Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Для этого необходимо воспользоваться движений Солнца и Луны -0,006), поэтому производящую функцию Я(ЕО ', 12) будем искать в виде ряда по степеням ма- (1), лого параметра Х: ЯИ; 1,)=ХЯ,(И), 1,), (4.8.20) )=о $».М) ГЛ. », МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ 4ЧЗ основным уравнением метода Делоне — Цейпеля: =~~'„РУ(1.(1~), 1.»(), 1.1'), 1.(4')) (4.8,22) (=о Соответствующие приближения получаются из (4.8.22), если разложить левую часть в ряд Тейлора и приравнять величины одинакового порядка малости. Связь между старыми и новыми каноническими переменными выражается равенствами Ь 1 дЯ~ 1» =1»+~ аф (й = 1, 2, 3, 4), (4.8.23) (й=1, 2, 3), 1! =14 С помощью теоремы о неявных функциях из (4.8.23) получим Ь», 1» в ниде функций 1.», О = р(1! + р»1» + р»1» + рв(! ° (1) (1) (1) (и (1) (1) Величины 1.», 1» являются некоторым приближением для точных влементов Делоне, так как мы рассматривали приближенные уравнения движения (4.8.19) вместо точных уравнений (4.8.13).
Указанный метод позволяет, в сущности, исключить из уравнений член, содержащий сов О. Если в конкретной задаче требуется исключить другие члены, аргументы которых кратны О, то можно повторить преобразование Делоне — Цейпеля, однако здесь встречаются трудности, связанные с появлением малых знаменателей (см. формулы (4.8.21)].
Влияние малых знаменателей различна в различных задачах небесной механики, но, как показали Делоне и Цейпель, в теории движения Луны эти трудности преодолимы. Следует, однако, сказать, что строгого математического обоснования метода Делоне не получено (имеется в виду доказательство сходимости использованных рядов). Брауэр (2] модифицировал метод Делоне применительно к задаче о движении искусственного спутника.
480 Ч. !Г«ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !4 5Л5 $8.05. Связь между возмущениями координат и возмущениями элементов Пусть хс, хй, ..., х — некоторая система координат, а ас, аь ..., а, — некоторая система элементов. Обозначим пол. ное возмущение координаты хс через бхс, а полное возму!пение элемента а! — через ба«Согласно (4.8.02) бхс= ~ бйхс, ба,= Х бйас. (4.8.24) й=! й ! Пусть координаты и элементы связаны соотношениями хс=!'с(1, а,, Ое, ..., а,) (с 1, 2, ..., Ос). (4.8.25) Тогда полные возмущения координат выражаются через полные возмущения элементов с помощью ряда Ф ! Ь =~; ~; й„! .сХ Р сй+й+ ..+й8 ч 5, да,' дай' ... да,'/ Для возмущений первого и второго поридка имеем Ь хс=(да ) бса, +(да ) Ь~оя+ ' '.
+(д ') б,а„ + — ~( — й) (б,а,)й+( — 5) (бсая)й+ ... + ~ — ') (б,а,)й+ +2(дда ай'=) (б,а!)(Ьсай)+ °,. +2(д да ) (бса, !)(Ьсас)] (4.8.27) В формулах (4.8.26) и (4.8.27) индекс «Оъ означает, что в ча. стных производных элементы заменены своими невозмущенными значениями. В частности, для возмущений первого порядка полярных координат Ганзена (см. $1.1!) имеем бса! = 5!1+ (Н! соз М + 2Нй сов 2М+ ЗНзсоз ЗМ + ...) Ьс1— — (НссозМ+2Нйсоз2М+ЗН,соВЗМ+ ...)Ьсн+ б,г=( — ) б,а+ ~ — ( — ) — ( — ) ]бсе+( — ) (бсн! — Ьсп). 14.8.29) 88.05] Гл. 8.
метОды Вычисления возмещении элементОВ 431 Здесь 611, 61л, б~е — возмущения первого порядка средней долготы, долготы перицентра, эксцентриситета, М вЂ” средняя аномалия, Нь — коэффициенты уравнения центра 1см. формулы (2 3.14) — (2 3 15)1. Для выражения возмущений прямоугольных координат через возмущения канонических элементов следует воспользоваться соотношениями 5 3.09. Выражения возмущений элементов через возмущения координат можно получить аналогичным образом. Глава У МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА СХЕМАХ ОСРЕДНЕНИЯ Большинство методов, изложенных в главах 7 н 8, основано на использовании кеплеровского эллипса в качестве нулевого приближения для построения теории возмущений.
Такой подход целесообразен в следующих случаях: 1) возмущения достаточно малы; 2) промежуток времени, на котором используется возмущенная теория, невелик; 3) имеют место одновременно случаи 1) и 2). Если не имеют места случаи 1) — 3), тогда целесообразно строить варианты теории возмущений, основанные на применении асимптотических методов (32). К таким задачам относятся так называемые «резонансные задачи», для которых характерна соизмеримость средних движений планет, приводящая к появлению малых знаменателей в процессе построения классических вариантов теории возмущений.
Сущность излагаемых методов состоит в том, что в качестве нулевого приближения (или промежуточной орбиты) для решения уравнений динамики берется не решение задачи двух тел, а решение одного из упрощенных вариантов ограниченной круговой задачи трех тел, чаще всего получаемых с помощью методов осреднения. Далее, теория возмущений строится с помощью метода Н. Н.
Боголюбова [32) и его вариантов, разработанных для задач с быстрыми и мсдленнымн переменными (ЗЗ) и специально для планетных задач (34) — (36). 9 9.01. Основные схемы осреднеиия возмущающей функции в двухпланетной задаче Все схемы осреднения возмущающей функции )с (4.б.02) делятся на две группы. 1) Схемы осреднения, не учитывающие соизмеримость или почти соизмеримость средних движений возмущающей и воз- $9.0п гл. 9, методы теории возмрщвнии 433 мущаемой планет. К ним относятся схемы К. Гаусса. П.
Фату н Н. Д. Моисеева (31). 2) Схемы осреднения, учитывающие это свойств К таковым относятся прежде всего схемы Девоне — Хилла [31!. Пусть разложение возмущающей функции !т' для ограниченной круговой задачи трех тел имеет вид й=1т! ).,с. ~. с»„»„м(а, р, !)Х 9,-0 а,-- Х соз (й,М вЂ” А,М! + йзй + йз»з), (4.9.01) где 1 — постоянная тяготения, т! — масса возмущающей.
планеты (обычно Юпитера), а, р, 9, М, О, 00 — кеплеровские элементы орбиты возмущаемай планеты, М! — средняя аномалия возмущающей планеты. Удобна рассматривать разложение (4.9.0!) в виде суммы трех функций: 1~,=~т,С0,0,0(и, р, 1), (4.9.02) 1 И,=1т, Х Х Х С»»»»9,(а, р, 1)Х 1 (4.9.03) Х сов (й!М йрм! + йза + йзгэ) 1 Й!л+ Йрл! ~~(О (т!)„ кроме й!=Й=О; 1(.=~т! Х:Е:Е Са»9.,9.(о, р, !)Х 1 (4.9.04) Хсоз(й!М вЂ” Й9М!+йрй+йзга), ~ ~ й,и+ й,п, ~) О(т,).
ФУнкцни 19», !ср, !9 называютсЯ соответственно вековой, Резонансной (долгонериодической) и нерезонинсной (короткопериодической) частями возмущающей функции й!. Отличие между разложениями (4.9.03) и (4.9.04) состоит в том, что суммирование в (4.9.03) ведется только по тем значениям индексов й! и йм которые удовлетворяют условию ~ й,л + й,л, ~ ~( О (т,), а в (4.9.04) выполняется противоположное неравенство. При использовании классических методов теории возмущений функция Яр порождает «малые знаменатели» в теории возмущений, или долгопериодические неравенства.
434 ч. пс тг»огня возмхщвнн ого двнжгння 14 2РЧ Действительно, если М = и»+ Мв М~ = п11+ Мг,в то ~ И„Ш = ~ ~ ~ " '„*'+ „21п(й,пт — йхп,1+ А), 2,-2 2,=- 2,-- где А — величина, не зависящая от времени. При условии (й~п+ лхп, ~ ( 0(т~) коэффициенты при тригонометрических функциях могут достигать сколь угодно больших величин. 1. Схема К. Гаусса. Будем обозначать осредненную возму.
щающую функцию во всех схемах через 22»2 Согласно схеме Гаусса 2Л 2Л Я, (а, р, 1, в) = — „, ~ ~ Гт(а, р, 1, М, П, в) аМ2(Мо (4.9,05) или 1(»~ (а, р, Ю, в)=)п21 Х Св о,а,(а, р, 2)сов йзв. (4.9.06) и 2. Схема П. Фату: 2Л 242(а, р, 2, М, в) = — „$ 12(а, р, Ю, М, О„в)21Мп (4.9.07) о или ТЦ2(а, р, ю', М, в) =[т, Х Х Схл а 2,(а, р, 1) соз(й,М+ йзв).
2;о 2;— (4.9.08) Для плоского варианта схемы Фату имеем [34) Й2 (а, р, М)=[2п~ ~ Свл о(а, р)сов И~М. (4.9.09) 2» В 3. Схема Н. Д. Моисеева: А (а Р, 2 П в М1) = ~„~ И (а, Р, 2, М, Й, в, М,) 2(М, (4.9.10) о или Йз(а Р 1 И в М1)=[т ~ ~ Са 2„2,(а, р, 2))( 2; — * 2;= Х соз [й, (П вЂ” М~) + йзв). (4.9.11) Для плоского варианта схемы Н. Д.
Моисеева имеем [34) 242'~(а, р, в, М,)= 2'„Са 2,(а, р) созй2(й — М,). (4,9.12) 2»=- 436 гл. а методы твооии возмощения 4 о.оц 4. Первая схема Делоне — Хилла. Введем аномалию Делоне Р по формуле Р =А,М+ й,(й — М,), (4.9.13) где йь й,— некоторые известные положительные числа и такие, что й1л — йол~ О.
С помощью (4.9.13) исключим из разложения (4.9.01) величину й — Мо Получим 11о(а, р, 1, М, в, Р)=)т, ~ Сел ол о,(а, р, 1) Х о,=о и=- о;— Х сов ~(Й, — Йо — '1М + =~ О+йзв~. (4,9.14) В результате осреднения разложения (4.9,14) по М получаем К(а, р, 1, в, 0)= — ~Л(а, р, 1, М, в, 0)НМ, (4.9.15) о или д,(а, р, 1, в, О) =)т, ~: Х С,х,,а о (а, р, 1) сов(зР+йзв). о ~,орлу (4.9.16) Для плоского варианта первой схемы Делоне — Хилла имеем [311 Ж (а, р, 0)=гт, ~. С,йл,х-(а, р)соазР. (4.9.17) В плоском варианте аномалия Делоне 0 выражается соотношением 0 = й, М + йо (в — М,).
(4.9. 18) б. Вторая схема Делоне — Хилла. Введем обобщенную анома. лию Делоне О по формуле Р= — "' М+И М, л и исключим из разложения (4.9.01) разность й — Мь Будем иметь Яо(а, р, 1, М, в, 0)=1т1~ ~ ~ СМ, о «,(а, р, ())< о|=о Ф~ оа= Хсоз~»' „~' ' М+йоО-) йо 1 (49.20) ч. пл теория возммцвнного движения 1о о.оо Осредненная возмущающая функция 1со вычисляется по формуле г )то(а, р, 1, со, 0) =!нп — 1с(а, р, Ю, М, го, Б) с(М, (4.9.21) о Для плоского случая Ь= — "' М+ го — М,. и (4.9.22) Более подробные сведения о приведенных схемах можно найти в (31]. $ 9.02. Уравнения осредненных схем ограниченной круговой задачи трех тел, определяющие промежуточную орбиту (нулевое приближение).
Их первые интегралы да — О дГ др / р дЯ, — =2 нг и' 1т дй с1Е Г <И~ дГ астр дй Дй 1 дг, — = — П,+ сд т/Гтр о1ог д7 ' ~йо . / р дА с1яг дА', — =2 тч —— дГ 1т др 1/1тр дТ ' й=й — м, (4.9,23) В (4.9.23) т — масса Солнца, Система (4.9.23) является интегрируемой [36).
Для получения уравнений промежуточного движения возмущасмого тела необходимо заменить возмущающую функцию )т в уравнениях Лагранжа (4.3.15) тем или иным осредненным значением. Будем обозначать значения осредненных оскулирующих элементов через а, р, о, М, Й, со. 1. Схема К. Гаусса. Уравнения для схемы Гаусса имеют вид (36] ф 9.021 ГЛ. 9, МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ 4зт Фату. Уравнения для схемы Фату имеют 2. Схема П. вид (36) да и! =2 ~//— 2 ~ р адаг с1я ! дА'т /)тр ди ' (4.9.24) 1 дК = — и,+ 2/)мр и!и ! д! / р дн, с1а! дК Ч 1аг др 1/йлр д! да / а й!ги — =2 ~/ — =' д! Ра дМ вЂ” =О, др д! '/- 2/ ° ",, /= д2т19> 2/ 1аг др (4.9.25) Й вЂ” М!. Известен общий интеграл системы (4.9.25): р=сн =+ ц'/тр и, +)сг =сь !92 г= — !91 м дМ != др191 Й-Йо — 2~ ~/' —" С !аг др 1р (4.9.26) Система (4.9.24) имеет два известных первых интеграла (ЗЦ, (36), однако ее общий интеграл неизвестен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
