Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 63
Текст из файла (страница 63)
)ч. твовия возмущенного движения 398 (344)в) 20) — 29с — (бс'+15! АШ+( 5+4!+12.г 8.)) с!А')+ 4 Ыа ! — 18с+!2) с( А(') а)А" дс асА(с) + аг — +(2 — 2))а',—,+ — с —, 2 с(а, с(дс 4 с(д~с (352) = 4 А+ 0) 20бс — 187Р -1- 120Р (с) — 1б — 59с — !8Р— 8с с(А~ ) 8 + 13! + 4(г с(гА(с) 3 2! с(з 4(П дс с(4 !0) + а,, + — а,—,, + — —, 4 с(а, б ' с(а, 24 с(асс ,.) 38 — 25! + 4Р (с с) 7 — 2) с(асс и а'; с(~В(~ (358)п) = В' + — а, + — ' 4 2 с(ас 4 с(д~ с(ВП с) аг с(~В(~ (362)") = 1,5) — 21 ) Вп ' + ( — 3 + 2!) а, — —— с(ас 2 с(ас ,) 5) + 4Р и с) — ! — 2! с(В(' П аг ЫгВП 4 2 с(ас 4 с(ас (372)(с) 3 С(с-и 8 (376) ' = (0 — 2!! + б! (с-г) 9 с(С( ) 3 с( С( С + — а,— — — а'— 4 4 с(а) 8 с с(агс Величины А(), В(')„С"', Е", 6(), Еп' выражаются через коэффициенты Лапласа Б(с'), Ь(з'), Ьз(') (см.
$5.08) и даются формулами Ь(с) А (н с Ф а, и] (с) ьз В а, (с) 09 ьз С д Ф с "с)=-~В(с П+ Вп")Х Т 6') = — (С( ')+ 4С(')+ Си+ ~з, 3 8 (4.6.!7) ь(с) гС(с-г) ! С(с)з 4 (аг < а,). Для отрицательных значений индекса с имеем соотношения А( ) = А()~ Е( с) = Е( )ю 1 В ')=В ), 6 ')=6 ), С(-п Сп) у (-с+г) Е(с) (4.6.18) В разложение (4.6.15) входит также дополнительная часть возмущающей функции !'сн)В(, с. Ее полное разложение имеет гл.
я. нйзложение аозмгщйюшги эгнкции % 6.0г! причем а, =1, — Ми й,=1г — Мг, а = ай+ т~ — тг, (4.6.20) где М1 и Мг — средние аномалии планет Р, и Р,. Коэффициенты А и В определяются по формулам Ай',~=Й,Гй, 1(Й,е,), Ага=О, о) гй,-1 (йгег) ~и я Ай, = Аь = — — е,, йг ' 2 В~, =Й11/1 — е~ 1й, ~ (Й,е,), ВР) /! г ~й,-~ (~Фг) й, <г> 3 / Вг = — — егч1 — ег, 2 (4.6.21) вид тт(л = — ', сов (а — й~) Х 2а~' Ю Х ~ ~~~ !лАй,Ай, — В1,Вй,~)сов(Й,М, +ЙгМ,)+ й= аюй -1- (АйнА~, + Вй, Вк,) соя(Й~М~ ЙгМг)! Ю вЂ” "г я!п(а — й,) ~ ~ ЦАй ~Вй,' Вэй',~А1~) в!п(Й,М, + Й,Мг)— 2а й,=-ю й~=-ю — (Ай~~~Вйаи + В~,~А1,") Я!п (Й~М, — ЙгМг))в — ! в!п (а — т,) в(п (й, — т,) А),',~А1~~— а', й, — й~= — а — сов (а — т,) сов (й, — т,) Вй~Вй,'1 сов (Й~М, + ЙгМг) + + ~~ ~ (я(п(а — т,) я!п (а, — т) А)пАй! + й,=- й,=- + соя (а — т ) соя (й, — т,) Вй', В)Д сов (Й,М, — Й,М ) + ! я!п(а — т,) соя (й~ — т,) А1~В~й~+ й;-- йа-- + сов (а — т,) я!п (й, — т,) В11АД в!п (Й,М, + Й,М,) + (я(п (а — т,) сов (й1 — т~) Ай, Вйд,~— й,=- й, — сов(а — т,) я!п(й, — т,) А1','Вй,1 я!и (Й,М, — ЙгМг)), (4.6.19) ч.
(у. теОРия ВОзмущеннОГО дВижения И 0.02 В формулах (4.6.21) е( и ед — эксцентриситеты орбит, 72, (, 72, ( — функции Бесселя. Чтобы получить разложение Ж,( с точностью до четвертых степеней малых величин, необходимо, пользуясь разложениями для функций Бесселя (4.5.60) с точностью до гс, вычислить и подставить их выражения в (4.629). Все остальные слагаемые в (4.6.19) должны быть отброшены, так же как должны быть отброшены все слагаемые, порядок которых больше четырех, получаемые в произведениях А1",Адд' и т. д. Чтобы получить разложение дополнительной части возмущающей функции 1«2,2 для планеты Р(, необходимо в разложении (4.6.19) для )((, ( заменить все индексы «1» на «2» и, наоборот, «2» на «1».
Замечание. Если необходимо иметь разложение возмущающей функции в других элементах, для соответствующих преобразований следует воспользоваться либо формулами (4.3.17), либо (4.3.21), либо (4.3.23), либо (4.3.25), $6.03. Разложение возмущающей функции в случае произвольного взаимного наклона Разложение Леверье, приведенное в $ 6.02, выведено прн У условии, что о = з(п — — малая величина.
Для произвольного 2 наклона (О ( а < 1) разложение возмущающей функции двух- планетной задачи получено Р. А. Ляхом [126] (случай круговых планетных орбит е( = ед —— О) и Б. К. Мартыненко (12?) (случай малых эксцентриситетов) . Разложение Б. К. Мартыненко для возмущающей функции )(( (4.6.02) дается соотношениями е еа и~ еь 21 ее а, — ' ~~ а ~' ~ е('ед' ~ ) ~ ~ л(,1,($„'д,(а юсае(ш,+ ес 2 с=де„— 0 (=0(О! -м Д,=-е, Де -ее +(ге+0,м,+д,м,ь 1 = ! у ~ = нг (шод 2), и = —,' < 1, у О2 12 =1 — о'. (4.6.22) Суммирование по 1 начинается с нуля, если т — четное число, и с единицы, если т — нечетное, В (4.6.22) М(, М2, й(, 7.2, как и раньше, — средние аномалии и долготы возмущающей и возмущаемой планет, а( — большая $ 2.231 Гл. 6. РАзлОжение ВОзмущАющей Функции 4О1 полуось орбиты возмущающей планеты.
Долготы отсчитываются от точки пересечения орбит. Для коэффициентов разложения (4.6.22) имеются соотноше- ния А1,'1,"2,*,"2,(ч, р)=Р!',).'2,,*'А,а~ !! ! (У, )2), (4.623) где а2„2,(ч, )2) =йф, а2,,~2,(У, )2), 1 при й!Ф 2. ( 2 — при и! = —, 2 ' м! ~2 ( — 1)Р'(222 — 2Р!)1 а1;;!2,(ч, Р)= ~~,, „,, „„Х р, 2 (4 6.24) А-р, х 222-22~ — 221-2>+2! 22,+2;2, (Р1 + Й! Й!) 1 (22 Й Р! Р1) 1 Р11 (2! Р! + Р1) 1 (4.6.25) р,=р Ссмииндексный параметр р;,'1,'2„*2, выражается через операторные полиномы Ньютона по формулам ()1.), 2„2! =ПА ((, — л2 — 1) ПА,(1, п2), (4.6.26) где и'(, 1)= — ', П'(, 0).', 2 ~2-2, П.'* =Е(ЕР"')" А,=а ! 2 д 12 —— д )п а р," „" — численные коэффициенты полиномов Ньюкома.
Так как выражения (4.6.26) являются алгебраическими полиномами, а не рядами относительно О, разложение (4.6.22) сходится при любых 0 = о ~ 1, лишь бы и (! и эксцентриситеты е„е2, были достаточно малыми. Замечание. В Я 6.01 — 6.06 приводились разложения возмущающей функции для двухпланетной задачи. В задаче о движении и планет (л ) 2) можно пользоваться теми же разложениями, так как полная возмущающая функция для любой из планет складывается из нескольких возмущающих функций для соответствующих двухпланетных задач. м км ч. пн твогия возмтщвнного движвния 402 2 6.04. Вековая часть возмущающей функции в двухплаиетиой задаче Вековая часть возмущающей функции — это часть разложения возмущающей функции, не содержащая периодических членов, аргументы которых суть средние долготы или средние аномалии.
Можно доказать, что дополнительная часть возмущающей функции Я; 1 или К,т) не содержит вековую часть. Таким образом, вековая часть возмущающей функции появляется в результате разложения в ряд главной части возмущающей функции о-'. Полное выражение для вековой части возмущающей функции имеет труднообозримый вид, хотя с помощью гипергеометрического ряда и разложений Кали (27) принципиально может быть выписано. У Леверье [25] выписана в явном виде вековая часть с точностью до седьмых степеней эксцентриситетов У и величины о=-з(п —. 2' Ниже приведено разложение вековой части возмущающей функции с точностью до четвертых степеней малых величин Йь век М1 ( (1) + (2) ( 2 ) + (3) '( 2 ) + (4)' ' Я + + (6)' '( 2' ) ( 2" ) + (6) ( 2 ) + (1 1)' ' о~ + (12) ' ( 2" ) о' + +(13)е~ (2' ) от+(17)~ ~о'+((21)~ пЯ®+(22)~ '( — ')(ф) + +(23)' '( — ') ( — ')+(27) Н(=)от)соз(а,+Я,— а, — 11,)+ +(31) ' Я ( — ') соз(2а,+ 20,— 2в, — 212,)+ +(36)кч ( — ') о'соз (2в,+ 20,— 20, — 2)Ч,)+ + (40) ' ( — ') Я о' соз (я, — 1г, — 2Ж, + я, + 0,) + +(44) ~ ( — ') отсов(2а, — 2Ф,) ~.
Как и раньше, нижний индекс, относится к элементам возмущаемой планеты, а индекс 1 — к возмущающей. Коэффициенты предыдущей формулы даются соотношениями (1) ка 4(0) 2 елее в; е~л~в (2)са = (3) = а, — + — —, на> 2 Иа~~ $6,041 ГЛ, 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЕОЗАЛУЩАЕ>>ЦЕН ФУНКШ!И 493 4>А!О) 9 дг 4!0) 3 ЕЗА!О) 4 4>ЯА!О) (4) = За — + — а — + — а — + — —, (0) 2 3 а! аа, 2 ' даг! 2 ' Ыа", 8 да', ,)А!0> дгА!О) дЗА!0) д4 ЕЛА!О> (Б)!0> = 2а> — + 7аг — + 4аз —, + — ' —, 4>а> да~ да!' 2 4>д) ЕА41) дгА!11 дгА(1) дЛ 424 4(1) (22) = — 43А — 2а, — — Ба, 2 — Ба, — „ ! 1) [1) 4)а! да; ' 4>а"1 2 да, а а~А!~) 1 2 4)а! Дг (В40> + В)Ч 4>а, и)А!21 а4 ЕЛА!2> 1 (36)~ ) 2 2 4>а! 4 4>а) (40) ! ЕЗА10), 4 ЕЛА10) (6) = — — + —— <01 ! ! 2 4>а! 8 4>а41 (11) = — — э !о> В!') 2 4о> дВ1!) аг,>гВ>1> (12)!~ =(13)' '= — а, — — — —,, а) Да! 2 да, (17)>~) = — ) 2С!а + Са>з.
8 (21)! > =2А — 2а, — — а',—, !О ОА4~) 4>2А4~) аа ' 4>аг! аА!1) агА!'> 4~А!') (23)! 1> = — 7а, — — Баг — За' да 1 адг 1 ад! 1 1 д [В!" + В! '1 аг (27)~ ) = — |В! + В~~1+ а! + Ыа! 2 4>А!2) 3 а~А!~) (31)Л-~ 2Аа) За + аг + 2аз 4)а! 2 ' аа~! В') а 4>В!') а дгВ!') 1 1 +' (О) а> дв)0) '- 4>гв!О) = — а,— — — —, да! 2 4>д> 42) Л>) 3 3 ЫВ!1> д' Ы'В!1> (44) = — В + — а, — — +— 2 2 Да 4 4>а, — 1+ — — 4 да,) 4 йю) ч, пп твоэия возм)щвнного движения 404 (Ь О,ОО Приведенные формулы выражаются в конечном счете через коэффициенты Лапласа, так как ьп) Ап' = — ' а( (и ьь') В д ° 1 Коэффициенты Лапласа Ь(О) зависят от а = —.' (! и выра«( жаются формулами (4.5.94) — (4.5.96).
С точностью до вторых степеней малых величин г), га, о вековая часть возмущающей функции (с точностью до множителя )и)() выражается равенством + — е, га (2А( — 2А()') — А)О)) сов (П, — ПО). Пользуясь соотношениями (4.6.!7), можно выразить вековую часть возмущающей функции через коэффициенты Лапласа: 1 Ь(О) 1 а (1) ОО+ еОО д ((Ь1~) а ((~ь)(О )(О 1»ек о 53 + 1)2 + )+ 2 а, 2 а, 8 ч а, ад а, ((д1л в ОО /2Ь)1) д ((ьр дО нйь11) 1 + — (- ~ — — 2 — — — — —,) сов(П, — П,). (4 6.27) а, да а, ((д1 Лагранж показал (см. $8.03), что уравнения для оскулирующих элементов, в которых возмущающая функция заменена основными членами вековой части (4.6.27), легко интегрируются. 0 6.05. Численные методы разложения возмущающей функции Хотя аналитические методы разложения возмущающей функции и наиболее общи, они, как правило, весьма громоздки.
Особенно трудоемким делом является использование аналитического разложения возмущающей функции при достаточно больших значениях отношения да/а( (например, в случае «Земля — Марс» и ж 0,6). В таких случаях целесообразнее строить разложения возмущающей функции численными методами (методами гармонического анализа). (О) А ь, У а, (О) ЬЗ (О> В д Э 1 (О> С (О) ЬО д Ф > ь)О) А )=— Р) д ° ! (О) Ь [за а, С о) ь~> Д( $6.ОМ гл. 6.
РАзлОжение ВазмущАющеп Функций »ай Если известны числовые значения элементов орбит двух планет в планетном варианте задачи трех тел, то возмущаюп»ую функцию Я [см. формулы (4.6.01) и (4.6.02)) при некоторых общих предположениях можно представить двойным рядом Фурье по кратным средних аномалий М1 и М» или по кратным средних долгот 11 и 1». ОР ФО [А»„», сов (Ь,М, + й»М») + В»„», в(п (Ь,М, -1- Ь,М,)), », о»,-- (4.6.28) где А»„»,= —,~ ~ Ясов(Ь,М1+й М)6(М,»(М„ 1 о о В»„»з= »ио ~ ~ Яв(п(Ь,М1 +й»М») 6(М,»(М». 1 о о (4.6.29) й 6.06. Палуаналитический метод Брауэра — Клеменса разложения возмущающей функции Существуют различные способы разложения возмущающей функции, основанные на сочетании аналитических и численных методов.
Здесь мы излагаем метод Брауэра — Клеменса [2). Имеем ( — ') =№[1 — 2асов(Е,— Я)+а») ' [1 — 2Ьсов(Е,+Ц)+Ь~[ (4.6.30) где 6 — взаимное расстояние между планетами Р, и Ро, а1 — большая полуось орбиты планеты Р, (а» ( аь поэтому Точность представления возмущающей функции разложением (4.6.28) зависит от точности вычисления коэффициентов А»„»„ В»„», по формулам (4.6.29). Как указывают Брауэр и Клеменс [2[, для вычисления возмущений в движении Марса, обусловленных притяжением Земли, с восемью десятичными знаками необходимо знать 8000 значений Я. Такие вычисления возможны лишь на ЭВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
