговой задачи трех тел применялись и численные методы. Эти результаты, сопровождаемые подробной библиографией, можно найти в монографии В. Себехея [21[. й 2.06. Критерий Тиссерана При близком прохождении кометы от большой планеты элементы ее орбиты могут заметно измениться, поэтому возникает вопрос об отождествлении комет с различными системами элементов. Необходимым условием тождественности двух комет является г равенство значений постоянной Якоби С для различных систем элементов [22). В литературе Р(кдг! это утверждение получило название критерия Тиссерана. Аналитически критерий Тисссрана выражается равенством, вытекающим нз интеграла Якоби 1 2н' — + — 1/аг (1 — еа) сов г, = 1 2л' = — + — а 1 — ег совр Рнс.
73. Прямоугольные барнцентрнчеснне 2 г гг коОрдинаты точен Р с нулеаой массон О в центр масс точен пгр н егг, Π— середнна (5.2.43) отрезна йгтлг, где и' — среднее движение возмущающей планеты, я — постоянная Гаусса. й 2.07. Уравнения ограниченной круговой задачи в эллнпсоидальных переменных Если ввести вместо прямоугольных барицентрических координат х„у, е точки Р (см. рис.
73) эллипсоидальные координаты и, о, иг по формулам х= ' ' — сс)гисозо, 2 у =сервиз)посозгв, 1 (5.2,44) а=свЬиз)ппсдпв, то тогда уравнения (5.2.01) принимают вид (сЬК и — соьво) й + — ВЬ 2и (ив — о')— 2 — — ьЬ 2иь!и'о - й'+ яп2о ий + 2 + 2п(сЬ'и — соь'о) соьш д — пьЬвиь!п2ов!пи ° й = лв (а, — ав| Л 20 ВЬ и соь о + — ьЬ 2и (1 — ь1п' о ь!пв во) + 2 + —,Ч', ьЬ псов о — —,Ч'вьЬ2иь|пво, (сЬ и — соьво) 6 — — в|и 2о(ив — о')— 2 ! 2 — — ьЬ' и яп 2о йв + ВЬ 2и ° ид— 1 2 — 2п (сЬ2 и — сов' о) сов и и + и ьЬ 2и в|па о яп во ° й = лв(а! — а,! Л" 2 сЬия|по — — яп2о(1+ ьйв ив|в'со)— — —, Ч',сЬиь(по — —,Ч',ВЬ ияп2о, (5.2.45) вЬ ив|носов!о й+2сЬив|посовщ ий+ + 2ВЬ и сов о сов и ° дй+ и ьЬ исов о в|п 22о ° й— — псЬ и в|в о в!п 20о д = паьЬ ив!пов1п во соввсо, то|! — снисово) т0 |1+ он исав о) |сЬ и — сов о)в (сЬ и + сов о)' то (сЬ и — сов и)' |сЬ и + сов о)' ' Каноническая форма уравнений (5.2.45) запишется в виде дГГ др„' дП др„' дП др, ' дН ди ' дО до ' (5.2.46) дира дс дри дс дГГ д \9 В 2.021 ГЛ, 2.
ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 54З и. ч. злдлчл тРех тел 1в 2.02 (лс' в1п 2о — 2! сй о 21п о) сов т рл 2св (с(22 и — соз' о) + (лс' во 2и — 21 зп исав о)сов т ° р„ 2с' (спв и — сов' о) + (1 — лс'плисово) в(ви 21п о 21п т ° р,„ с' вьв и в(п' о ((лс' з[п 2о — 21 с[2 и з[п о)2+ + (лс' а(в 2Ь вЂ” 21 в)1 и соз о)2) + — ""' (а52 и+ созво — а52и з(ив о з[пв ~)— 2 1[(тс + т,) си и + (тв — т,) сов о] с (с йв и — савв о) лс (ав — ав) 2 (5.2.47) Интеграл энергии: Н(и, о, во, р„, р„р ) =)в. (5.2.46) Для плоского варианта ограниченной круговой задачи трех тел имеем следующие уравнения.
Уравнения движения в эллиптических переменных и, о: (с[вви — сов'о) й+ — вй 2и(ив — ов) + з(п 2о ° ио + 2 + 2л(с)аи — сов'о) о л'(а~ — ав) 2с а[в и сов о + — + лв з)1 2и 2 Г ~ Г,  — ~,,) Ссй ввзвсво) св ( сй и — сов о)в (сп и + соз о ' ( ) [вЬ2 и в(пв о ( т т~ 2с' ).(с(ви — саво)' (с(1и+ саво)21' (с)22 и — соз' о) о' — — (ив — о') + в)в 2и ° ио— 2 л' (аз — ав) . л' в(п 2о — 2л (с[22 и — соз' о) и = 2с с[2 и з[п ив 2 [слив!по тв(1-спасово) т,(! + с(зисов о) (5.2.49) с' ~ (сп и — сов о)' (сап+совр)в 1 12(п2о з!1ви Г тв т, 2с' Е(сЬи -саво)в + (сЬи + сов о)'1' Б уравнениях (5.2.46) функция Гамильтона Н дается равенством ри+ во Ри «з «о) 2сз (сьв и — савв о) + 2св зав,(пв „+ $ в.от) Гл, в.
ОГРАниченнАя кРуГОВАя зАдАчА тРех тел 548 Канонические уравнения1 ди дО д( др„ до дН д( дро (5.2.50) Функция Гамильтона: Н(и, о, р„, р,) = Р„+ Р„(лс в!л 2о — 2(с(в и в(л о) р„ 2с'(сиво — сов'о) 2с'(с(вви — соево) (лов вЬ 2и — 21 вЬ и сов о) ро 1 + 2св(с)вви — сов'о) + Всв(с(веи — сов'о) ~ Х ((лс'эт 2о — 2(с[в и а(по)в+(асса[в 2и — 2(ВЬи сов о)в] + л с'(в(вв и+ сов' о) [[(лве+ лв1) с(1 и+ (лве — ль) сова) 2 (5.2.51) с (с)вв и — сов' о) лс (а~ — аа), 2 Интеграл энергии: Н(и, о, р„, р,) = Ь. (5.2.52) Поверхность Хилла дается соотношением С вЂ” постоянная, определяемая начальными условиями. В плоском случае кривая Хилла имеет уравнение авсв с(в' и — авс (а, — ао) с(1в и соэ о — с(пваоа, + С) (с)во и — созво) + + (2] (ово + ив 1) + лвс' (а, — ао) соэв о] с[1 и -[- + 21'(пво — пв,) соз о — лвс'соэ" о = О.
(5,2,54) В эллиптических переменных кривая Хилла имеет более простой вид, чем в прямоугольных координатах (5.2.07). Уравнение (5.2.54) разрешимо в явном виде относительно с[в и или соэ и, так как оно представляет собой алгебраическое уравнение четвертой степени относительно этих переменных.
13 Пел Гев Г. Н, Дубешилв Л С(С[В~и — СОЗВО) (с 4 — С(а, — ао) С[В и СОВ О+ Г (а, — а,)в + свс(во и соэ'о+ свайви э(по осоав во~+ + 2[(рво(с[ви+ соэо)+лв,(с(ви — соэо)]— — сС (с(вв и — созв о) = О, (5.2.53) Ч. Ч. ЗАДАЧА тРеХ тйв Приближенныс области возможности движения на плоскости суху, приведенные во многих книгах [2, 4), отображаются в в заштрихованные области на рис.
74. Вся плоскость суху отображается на плоскости (сов о, сЬ и) в полосу [сЬ и > 1, — 1 < соь о < 1), поэтому при достаточно больших положительных энергиях обласююл стью возможности движения па плоскости (соь о, сЬ и) будет вся указанная полоса. ф 2.08. Уравнение Гамильтона — Якоби в эллипсоидальных переменных Рмс. Уа. Области возможности двюкенма (заштрихованные частнз на илосности (созе, сд нх где о, и-влливтичесние «оордйнаты.
Отмеченные нрнмые линии эЬ" " Г®+(д')~+(Ь"--" )( —,") + дЯ с лез + 2 — !ч — ь!п 2о — 1сЬ и в!и о) ьЬЗ и ыпт о соь из + ди'ч 2 дЯ у лс' + 2 — !ч — ЗЬ 2и — 1ЗЬ и соь о) ЗЬТ и ь!пз о соь из + до'ч 2 дЯ + 2 — (! — лс' сЬ и соь о) (сЬЗ и — соь' о) ьЬ и ь!игл соь из = дю 2лсл (сЬЗ и — соьз о) ЗЬЗ и ь!пз о + +2)сИтс+ т,)сЬи+(т,— т,) сово! ЗЬ'иь!п'о. (5.2.55) В плоском варианте (иу =О, со = О, — = О) [32]1 дЯ ( — ) +(~ ) +2 д ( — ь!п2о — 1сЬиь!по)+ дЯ / лот +2 — !ч — ЗЬ2и — !айисозо) 2лсл(сЬьи — соьхо)+ до'ч 2 + 21с [(>из+ т,) сЬи+ (т, — т,) соз о). (5.2.56) и аллино изображают кривую Хмлла на В эллипсондальных коордизтое плоскости. натах и, о, из уравнение Гамильтона — Якоби для ограниченной круговой задачи имеет вид й 2.09. Понижение порядка системы уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел Методом Лагранжа — Шарпи «33) уравнение Гамильтона— Якоби (5.2.56), которое является нелинейным уравнением в частных производных с двумя аргументами, можно привести к квазилинейному уравнению в частных производных, искомая функция в котором также зависит от двух аргументов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
