Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Зтот метод обладает двумя достоинствами; а) вековые возмущения вычисляются независимо от других возмущений; причем А — постоянный коэффициент, пь ..., и — невозмушенные средние движения взаимодействующих тел, р, й!, Йм ... ..., й,— целые неотрицательные числа, Яз — одночлен, целый относительно невозмущенных эксцентриситетов и синуса половины взаимного наклона, з!!1, з!", ..., з'и — целые числа.
О и р е д е л е н и е. Степень одночлена й)(г называется степенью возмущения б!Д. Определение. Разность й — р называется рангом возмущения бьс. 1 1 О и р е д е л е н и е. Число й — — д — — р, где д — сумма всех 2 2 встречающихся в данном слагаемом чисел й!, ..., Йч, называется классом возмущения б!Д. Возмущения можно разделить на вековые, смешанные и периодические. Возмущение называется вековым, если оно содержит время 1 лишь в виде степеннйх функций.
Если некоторое возмущение содержит произведение степенных и тригонометрических функций времени 1, то оно называется смешанным. Наконец, если возмущение состоит только из тригонометрических функций, то оно называется периодическим. Более подробно об этом можно прочесть в [6]. В 2.221 Гл. а. метОды Вычисления ВозмУщении элемснтОЕ 423 б) в процессе вычисления не используется разложение возмущающей функции. Пусть оскулирующие элементы р, е, (, 42, оа, т определяются из дифференциальных уравнений Ньютона (4.3.09) для двухпланетной задачи. Обозначим через ир„и„ан ао, а„, а„коэффициенты вековых возмущений первого порядка элементов р, е, (, И, оа, т соответственно (см. (4.8.03)), Тогда имеем (4.8,04) ! 22 а Здесь М, М, —.невозмущенные средние аномалии возмущаемого и возмущающего тел. Под знаком интегралов в (4.8.04) оскулирующие элементы принимают невозмущенные значения.
Точность вычисления коэффициентов вековых возмущений ао, ..., а, опРеделЯетсЯ точностью вычислениЯ опРеделенных интегралов, входящих в формулы (4.8.04). Эта точность может быть сколь угодно высокой. На современных вычислительных машинах подобные вычисления не вызывают никаких трудностей. а о а ! 4ло ~ о 22 а = —,~ 22Т НА а(МО о ае ~ ( з)по ° Я+~созо+(созв+е) ~1 Т)~г!МйМО о — ' соз и У (М (М„ Р а — з)п и созес ! ° Ф г(М 2!МО а Р 2И ~ ~ — — "," 3+ — ",""()+ — ,')~т— о — — з!п и с!И ! ° "ует г!МИМΠ— чг — ~(ейе)пв — созо)3+ 1 ~П р /рг е У' и а + — 'Ит1 — ,', !Мамо Ч.
!Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕИНОГО ДВИЖЕНИЯ !2 злз $8.03. Метод Лагранжа определения вековых возмущений в двухпланетной задаче Ь, = е, 81п П„р,' = 1п 1, в)п П„ Ь,=е,совПт а,=1пз,совИ, (э=1, 2), ! кото ые часто называются элементами Лаграняга. ля этих элементов, используя вековую часть возмущающей функции (4.6.2?), выписанную с точностью до вторых степеней о, е„ег, можно написать следующую систему дифференциальных уравнений: ал! 2)таМ 21!Лзр — = — Ь вЂ” — Ь г ! г гю ег па, л,а, НВ! 2)тзМ 2)тзР— = — — Ь+ — Ь ег л,а, л,а, з ! г г~ ар1 2)тзМ 2)тзМ Ч + Ч аг л,аг л,аг Ед! 2?тзМ 2)тзМ Р Р ат л аг л а, алз 2)т!Р 2)т!М вЂ” — Ь,+ — гй„ а! л,аг л а ~йр 2)т! Р 21т!М вЂ” = — Ь! — —,Ьг.
аг л,аг л,аг арз 2~тьЧ 2!т!М Ч! г Чг л! л аг л аг аа 21т!М 2)т!М аг л.а' Р! + ! Рг л.а (4.8.06) где — ! а! и! — ! а! !я У = — — Ьз . Р = — — ' Ьз . 8 аг 8 аг 3 (4.8.07) а а, < а„Ьз, Ьз — коэффициенты Лапласа. !и гл Введем вместо оскулирующих элементов е!, еь П!, Пь зз, зг, Иь Пг планет Р! и Рг новые элементы: г В.ОВ) Гл. В. методы Вычисления Возмущении элементОВ 425 Система (4.8.06) является линейной системой с постоянными коэффициентами, и ее общее решение можно написать в виде [2) = [М! В1п (Л(1+ й)) + М!1 ! В(п (Л 1+ 6 )], а, з)т!и! [М(ц сов (Л,1 + (11) + М'," сов (Л?1 + О,)], а, ((т!«1 [Мг в1п(Л!1+О!)+М?РВ(п(Л,(+()г)], «2 «!21!2 [Мг() соз (Л,1 + 8!) + Мг(г' сов (Л?1 + (1 )], а! т?«2 [1.'(ц з!п 1)1 + Ь! В1п (игг + уг)] „ а! з/т!«1 [ь1~" сов у, + ь(1" сов(игг+ у,)].
а, з/тгп! [Ьг $!П '?1 + Ьг Б1П (?~1 + ?г)] г а? а!2«! [г г СОЗ т) + г г СОВ (Хгг + Уг)] а? З(тгпг (4.8.08) Р)— где Ль Лм и! = О, иг — корни вековых (характеристических) уравнений и?+2~И( — '+ — ', )Н=О. (4.8.10) ),п,аг п,аг 1 Произвольными постоянными а Общем решении (4.8.08) можно считать 81„81, М1, М), у), уи 81, Ь! г а остальные величины (ц !г! ш (г) определяются из соотношений 2(Р / тгпм , и) „[г) а!а! ?( «111, 2,"Л!т, ? пг«1 2!)7т? Л~Н г (В 1«1 21)((,~/ т!т! а,а, ««!и, 2(Р / т!т, гиц (ц а,аг '?1 п,п, Мг =М) 2(Фт ! — — Л1 п а? ) (4.8.11) г !ц г Н! «г гг тгпг 1'.г = с'.1 а! «)т!и! Из условия и) = 0 следует, что в даухпланетной задаче существует решение, при котором плоскости Орбит планет совпадают (11 = (г, 111 = Яг).
Заметим, что иг ( О. ч. пх тиовия возмтщенного движения !э км й 8.04. Основы метода Делоне Для решения основной проблемы (см. гл. 10) теории Луны Делоне [2), [29) разработал метод решения канонических уравнений движения, получивший в литературе название «метода Делоне». Метод Делоне был видоизменен Цейпелем, и здесь мы изложим основные формулы «метода Делоне — Цейпеля» [2), [30[. Пусть уравнения движения небесного тела записаны с помощью канонических переменных Делоне (4.3.2!) и имеют вид (4.3.22).
Гамильтониан системы Й' выражается через возмущающую функцию )т (см. э 3.07). В основной проблеме теории движения Луны разложение возмущающей функции Р в виде явной функции элементов Делоне представляется четырехкратным рядом вида 6 !1= ~ ~ ~~', ~"„, Аю, м р,соз(р,!+р,д+рзй-[-р«й), ж «Р=' Р Р~= (4.8.1 2) где 1, д — элементы Делоне, а через Ь обозначена разность элемента Делоне и долготы перигея орбиты Солнца, й — средняя аномалия Солнца.
Функция !1 зависит явно от времени посредством средней аномалии Солнца К поэтому вместо канонической системы шестого порядка (4.3.22) Делоне и Цейпель рассматривали каноническую систему восьмого порядка: и!. и' щ О! «0 дР щ дд НХ дР— !! (4.8.13) ан дД') и — аэ лд и' ч! за' дС 3 а м е ч а н и е 1. Изложенный метод решения дифференциальных уравнений для элементов Лагранжа (4.8.06) получил в специальной литературе название «метода Лагранжа вычисления вековых возмущений», хотя, как видно из общего решения (4.8.08), элементы Лагранжа изменяются периодическим образом.
Это объясняется тем, что в уравнениях для элементов сохранена лишь вековая часть возмущающей функции с точностью до вторых степеней малых величин. 3 а меч ание 2. Метод Лагранжа допускает простое обобщение на случай п-планетной задачи, и изложение этого вопроса можно найти в книге [2). Можно показать, что для всех планет Солнечной системы, кроме Плутона, все корни Х положительны и различны, а все корни я отрицательны и различны, кроме одного, равного нулю, $ З.О41 ГЛ. З.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ 427 где (4.8.14) (4.8.16) дз д2( т — среднее движение Солнца. Уравнения (4.8.13) отличаются от (4.3.22) тем, что их гамильтаниан г не зависит явно ат времени. Основная идея метода Делане заключается в том, что с помощью некоторого канонического преобразования переменных из канонических уравнений исключаются наиболее влиятельные члены. Заменим гамнльтаниан г" в уравнениях (4.8.13) приближенным значением Р( Р—,2 — ЧК + Азль о, о + 411 соз 6, (4.8.16) где 8 = Р(1+ Рой+ Рзй + Р(й Гамильтониан (4.8.16) отличается от (4.8.14) тем, что в (4.8.16) сохранены лишь два члена разложения возмущающей функции (4.8.12) с коэффициентами Ао, о, о, о и ('„((=Ар„р,,р„р„где р(, рь рз, р, принимают конкретные значения. Оставленный единственный периодический член в гамильтониане (4.8.16) имеет относительно больший коэффициент, чем все другие отброшенные периодические члены из (4.8.12).
Ради симметрии введем обозначения — 7'ю ~ 2 — ~, ~з Ою 7.4 Кю (4.8.17) 12=а, ),=й, (,=й, ~ ро = ~~~ т(-4, Р( = Ао,о.о,о + Ф соз 8. (4.8.18) Р=Ро+ Рн Тогда вместо системы (4.8.13) рассмотрим уравнения — — — — — (й = 1, 2 3, 4). (4.8.19) Жз дР Шз др дз д(з ' д! дг.з Вместо прежних канонических переменных ('2.2, 12) с помощью производящей функции 8Ф(, 7.2 „7.2 . Й~ , '1ь 1м 1з, 11) (В (П (П (1, введем такие новые канонические переменные 7.2, 12, чтобы в преобразованных уравнениях гамильтониан был бы функцией талька 7.1пэ 7.2пу 7.3"> 14п.
В теории движения Луны функция Р, имеет множителем малый параметр )( = уз(лз (отношение квадратов средних ч. пе теория возмищвнного движения (4 ОМ 428 в котором член Я; пропорционален У. Новый гамильтониан можно также представить рядом У' (4» и) Е(1) Е(1) Е(1)) К Р' ( го) )=о С точностью до членов второго порядка относительно Х вклю. чительно новый гамильтониан и производящая функция выра- жаются формулами Яо «! 11+»212+Е212+«4«(» 0)п Я,= (, в!пВ, Р»в + Р4(» («1 ) дАОООО о Я2 [ 2 Ур) 1) в)пе+ (р,л + рот) -' дЕ) 1=1 | 3 в(') р20(1) ! (4(11) ~4 др( ~ Е(11) (р(В(1) + р 4»)2 4 (р и(!) + Р44») 4-4 дЕ(1) Е(1)» дАо.о,о,о дАо,о,о,о ~ д(«1 д()1 ~ дЕ(п дЕ) |,, и* дЕ(') дЕ) ~ 1 ! '4=4) Е;Е11) (4.8.2 1) Ро= ° 1»«4» Р~ П1 2Е( ) г( = Ао, о, о, о (ЕР, «2(п, Ео(п, 4» (40) 8 в(1) р',0о)' ! 01') ~, аЕ, 4 Е)1) (р)в(1) + р44») 2 Р,в('1+ р(ч ~-' дЕ(1 ) По аналогичным формулам можно вычислить и приближения более высоких порядков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
