Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Решение интегральных уравнений (4.7.20) и (4.7.21) возможно получить методом последовательных приближений, В первом приближении г и у определяются из соотношений паг пат+СВ+ ~ )))'аюВЮ. (4.7.25) У=С вЂ” — ~( — „')И, где йта= — 1+2 — — — + 2 — — $созв+2 — — т)з1пат.
(4.7.26) ла " Р л р л, л л, а, Ьц а~ (4.7.23) Величины й, $, т) можно рассматривать как некоторую систему оскулирующих элементов. Величина т (см. рис. 62) представляет долготу мгновенного перигелия, отсчитываемую от оси Х. гаагх Выясним смысл величины ~ — ~, входящей в равенство ~ ц! (4.7.21), Функция (Р зависит от времени 1 двояким образом: через посредство параметров га и оа вспомогательного эллипса и через посредство оскулирующих элементов. Обозначим «первое время» через т, а для «второго времени» сохраним прежнее г лат ъ обозначение С Символом ~ — ! будем обозначать производную ~ лт ! по т функции )Р(1) = )у'(т, 1), рассматриваемой как функция двух переменных т и С в которой после дифференцирования т снова заменено на С Обозначим г, а, г и у, рассматриваемые как функции т, соответственно через р, ы, ~ и б.
Тогда 1Г(г, о, г, у) = %" (р, а, Ь, б) = (4.7.24) = 2 — — — — 1 + 2 — — ' 5 соз аа+ 2 — — Ч з)п ма. л, л ло ар 4 кше гл. х методы вычнслвння возмлцения координат аш где Р=з(пЕз(п(п — йр), д=-з(пЕсоз(о — Яр) — з(пЕо, х = 1 + соз Ер сох Š— з(п Ео з(п Е соз (о — ЕЕо).
Вспомогательная величина Г определяется из соотношения. Г= (Р" ЕЕЕ, -О 'зт,т~ в котором (г" — компонента возмущающей силы, перпендикулярной к плоскости оскулирующей орбиты. й 7.ОЗ. Метод Брауэра Пусть основная координатная плоскость Ррху совпадает с плоскостью невозмущенной эллиптической орбиты, причем ось Ррх направлена в неподвижный перигелий, ось Р,у направлена под прямым углом к Р,х в направлении движения возмущаемой планеты Р, ось Р,г дополняет оси Ррх и Рру до правой тройки. Следуя Брауэру (2), обозначим через хо.
уо. гм хо, уо, го (га = О. га = 0) невозмущенные прямоугольные координаты и компоненты скорости возмущаемой планеты Р. Они зависят от времени и элементов орбиты. Тогда возмущенные координаты и скорости представляются равенствами х=х,+Ьх, у=у,+Ьу, г=бг, 1 х хо+Ьх, у=уо+Ьу, й=бг. / 4.7.28) Здесь р и го — эллиптические значения, зависящие от невозмущенной средней аномалии. 3 а меча ни е.
Вычисление возмущений высшего порядка в г и т подробно рассмотрено а (2). Для решения этой задачи необходимо прежде всего выразить функцию (р' через компоненты возмущающих снл, далее нобходнмо получить явное выражение для %' как функции оскулнрующих элементов н параметров вспомогательного эллипса и, наконец, выбрать удачную независимую переменную интегрирования. Чаще всего — это время или эксцентрическая аномалия возмущаемого тела.
Как и в методе Хилла, важно установить зависимость между постоянными интегрирования. Неизвестные величины з, А, ~р определяются из равенств з = У з Еп (гв — Ио) — Р соз (ш — Яо), ~ Аз(п~р = — „, Р ) (4.7.27) А соз <Р = Ей Ео+ я р ! ч. (1(. тео»ия возмущенного движания 14 коз 416 Уравнения для возмущений прямоугольных координат имеют вид Г(б*( 2(,.ббг( „*, бд дза 3 Га здх Г(б ( 2((Х(бд( д дд ,12 + з з дз (бг)» бг дЛ (Из + (з дг (4.7.29) или (х, Ьх + уо Ьу) = (зхб (хо Ьх + у, Ьу) = згу, =Ох, дд (бх) дзз дд(бу) доз З»х, в О З»уо + »бх гз о +— »бу го »бг + "а (4.7.30) в о дд (бг) доз дЯ Г/9 хо 15 хз'1 0„= — + )з ~ ~ — —, — — —,~ (Ьх) + дх 2 гов 2 га з + ~3 —, — 15 —,) Ьх Ьу + Уо хоуо а дг 3 хо !5 хауа ~ 3 ха + ~- —, — — 2~ (Ь,) +- —,(Ь,) + ... 2 2'О 2 Га 2 Го дМ Г~З Уо 15 хоУО~ а„= — +»11 — —, — —,1(б )'+ ду 2 га 2 го о ауо + ~3 — — 15 — ~ Ьх Ьу+ о гг а ГгЗ уо 15 уз о1 3 уа + (,— — — — — ! (Ьу)'+- — (Ьг)'+ ..., 2 гв 2 го г2 гав дд Г З(хо бх+ УОЬУ) 6 — + рбг + Ь (4.7.31) которые будем называть уравнениями Браувра, Функции 22, (зг и 6, в (4.7.30) равны соответственно Рассмотрим однородную систему, соответствующую первым двум уравнениям Брауэра: с (бк) (г бх З(гхо (ха бк -(- уо бу) д( о д Фу) (гбу Зиуа(ход»+Уеду) 0 (4.7.32) ,((о Га о ГО о Третье уравнение системы Брауэра принципиально не отличается от третьего уравнения в методе Хилла, поэтому вычисление Возмущений бз можно вести по четвертой формуле (4.7.11).
Общее решение системы (4.?.32) имеет вид (2] +с,— +с,—. 1 дка дхо дс, дса ' +с,— +с,—, дуо дур дог дс, ' дхо дха Ьх=С,— +С,— дог дс, Ьу с! д +Сод дуо дуа 7 дог о дс, (4.7.33) где сп со, см с,— любые четыре ние в плоскости эллиптической вольные постоянные. Очевидно, ы=с,— +с,— дха дяо дог дог ЬУ=С,— +С,— дуо дуа дог дс, элемента, определяющие движе- Орбиты, Сь См Са Со — произ- что +с,— +с,—, дха дхо дог дсо ' +с,— +с,—. (4.7.34) Для интегрирования уравнений (4.7.30) Брауэр применяет метод вариации произвольных постоянных.
В результате полу- чается дхо Ьх=— дог ~ ( — АХ7+ — сА4,)Ж+ дуа Г ~О» Ос (4.7.35) дуо бу =— дку (4 Пад род, Г. Н. Дуааогиаа $7 оо! Гл 7 методы ВычислениЯ Возмушении координдт 4)7 Ч. !Ч ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 4)8 (з коз где якобнан 7 равен д (х„у„З„У,) (4.7.36) д (с4, с„ со, с4) ' а Аез — алгебраическое дополнение элемента якобиана с индексами з и й. Для вычисления бх н бу необходимо заменить хо и уо через хо и уо в производных, стоящих перед интегралами в (4.7.35), В качестве элементов эллиптической орбиты сь сз, со, с, можно, например, взять Ла = по(+ ео — — па(+ с„ СЗ=!.О СЗ=Ч!М С4=Ь!О, Е' где йа е!а, Чсо, Ло — невозмущенные значения канонических элементов второй системы Пуанкаре (см.
(4.3.23) и (4.3.25)), во = по+ Мо При таком выборе с! якобиан Х = 1. Встречающиеся выше алгебраические дополнения равны дк, Зр' дк дк д)., С.,' дЛ, ' д).о ' дх, дх, — АО4 = —. до!а ' О4 — дс(,а дЛО Ла дЛО дхо дуо дуо — А„= —, дй!о ™ дЧ!о Аз! = (4.7.38) где [ЗЛΠ— [й!а + Ч!О))' ха 4 (! ( е ) сОЕ оа> [зьо 1Е!о+ Ч!О)з 444(! + Ос сов оо) эти„ )4 = ((пго+т), по — невозмущенная истинная аномалия. Эаметим, что в выбранной системе координат Р,ху — угловое РасстоЯние пеРЯгелнЯ О!О = О. Четыре произвольные постоянные интегрирования определяются чаще всего из условия «средних элементов» (см.
$7.01). Ч. Ю. ТЕОРИЯ ВОЗМЛЦЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [$ 7.04 420 Уравнение (4.7.44) имеет вид —,+ —,=Я, Д'Е е)~ Г~ ~(Г) (4.7.45) (4.7.46) Функции ~71(С) и де(1) даны в $7.01. а соответствующее ему однородное уравнение имеет вид (4.7,06). Интегрирование уравнении вида (4.7.46) рассмотрено в 5 7.01. Можно написать, что ор — 1 дЩ Ж вЂ” 1 Г)2с1сй. ч (О 1 41()) 1 .Г~ 5' о о Глава В АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ Наряду с методами вычисления возмущений н координатах в небесной механике и астродинамике широко используются различные способы вычисления возмущений н оскулирующих элементах путем приближенного интегрирования уравнений для оскулнрующих элементов (см.
гл. 3 и 4). Некоторые из этих методов излагаются в главе 8. Другие способы можно найти в (Ц вЂ” (7]. $8.01. Общий вид возмущений элементов. Порядок, степень, ранг и класс возмущений В главе 3 приведены дифференциальные уравнения возмущенного движения, записанные для различных систем элементов. Интегрирование этих уравнений выполняется либо методом последовательных приближений, либо при помощи рядов.
1!усть 5 — один из возмущенных элементов. Если обозначить через ~ч его невозмущенное значение, а через 6$ — возмущение, то (4.8.01) Если бс определяется с помощью метода рядов, то будем иметь (4.8.02) О п р е д е л е н и е. Величина бьс, пропорциональная произведению степеней возмущающих масс, сумма показателей которых равна й, называется возмущением й-го порядка, ч.
!ч. теогня возмгщенного движения [3 вм Множитель при произведении степеней масс в возмущении б!Д в общем случае состоит из слагаемых вида соэ ((г л) ! + яо) '8)(о Ф! ь, ь (гь и) '(гм «) ' ... (гм и) ч (4.8,03) где (з, ) — ХФъо (з!, и) — Х~!пп„..., (з,, п) — Д'зщп!! ! ! ! ! ! ! $8.02. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений первого порядка При построении аналитических теорий движения небесных тел коэффициенты вековых возмущений должны вычисляться с большей точностью, так как влияние этих возмущений пропорционально различным степеням времени (. Для вычисления вековых возмущений первого порядка Гаусс разработал метод, пригодный для любых орбит эллиптического типа [4].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
