Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 90
Текст из файла (страница 90)
тн движения искзсствянных спзтников земли !4 э.а $ З.ОЗ! ГЛ. К ВОЗМУШЕННЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ВТОРОН ГАРМОНИКОН 573 и г' определяются из уравнений Е' — е, з!и Е' = М', (6.2.31) Е' (6.2.32) г' = ао (1 — ез сов Е'), (6.2.33) в которых ао и ео — постоянные. 4. Замечания. Формулы Д. Брауэра имеют весьма компактный вид.
В вековых возмущениях сохранены все члены до второго порядка относительна Хз включительно. Долгопернодическне н короткопериодическне возмущения вычислены сточностью до первой степени Ув При выводе этих формул не делалось разложений по степеням наклона ! и эксцентриситета е. Поэтому они полностью учитывают наклон и эксцентрнснтет орбиты. Формулы, однако, имеют особенность при ео=О !о=О, !о ж 63'26'. (6.2.34) Д. Брауэр (21) нашел также возмущения (вековые и долга- периодические) от третьей, четвертой и пятой зональных гармоник. И. Козаи (22) продолжил эту рабату и получил формулы, учитывающие возмущения ат всех гармоник до восьмого порядка включительно.
Он также нашел вековые возмущения третьего порядка в элементах !! и и. $2.03. Случай орбит с малыми аксцентриситетами 1. Возмущающая функция. В случае орбит с малыми эксцентриситетами правые части уравнений Лагранжа для оскулирующих элементов е н и содержат малый делитель е. Эта трудность легко устраняется, если вместо элементов е, и и е ввести переменные й, ! и Л: й = аз(п(п — ь!), ! = есоз(п — !!), Л=а — !2+ ~ пй, (6,2.35) Возмущающая функция !г определяется формулой (6.2.0!). Будучи разложена в ряд по степеням малых й и 1, она приобретает вид (23) 1 !мга Г 3 Я= — У вЂ”,~! — — В1п !/ [1+ 31созЛ+ Зйз!п Л+ 2 Я а~ ~ 2 + з (й'+!В)+ ~ (й' — )Я) ВЗЛ+Зй!з!п2Л~+ ! + — Х,—, з!п'! !ь — — !саз Л+ — йейп Л+ соз 2Л+ + — ! соз ЗЛ+ — йз!п ЗЛ вЂ” — (йз+ ! ) соз 2Л+ 2 2 2 + — (!Я вЂ” йз) сов 4Л+ 173! з!п4Л].
(6,2,36) 574 Ч. У[. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ [4 Ецз В формуле (6.2.36) сохранены все члены до второго порядка малости относительно е включительна. 2. Возмущения алементов. Решение уравнений для элементов а, Ь, 1, Й, 1 и Л позволяет найти выражения для возмущений в виде 123) ба=ЗУ,( — ) (! — — в[п'1)(1совЛ+ Ьв!пЛ)-(- 1 + — У,,( — ') з[п'1( — — ЕсазЛ -)- — Ьз!ПЛ+сов2Л+ 2 + — Е соз ЗЛ + — Ь в!п ЗЛ), (6.2.37) бй = — Ув( — ') (! — — в!и 1)) Еп(1 — Ев)+ в!пЛ+ + — Ев!п2Л вЂ” — ЬСОВ2Л1 — — У ( — ) в1п 1(в!ПЛ вЂ” — з!ПЗЛ+ з 3 1 3 /го~В ° В% 7 2 2 + 61 в[п 2Л+ Ь сов 2Л вЂ” — 1в!п 4Л+ — Ь сов 4Л) + 17 . 17 + — Ув( — ') савв!) Еп (1 — Ец) — — 1з!и 2Л~, (6.2.38) бЕ= — У,( — ') (! — — в!и'1) ~ — Ьп(Š— Ец) + сов Л+ з + — 1сов 2Л + — Ь з!и 2Л) — — У,( — ') з!Пв[( — сов Л— 2 2 — — сов ЗЛ вЂ” БЬ вш 2Л вЂ” — 1 сов 4Л вЂ” — Ь в!и 4Л+ 1 сов 2Л) + 7 17 17 з 2 2 + — Уз( — ') сов~1[ — Ьл(1 — Ез) + — з!и 2Л~, (6.2.39) 7 .
З [ЕЕ! = — — У. ( — ') сов Е ) и (1 — 1 ) + — 1 з! и Л вЂ” — Ь сов Л— — — з!и 2Л вЂ” — 1в[п ЗЛ+ — Ь сов ЗЛ~, (6.2.40) ! ., 7 . 7 2 б б 61= — У,( — ) в!п[сов[( — 1совЛ+ Ьв!ПЛ+ + сав 2Л+ — Гсов ЗЛ+ — Ь в!и ЗЛ), (6.2.4!) бЛ= ЗУ,( — ) (1 — — з[п'1)~п(1 — ЕВ)+ — ЕюпЛ вЂ” — Ьсов Л~+ 7 . 1 + — У ( — ) в!пв Е ! — — Ь сов Л вЂ” — 1 в!п Л + — в[о 2Л— 24 4 42 — — Ь сов ЗЛ+ — Ев!ПЗЛ) + — У,( — ') соз'1)п(1 — Ев)+ 72 72 ) 2 ~а) + — Ев!и Л вЂ” — Ь саз Л вЂ” — Е з!и 2Л+ — 1 в[п ЗЛ+ — Ь соз ЗЛ~, (6.2.42) 7 . 5 ! . 7 . 7 2 2 2 б б 4 КОЗ! Гл.
е Возмущения, ВызГВВАемые ВтаРой ГАРмоникОЙ 579 где в правых частях нужно подставить невозмущенные значения элементов а=ао. о=по 1=!о. Я=ЯВ й=йо, 1= 1о, Л = Ло+ по(1 — 1о). 3. Случай круговой орбиты. Из формул (6.2.37) — (6,2.42) легко получить следующие выражения для возмущений элементов круговой орбитьп Ьа= — У,( — ") в1п'Усов2Л, (6.2.44) Ьй= — У ~ — ) ~! — — в(п 1) в1пЛ— — — У,,( — ') в(п'1(в(пЛ вЂ” — в(пЗЛ), (6.2.45) 61= — Уг!У вЂ” ) (1 — 2 в1п 1)совЛ+ + — Ув( — ') в1п'1(сав Л + — сов ЗЛ), (6.2.46) (а 4 Ув~ ) в1п!сов~ сов 2Л 4 в~а) ЬИ= — — У,Я сов!(п(1 — 1,) — — в(п2Л~, (6.2,48) ЬЛ=ЗУ,~ — ) (,1 2 япв~)п(1 1')+ з У,~ — ) в(п 1в(п2Л— 9 гада ° в ВЛа)~ 2 ) В ~а) + — Уя( — ') сов~ 1 ~п (1 — 1~) — — в(п 2Л1, (6.2.49) (6.2.47) х= г(сов исав !1 — в(п и в1п!4 сов 1), у = г (сов и в! и Я + в! и и сов Я сов 1), а =-ге!пи в(п1, (6.2,50) где с точностью до вторых степеней й и 1 и = Л+ 2 (1 в1п Л вЂ” У!сов Л) + 4 (1в — Л) в!п2Л вЂ” -л(сов 2Л, (6.2 5!) А2+Й Й а2 г = а (! — 1 сов Л вЂ” й в(п Л+ — —: сов 2Л вЂ” 51 в)п 2Л), 2 (6.2.52) где в правых частях нужно заменить все элементы их невазмущенными значениями.
4. Вычисление возмущенных координат. Возмущенные пряма- угольные геоцентрические экваториальные координаты вычисляются по формулам бта ч. ть движение искусственных спутников земли [$ кзг причем а=а,+ба, ~=~,+И, О=Я,+бй, й=й,+бй, ~=~,+б~, 7=к,+п,р — С)+б~, ~ а ба, б~, ..., ЬХ определяются формулами (6.2.37) — (6.2.42). 5.
Замечания. Выведенные выше формулы имеют компактный вид и не содержат особенностей при гг — — О. Они удобны для исследования движения спутников с малыми эксцентриситетами. Однако, поскольку решение задачи была получено в нетригономет~ическом виде и не были вычислены вековые члены порядка Хм ими можно пользоваться только на небольших промежутках времени.
Глава 3 ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ В этой главе изложена теория промежуточных орбит ИСЗ. Эти орбиты строятся на основе некоторых аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения спутника в квадратурах. Поскольку аппроксимирующие выражения включают в себя основную часть возмущающей функции, обусловленной несферичностью Земли, промежуточные орбиты оказываются более близкими к истинной орбите спутника, чем кеплеровский эллипс. В некоторых случаях метод промежуточных орбит позволяет математически строго решить главную проблему в теории движения ИСЗ.
$ 3.01. Задачи Штерна, Гарфинкеля и Акснеса В этом параграфе рассмотрены модельные задачи Т. Штерна 124), Б. Гарфинкеля 1251 и К. Акснеса [261, которые дают приближенные решения проблемы о движении спутника с учетом сжатия Земли. Эти решения определяют некоторые промежуточные орбиты, которые более близки к истинной орбите спутника, чем кеплеровская орбита, и могут рассматриваться как невозмущенные при построении полной теории движения спутника. По» скольку здесь вводятся формулы, которые аппраксимируют только первые два члена потенциала притяжения Земли, то для силовой функции 1У можно принять следующее упрощенное выражение: У = — ( 1 — уз ( — ') ( — ып ф — — ) ~, (6.3.01) где 1 в постоянная притяжения, гп и го — масса и средний экваториальный радиус Земли, Уз в безразмерная постоянная, г и ~р — геоцентрический радиус-вектор и широта спутника. В формуле (6.3,01) отброшены члены, имеющие порядок Хд и выше.
19 пад дед. г. н. Дхбоюина бтз ч. гп движения искнсстззнных спгтников земли !во.о( 1. Задача Штерна. Для аппроксимации силовой функции У Т. Штерн вводит функцию и', которая определяется следующей формулой: 1ш ( Х го ( 3 ел !г = — ~ ! + = — !ч! — — в!па1г!— г 2 г 2 з — — У вЂ” ~в!п (р — — в!п г ]~, (6.3.02) о ° а а ° 2 агрч 2 где р — параметр, 1 — наклон орбиты спутника. Эта формула и дает промежуточный потенциал или силовую функцию в задаче Штерна *).
Пусть я=и-у есть возмущающая функция. Тогда из (6.3.01) и (6.3.02) находим Л= — 2 1тУв( — ") (в!и ф — — в!и 1)( — — — ). (6.3.03) Эта формула показывает, что для орбит с малым эксцентриситетам е функция В будет малой величиной.
Поэтому можно считать, что для таких орбит функция г' достаточно хорошо аппраксимирует силовую функцию У. Дифференциальные уравнения движения спутника в силовом поле с потенциалом и' строго интегрируются в квадратурах. Если воспользоваться сферическими координатами г, ф, )о, связанными с экваториальными геоцентрическими прямоугольными координатами х, у, а формулами х гсавфсавкю у =гсов ф в!пр., а=гв!пф, (6.3.04) г а= ((-~ —,ю (-~1кгг, (Бо.оо( где Ь=2а(га+21тг — аа+ ~~ В, з(лг('ага З(штагоа М = ща в!па1 — аа веса ф — — ' 2р а ( '! Б книге [27] ага формула была ошибочно приписана Б. Гарфннкелю. н применить метод Гамильтона — Якоби, то полный интеграл уравнения Гамильтона запишется в виде 579 ГЛ.
3, ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ 9 З.ОЦ причем Хзг,' 7 3 В = — ~1 — — з1п'1г1, 2 ~ 2 а ан гзь аз — произвольные постоянные. Знание полного интеграла Я, как известно, позволяет записать общий интеграл задачи. Мы не будем здесь выписывать общего решения, а приведем лишь три первых интеграла, которые легко находятся из (6.3.05). Они имеют следующий вид: Кг Ч/Г Яф ~/М з ЛХ 1й г ' лг г2 — — — — гзсоззф — = аз (й и полностью решают задачу.
Формулы, описывающие промежуточную Орбиту, приводятся в уже указанной работе Т. Штерна 124] и его книге (28]. 2. Задача Гарфинкеля. Б, Гарфинкель предложил следующую формулу промежуточного потенциала: )Г = — ~ 1 — — 7 — ~ 1 — — з1пз 1) у' 1 — ез— — т «~ )~ 3 гз~ — — У вЂ” (з)п' ф — саз'1) ~ (6.3.06) 2 зг« или и 3 г0~ )г = — — — 1глу2 2 (вше ф — соз'1) (6.3.07) где р 1ГП ( 2 г' г (,1 2 З1П 1) У/1 — а 3. (6.3.08) 2 з«г~ Формулы (6.3.01) и (6.3,06) дают следующее выражение для возмущающей функции: 1т = — — '( — ( — з(пзф — — ) — — ~ — зш' ф — — созз 1)— г 1И~2 2) г«~2 2 — — — ' ~1 — — з! ПЧД~ . (6.3.09) 2 «г~ 2 Формула (6.3.06) была подобрана таким Образом, чтобы промежуточная орбита учитывала все вековые возмущения перваго порядка. Как и в задаче Штерна, уравнения движения с силовой функцией, определяемой формулой (6.3.06), интегрируются методом Гамильтона — Якоби путем разделения переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
