Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Замечание. В дифференциальные уравнения движения входит не возмущающая функция В, а ее частные производные по координатам либо по элементам. Разложение этих производных в виде (4.6.28) производится аналогичным образом. 14 вла ч. 1ч. теОРия ВОзмущеннОГО дВижения планету Р1 называют внешней), С вЂ” ~С' — 41 ч — а~еа — у,' а=, Ь= ', У= —,, (4.6.31) ч у, С+~ГС' — ч ' С =уа+ — ', (дв!Н(е)х, дв(п(е= — "",, ассов(1= — '',, (4632) ! ! у« е2 уа = 1 + ( — ') — 2е' Я вЂ” 2е, сов Е, + е', сова Е, + е ! сов Р, ~ ! (4.6.33) Гсов Р= 2( — ') ев — 2х е, ~ — ") сов К,+ + 2х, ( — ')сов К,сов Е, — 2х, ~ — ')~/1 — е,'в!НК в!пЕИ Г в!пР= — 2х,е, ! =«~!а~1 — е,' в!НК1+ '~а1) +2х, ( —,') /1 — е,'в1пК,сов Е, + «-м,( — ")~~~ — «11~ — 11 «,««,.
~ (4.6.34) Формулы (4 6.31) — (4 6.35) дают возможность вычислить величину (46.30) для любого момента времени по следующей схеме; если заданы элементы орбит планет Р1 и Рм то по формулам (4.6.05) вычисляем У1, Ум «. Для заданного момента времени решаем уравнения Кеплера Е, в — е1,в!НЕ1,,= М1, и находим эксцеятрические аномалии Е1, Ев Далее, используя равенства (4.6.34), вычисляем ! В1п Р и ! сов Р.
Имея эти величины, опРеделЯем сначала Уа и Уть а далее С, д, С1, после чего из Здесь Еь Ев — эксцентрические аномалии планет Р1 и Рм е„ев— эксцентриситеты их орбит, Вспомогательные величины х1, хв, К1, Кв определяются из равенств (см. рис. 65) х1сов(а! — У, — К«) =сов (а, — Уа), х, в1 п (а1 — У1 — Ка) = сов У в1п (ૠ— У,), (4 6.35) хвсов(а, — У, — К,) =сов1 сов(а — У ), ~ хг в!п (а1 — У1 — К1) = в1п (аа — Ув), э зля Гл. з газложении возмищлющки втнкции 407 (4.6.31) определяем а, Ь, Ф.
Окончательно равенство (4.6.30) дает (а~/Л)'. Однако для определения величины а~/б целесообразнее применять метод Брауэра — Клеменса [2], который заключается в следующем, Рассмотрим случай внешней планеты Рь Разделим отрезок [Мь М~ + 2п] на 2л равных частей и для каждого из частных значений средней аномалии М, решаем соответствующее уравнение Кеплера, в результате чего находим 2л значений эксцентрической аномалии Еь Далее по схеме, описанной выше, находим ум ум С, д, Я, /у, а, Ь.
Для каждой пиры значений Я и Ь разлагаем в ряд Фурье по кратным Е, выражение [1 — 2Ь соз (Е, + Я) + Ьз] — '~', Для вычисления коэффициентов Фурье используем метод гармонического анализа. Первая квадратная скобка в соотношении (4.6.30), [1 — 2асоз(Ез — Я)+ аз]-'" разлагается в ряд Фурье по кратным аргумента Ез — Я прн помощи коэффициентов Лапласа. Далее в этот ряд подставляется 2л значений величины Я, в результате чего получается 2л рядов, которые должны быть преобразованы в 2а рядов Фурье по кратным эксцентрической аномалии Еь Перемножая 2л значений величины № соответственно на 2п рядов Фурье для [1 — 2а сов(Ез — Я) + аз]-'л и на 2п рядов Фурье для [1 — 2Ь сох(Ех + Я) + Ьз] †'з, получим 2л рядов для (а~/Л)'. Имея 2п тригонометрических рядов по соз/Ез и з(п /Ез для (а~/б)', мы мажем с помощью гармонического анализа представить (а~/Л)' в виде двойного ряда Фурье по кратным эксцентрической аномалии внутренней планеты Е, и средней аномалии внешней планеты Мь Коэффициенты этого рида находятся методами гармонического анализа и вычисляются на основании ранее полученных коэффициентов.
Используя разложения для эллиптического движения и функции Бесселя (см. ч. П, $3,01), можно представить выражение (а~/Л)' в виде двойного ряда Фурье по кратным средних аномалий М, и Мм Глава 7 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ КООРДИНАТ й 7.01. Метод Хилла Дифференциальные уравнения для возмущений прямоугольных гелиоцентрических координат (бх, бу, бх, бг) и цилиндрических (бг, 6)„бх), использовавшихся Хиллом (2], [4], имеют вид — + — бх=Я, оо (6х) в , 2 3 3 ео(6У) [ И 6 шо г' о — + — 6х=(е, оо(63) И шо 3 о Е' (г.
аг) я + —,(г,бг) =(е„ го (4.7.01) 2 + 3 ( обг) От го (г х ) — ~ ()ьо(1+ й ( 2 2) ' — 2+ — обе=а., о(3 (аг) Н го (4.7.02) Так как подавляющее большинство задач небесной механики не относится к интегрируемым в квадратурах, для нх решения разработаны различные варианты метода последовательных приближений. В настоящей главе будут приведены основные формулы для вычисления возмущений координат взадаче одвияоении двух планет, причем ради определенности центральное тело будем называть Солнцем.
Аналитические методы вычисления возмущений координат излагаются в [Ц вЂ” [7]. 2 ГЛ2! ГЛ, Е МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ КООРДИНАТ 466 где ьг.= — ~+( —,. — —,)р . (4.7.0Э) Я,=2 ~ЙЯ+г — — — —,+ 2 аи ! д (аг)2 „(6,12 дг и и!' г2г 21'1с = — 2)х + — 2(у + — 22г дй дй дй ах ау дг дй дй дЯ г ! ау " ах ал Р =) (л22+ л2!). (4.7.04) г26г=д2~ д2ьГ,ей — д! ~ д.„г,),2(Г, ах =д2 1 д!02211 — д! 1 д2Ц.Ш, бу=д, ~ дфуЖ вЂ” д, ~ дЯуг11, ба=д, ~ дД,Г)1 — д! ~ дД,Ш, (4.7.05) где д2(г), д2(1) — два линейно независимых частных решения уравнения (4.7.06) г' (21 Интегральные соотношения (4.7.05) для бх, бу, бг содержат шесть произвольных постоянных (они входят в интегралы д!Аг„222, ..., ~ дД,Ш).
Возмущение гсбг содержит три произвольные постоянные. Однако имеется только шесть независимых Здесь Я вЂ” возмущающая функция, 1 — постоянная тяготения„ л22 — масса Солнца, л2 — масса возмущаемой планеты Рь гз, ХР— НЕВОЗМУЩЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Интегрирование уравнений (4.7.01) по методу Хилла дает для возмущений прямоугольных гелиоцентрнческих координат следующие интегральные соотношения: Ч. ~Ч, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !$ Т.о! произвольных постоянных, так как возмущения бх, бу, бг, бг связаны тождествами гобг =хобх+ уобу+ гобг+ — (бх'+буо+бгв) — — (г,бг)2, (4707) ! 2 2 го эхо о (бх) о«о 2 (б«) 422 и (62) и 2$ о! о! о! и! о! г г — +, гоЬг + + — ~( —,) +( — «) +( — ) ~ = — $ й')г. (4.7.08) Произвольные постоянные интегрирования могут быть определены различными способами.
Например, они могут быть определены из условия выбора оскулирующих элементов: (бх)о=о = О, (бу)о-о О. (Ьг)!-о = 0 ) (бх)ю-о=О, (Ьу)~ о=О, (бй), о —— О. )) (4.7.09) Ганзен предложил определять произвольные постоянные интегрирования не из условия «аскуляции» (в начальный момент возмущения координат и скоростей или возмущения элементов равны нулю), а из условия, что в формулах возмущенной теории могут отсутствовать те или иные возмущения. Например, в методе Хилла возмущение долготы имеет вид бк=С, + С«в+ г(в)пи, саво), где С~ и Св — произвольные постоянные интегрирования, о — не- возмущенная истинная аномалия, р — некоторый тригонометри.
ческий многачлен относительно о. Если бы С~ и Со определялись из условия оскулирующих элементов, то следовало бы написать для них уравнения (бк), о=О и (бк), =О. Если же С~ и Со определяются по.Ганзену, то лучше всего положить С| = Со = О. Тогда возмущение бк периодически зависит от о. Очевидно, что в этом случае элементы возмущенной орбиты, хотя и определяются уравнениями для оскулирующих элементов, на самом деле не являются оскулирующими. Ганзен предложил назвать этн элементы средними элементами.
Средние элементы получили большое распространение в аналитической небесной механике, так как они очень часто представляют астрономические наблюдения на больших промежутках времени лучше, чем оскулирующие элементы. Математический аспект введения «средних» элементов в аналитические теории движения небесных тел изучен в монографии-(36) $ Г.О!1 ГЛ.
Г. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ КООРДИНАТ 411 Если в качестве д!(1) и до(1) взяты частные решения I оо д! (1) = тà — Госозо, Р о о о)о (1) = т 1 —, з( О, ''1! РР (4.7.10) то возмущениям координат можно придать вид (4.7.11) где а — среднее движение возмущаемой планеты Рь а — большая полуось ее орбиты, р — параметр, Π— истинная аномалия, 6 — постоянная величина под знаком интеграла, которую после интегрирования надо положить равной о. Возмущения цилиндрических координат имеют вид ()г „'з!п(б — о) о(О, Г; (г+г ) бг — (Г+ оо) бг1 гоо — ' ()„!(Π— соз! ',, ' ~,, о(О, РР го — ао à — а (г,!", 'В!п (б — ) АЬ.
1 бг =— РР (4.7.12) бг =— го РР Интегральные соотношения (4.7.11) и (4.7.12) являются точными. Для определения возмущений по этим формулам применяется метод последовательных приближений. Для определения лишней произвольной постоянной следует воспользоваться равенством !(Ао а(бь) !( Г иго и(бг) ~ Г'— о а( И! =,((~а! = — ~ — бг+ 2!'о а! ) — 3 ~ !(')т — 2г — +— дР 1 Н (бг)о И (бг)' Гоà — — ~ — ) ((бг) — (бг) ) — — гобг — ~ — + 2 — ')— 1 ГИАХО 1 !((ба) Г а (Ао~ 2 ~а!) 2 о'! ~л! Ж) б= — '~ РР б= — "~ я бр= — "~ ().Гоое!Н(б-о) О, Я„Фш (б — ) !1~, Я гзз!п(б — О)4(о, Я Гоо!П(б — О) а!Р, ч.
оч, твоаия возмэщвнного движения !в коо Для получения возмущений первого порядка необходимо подставить в (4.7.12) невозмущенные значения координат н элементов (на это указывает нижний индекс «О») б г = ~ ~Хо+2га ~ го '( —" в!и ооХо+Уа) а(оа~ в!п(ба-оо)а(оа, б,Л= ~ ЦУ,г(о — 2 д' ~ Коа, б, =Г)г,в! (о,— оа) !о„ (4.7.14) где 2 7.02. Метод Ганзена Основная идея метода Ганзена состоит в том, что рассмотрение возмущенного движения планеты Р разделяется на следующие этапы: сначала можно интегрировать уравнения в прямоугольных координатах Ганзена (4.1.18) илн в полярных координатах Ганзена (4.1.43), т. е. сначала можно изучить возмущенное движение точки Р в плоскости оскулирующей орбиты ХУ (см.
рнс. 62). Затем можно рассмотреть уравнения, определяющие положение плоскости оскулнрующей орбиты ХУ относительно плоскости ху; далее в долготу (см. рнс. 63) необходимо внестн поправки, обусловленные движением оскулирующей плоскости. Для планет Солнечной системы эти поправки достаточно малы. Существо метода Ганзена состоит в следующем (подробности см. в [2]) Связь между сферическими координатами г, Ь, В и координатами Ганзена г, щ выражается формулами (см. рнс.
62) сов В сов (Š— Я) = сов (пг — о), соз В в)п (Ь вЂ” Я) = сов ! в!и (нг — о), (4.7.16) в(п В =в!и! в!п(аа — о). 'а дйа а 'д!4 га Ма Хо = — †. Уо = — —. Хо = — —. (4.'7. Гб) яр дго ' рр дло ' Нр дно Формулы для возмущений первого порядка (4.7.14) написаны прн условии, что за основную координатную плоскость выбрана плоскость невозмущенной орбиты (! = 0', зо = О). Подробные рекомендации, необходимые для использования метода Хилла, можно найти в [2),[28].
3 а м е ч а н и е. В качестве переменной интегрирования можно принять не только истинную аномалию возмущаемой планеты о, но и другие переменные, например, время ! илн эксцентрическую аномалию Е. 414 Ч. ИЛ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ и 7.ОВ где Са, С вЂ” произвольные постоянные, л л, л т, ~О ))У = — 1 + 2 — — — '+ 2 — — ' $ соз па + 2 — — ' ц з(п ам (4 7 22) л, л л, ао ло ао причем 1( + ) )(,+т) а.! ~О»О ма 1 у 1 ад е аоВ (х — ао) — е, ао й 1 (а~~ + ~а) 1 (гад + м ) г д аа у'! — ез а 51п (х — ар) В (4.7.24) рз и ма — те же самые функции от Ь, что и гз и оа от г. г Ы)Р~ В (4.7.21) величина ~ — ) означает производную )Р' по ь, в которой после дифференцирования Ь заменено на г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
