Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 84
Текст из файла (страница 84)
20=С, (5.2.05) или, в развернутом виде, п2(хх + ух) + 2( ~' + ьп 1 = С. ( 1/(х+ а,)'+у'+х' Ч/(х — а,)'+ у'+х'/ (5.2.06) 2 2.02. Поверхность нулевой относительной скорости О п р е д ел е н и е, Поверхностью нулевой относительной скорости (поверхностью Хилла) называется поверхность, определяемая уравнением $2.03! ГЛ. 2. ОГРАННЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ ЗЗР В плоской ограниченной круговон задаче трех тел поверхности нулевой скорости соответствует кривая нулевой скорости (кривая Хилла) п2(х2+ р2) + 2~~ ' + ' ) =С, (5.2.07) т/(х — а )г + ва Из (5.2.06) видно, что поверхность нулевой скорости симметрична относительно координатных плоскостей бху и бхе.
Поверхность нулевой скорости разделяет пространство на области, в которых возможны реальные движения точки Р (области возможности движения 211 ) С), и области, в которых ее реальные движения невозможны (области невозможности движения 214 ( С). Эти поверхности хорошо изучены (1) — (4), (10) — (1З). $2.03. Лагранжевы решения ограниченной круговой задачи трех тел. Точки яибрации Ограниченная круговая задача трех тел имеет известные частные решения: треугольные лагранжевы решения и коллинеарные лагранжевы решения. Гомографических лагранжевых решений нет, так как расстояние Р,Р, постоянно. Как и в случае неограниченной задачи, координаты точек либрапии 7.4 и Ьь в системе 6ху даются равенствами х2 =, Р2 = ~ — (х1 хь).
2 ' 2 Будем считать в дальнейшем, что РЗР4 — — 1. Тогда 2 зГЗ (5.2.09) Величина е, введенная для точки лпбрации 1., в $1.02, равна Е= —, Г=! РР, !. (5.2.10) Расстояние Г определяется как положительный корень уравнения (ть+ т,) г' — (Зть+ 2т,) Г'+ + (Зт„+ т,) ГЗ вЂ” т,г'+ 2т,г — т, =О, (5.2,11) получаемого из уравнения (5.1.17), если заменить е через Г и положить т2 = О. Решение (5.2.!1) можно представить в виде ряда по степеням малого параметра (5.2.12) если считать т4 т2.
Ч. Р. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ Для г имеем выражение 1 1 2 о 3 9 (5.2.13) Для точки лпбрацни ~о величина г, определяемая соотноше. нием (5.1.!8), равна а=хо — х, = Р,РХ=» (5.2.!4) В этом случае г должно определяться как положительный корень уравнения (то+ и~) г'+ (Зто+ 2и!)»о + + (Зио+ и,) го — т,го — 2т,г — и, = О, (5,2.15) получаемого из (5.1.17) при г = г и то = О. Для точки либрации Ьо имеем г=т+ — т — — яо+ ...
1 ! 3 9 (5.2.16) Наконец, для точки либрации У о величина г равна а=хо — хо=! РАР1=»ь (5.2.17) получаемого из (5 1.22). если положить г = г, и то — — О. Решение уравнения (5.2.18) можно представить в виде ряда 7 917 =! — — „р+ — „,р'+ .... (5.2.1 9) где т1 !о =— то (5.2.20) Решение уравнений (5.2.1!), (5.2.15) н (5.2,18) можно искать и в виде других степенных рядов (см. [2], [3]).
Зная координаты точек либрации, можно определить значения постоянной Якоби С для лагранжевых решений. Численные значения постоянной Якоби для 1.ь ..., Оо можно найти, например, в [1] — [4]. ф 2.04. Различные гравитационные сферы Для наглядности предположим, что одним притягивающим телом (Р,) является Солнце, другим (Р!) — большая планета, Луна или какой-либо спутник большой планеты, а точка с ну- Она определяется как положительный корень уравнения (то+ т,) г', +(2ио+ Зт,)»', + +(т + Зт )г',— т г-',— 2т,г, — и =О, (5.2.18) $2.ГП ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 537 левой массой (притягиваемое тела) Р— комета, астероид илн искусе~еенный небесный объект.
Пусть )тр — ускорение, сообщаемое нулевой массе Р Соли* цем, когда последнее принимается за центральное тело, а Р~— возмущающее ускорение, вызываемое притяжением планеты Рь Пусть, далее, й~ — ускорение, сообщаемое нулевой массе Р планетой Рь когда планета принимается за центральное тело, а Р, — возмущающее ускорение, вызываемое притяжением Солнца Р,. О и р е дел е н не. Сферой тяготения планетея называется область трехмерного пространства, в которой (5.2.21) Л! ) ото. Очевидно, граница сферы тяготения планеты определяется уравнением йо =Во.
(5.2.22) Легко убедиться, что поверхность (5.2.22) не является сферой в строгом смысле. Приближенное значение радиуса сферы тяготения планеты определяется по формуле / поо Р=Г "Ч и' (5.2.23) где Г1 — расстояние планеты Р, от Солнца Р,, О и р е д ел е н и е. Сферой действия планеты Р2 называется область пространства, в которой Г1 Ро — ) —. Яо (5.2.24) Граница сферы действия планеты Р, определяется уравнением А'о й~ (5.2.25) Р, =Г, ~Г( — ') . (5.2.26) Так как Г, для всех больших планет не постоянно, а колеблется в некоторых пределах, то Отсюда следует, что р и р1 также колеблются в некоторых пределах. Подробности о гравитационных сферах можно найти в (!4).
В табл. 68 приводятся радиусы сфер тяготения больших планет и Луны в а. е., а в табл, 69— радиусы их сфер действия (а. е.), Приближенное значение радиуса сферы действия планеты опре- деляется по формуле Ч. Р. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ Таблица 68 Таблица 69 Рапп Рта» Планета Луна — Земля Луна — Солнце 0,00027 0,00019 0,00030 0,00019 Определение. Сферой влияния планеты Р, относительно Солнца Р, называется сфера, центр которой совпадает с центром планеты и с радиусом (8.2.27) где, как и раньше, г! ~ РРР1 ) (8.2.28) М.
Д. Кислик показал [Щ, что построение траекторий космического полета методом «склеивания» выгоднее, если вместо сфер действия рассматривать сферы влияния. В этом случае ошибки в параметрах траектории при переходе от одного притягивающего центра к другому в среднем минимальны. Средние радиусы сфер влняния больших планет относительно Солнца в а. е.
даны в табл. 70. Таблица 70 Оп р едел ение. Гравитационной сферой Хилла [1!) называется область пространства с центром в планете Р! и с радиусом г, равным расстоянию лнбрационной точки ~.а от планеты Рь Меркурий Венера Земля Марс Юпнтер Сатурн ' Уран Нептун Плутон 0,000! 3 0,00! 12 0,001 71 0,00078 0,15298 0,15222 0,12091 0,21452 0,04959 0,00019 0,00! 14 0,00177 0,00095 0,16855 О,! 701 7 О,!3289 0,21823 0,08214 $ а.аа] Гл.
т. ОГРАниченнАя кРуГОВАя ВАДАчА тРех тел 639 Радиус сферы Хилла г определяется формулой (5.2.!3) (см. 9 2.03) г')(3 ' ) 3 (з ' ) 9 (з ' )1' (5.2.29) Значения радиусов сфер Хилла для больших планет и Луны даны в табл. 71. Таблица 71 Планета т Планета Планета 0,34697 Плутон 0,4288! 0,46494 Луна — Земли 0,77036 Луна -Солнце О,З8З92 0,00039 0,00234 Меркурий Венера Земля Марс 0,00148 0,00674 0,01001 0,00724 Юпитер Сатурн Уран Нептун Гравитационная сфера Хилла определяет Область пространства, в которой движения точки Р устойчивы в смысле Хилла (см. ч. Х, 9 3.03), т.
е. точка Р будет вечно спутникам планеты. В книге (14) можно найти определение и размеры гравитационных сфер Солнца относительно ядра Галактики. 2 2.05. Периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел Приведенные в 9 2.03 лагранжевы решения Ограниченной круговой задачи трех тел являются примером периодических Орбит. Но этим не исчерпываются все известные периодические решения ограниченной круговой задачи. Периодические орбиты можно было бы объединить в следующие классы: а) периодические решения в окрестности тачек либрации Ьь..., 7а (почти-либрационные решения); б) периодические орбиты в окрестности одной из притягивающих масс (спутниковые орбиты); в) периодические решения Пуанкаре первого сорта; г) периодические решения Пуанкаре второго сорта; д) периодические решения Пуанкаре третьего сорта; е) периодические решения других сортов.
Классы а) и б) периодических орбит были в первом приближении получены беэ использования методов Ляпунова и Пуанкаре отыскания периоднческих решений и были известны задолго до Ляпунова и Пуанкаре. Рассмотрим более подробно почти-либрационные решения в окрестности точки 1.4 (или Т-а). ч.
ж ЗАдАчА тРех твл [42 ля 340 Ради простоты положим ! = 1, п' = те + т[ = 1, те=! — [[, т[ = [А. Тогда лагранжево периодическое ре[пение, изображаемое точкой Е,, дается формулами ~/з ры — 2 ° го=0 Для исследования решений ограниченной круговой задачи трех тел введем новые переменные $, Ч, Ь: (5.2.3 1) $=Х вЂ” Хво [1=У вЂ” Усе где (5~ т[, ~) = 2 15 + Ч + 5(! 2[А)+Ч'А/31 + + —, (5.2.33) г',=Р+Ч'+ьа+$+Ч у[Э+1, 1 (5.2.34) гз= $2+ Чз+ 12 — 3+ Ч 1/3+ 1 д[2' д[2' дЯ' Если разложить —, —, — в ряды по степеням $, и, [. д$ ' дч ' д~ и сохранить в них лишь линейные члены, то получаем дифференциальные уравнения первого приближения а). В частности, для плоского случая будем иметь ~Я дн 3 3 я[3 (! — 2Р] ди и[ 4 4 [-"ч 2 6 зч/з (! — 2н) дй и[ 4 4 (5,2.35) В переменных $[, Ч[, связанных с я, Ч формулами преобразования К, =ЦсозО+Чз!пО, т)[= — $з!п8+Чсовб, (5,2.36) где 1и 28 = — ~/3 (1 — 2[А), (5.2.37) уравнения (5.2.35) записываются в виде — г' — 2 — "",' = —,' (1 + Ъ/! — Зр (! — И)) ~[, (5.2.38) д[з + 2 а[ 2 1 Т/! — 3[А(1 — [А)) Ч[.
') Уравнения первого приближения часто называются уравнениями а аариациях. Тогда вместо уравнений (5.2.0!) будем иметь уравнения Ы'~ ди дЯ' аеи И$ дй' и'~ дм' — — 2 — = —, — + 2 — = —, —. = —, (5.2.32) ~й' и[ дй ' ~й' а[ дч ' ди дь ' $2.02! ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 54! Общее решение системы (5,2.38) имеет вид [2] $, =С, соз(А1!+ а,) + Сосоа(12!+ а,), 21, = д4С, э!п (Зч1+ а ) + доС2 з!п(Хо!+ ао), (5.2.39) где Сь С2, аь ао — произвольные постоянные, а эл"-, + з 1/! — Зи 1! — Р) (! = 1, 2), если ~йь ~).2 являются корнями характеристического уравнения У вЂ” Ло + — !4 (1 — !4) = 0 4 (5.2.40) и 0<и <ры 1 — Но<и<1, (5.2.41) причем (5.2.42) !Ао =. !в 0 03852 9 — т/аэ Условия (5.2.41) и (5.2.42) указывают на то, что лагранжево треугольное решение Л4 устойчиво в смь4сле Ляпунова в первом приближении (см. ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
