Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(к' — а)м (4.5.1 1) Из рекуррентных соотношений (4.5.11) следует, что все 5„ и Н при и ) 2 и пз ) 2 выражаются через Лз, !.1, Н1, которые представляют собой эллиптические интегралы 1-, 2- и 3-го рода. О и р е дел е н не. Функция, являющаяся результатол! обращения эллиптического интеграла 1-го рода, называется амплитудой. Другими словами, если К(й)= —," 1 Е(й) = — 1 ~~,!~ ((2л — !))! ~з а ! ~ з~~! ~ (2п — ! ) Н ~з н — ! $ г.ьп гл. г.
специАльные. Функции то (4.5.12) гь=ати. Амплитуда — бесконечнозначная функция своего аргумента с периодом 4!К(й). Эллиптические функции Якоби: эллиптический синус вп и = в(п ~р = в!п ат и, эллиптический косинус сп и =сов 4г = сов ати, (4 5 15) дельта-амплитуда бп и = — ~ 1~! — й' в!Пг ~В . йэ ег» Функции Якоби — двоякопериодические с периодами; впи имеет периоды 4К и 2К'1, К'=К(й'), спи имеет периоды 4К и 2(К+К'1), бпи имеет периоды 2К и 4К'!. впг и + сп'и = 1, ! дпги+ йгвпги 1 (4.5.!4) Основные степенные разложения для эллиптических функций: йе г й' (4+й"-) г йе (1 6+44й'+й') т + 51 = — '+'* и + '+ "'+' и— 31 51 1 + 135йе + 135йе + йб 71 спи= 1 — — и + — й— 1 г 1 + 4й' 4 1 + 44йе + 16йе 21 41 61 ив+ '' е е' , е ее ее Е , е еее -еие .ее Е 21 41 61 (4.5.!5) Эти ряды сходятся при ~1 и ! < т!П(1К'(, ~ 2К + !К'(, ! 2К вЂ” 1К'1).
Эллиптические функции удовлетворяют следуюгцим основным тождествам: ч. 4т, теопия возмтшенного движання !В 2.2! 364 Основные тригонометрические разложения: 2 ~~~ л=! ! и —, 2 Чп . пни в(п —, „24 К пи ахи = — + 2К 2н Гп впи= — 42 аК в!п (2п — 1) —, 2К 24- ! (4.5.16) и— 2 2п чп спи= — 42 ак ~, и=! сов (2н — 1) —, па 2К ' 24- ! и 2п Ч ' Чп пви дни= — + — 42 2 сов —, 2К К 1+,ы К па ве! где 47 = е Эллиптические функции Якоби удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям: — = 1/(1 — вп' и) (1 — й' вп' «) П 2П И вЂ” = — и!'(1 — сп2 и) (й™ + йз спв и), !гп папа !Г 2Пи — =спийпи, 4!П 4!СП И вЂ” = — впихни, иа гоп и — = — йзвпи спи. и'и (4.5.17) Эллиптической функцией Вейери4трасса называется решение дифференциального уравнения 'т 4н! И2и! 03 ~ !ги (4.5.18) где и= †йз=!4О Х м -~ и=-а Дифференцирование эллиптических функций выполняется по формулам % з,ав) ГЛ.
З. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ р(и)= —,+ ,') 1 Х( в 1 ( (и — 2!пв! — 2лев)! 1 (4.5.19) лв — л Числа 2пв! и 2ыз ЯвлЯютсЯ пеРиодами фУнкции )п(и). Основные соотношения для функции Вейерштрасса: р( — и) = р(и), р'(и) = — р'( — и), и спв (и, л) р à — ) = е! + (е, — ез) ~ /.,—.,) зпв(и (в) и'пв(и, л) 1 = ев + (е, — ез) и! (и' ь) — — ез + (е! ез) ,пв(и ь) е, — ев К(а) !К(и ) 2 у е! — ев 'че~ — ев з/л! — лв (4.5.20) е! > ез ) ез — вещественные корни уравнения 4ив~ — й!ви!— — дз — — 0 (если у' — 27уз'> 0). Тэта-функции определяются соотношениями 4)!(!1)= —, ~~) ( — 1)лд~ '7 е'Р"+!>л л — л / = 22 ( — 1)л+ д~ " з(п(2п — 1)и, л ! 4)з(и)= ~ д1 .'! е'!"'+!"=2~ д~ '7 сов(2п — 1)и, л л л ! О 6з(и)= ) д"'езл!и=1+ 2 ~, дысоз2пи, л — л л=! () (и)= ~, ( — 1)"ал*евлвл=1+2 ~( — 1)" д" соз2пи.
— л л ! (4.5,2!) причем штрих в суммах означает, что т и п одновременно не абра!цаются в нуль, пв!, пвв — любые комплексные числа, отношение которых не является вещественным числом. Функция Вейерштрасса обозначается символом р (и) и одно из ее разложений вблизи и = — 0 имеет вид ч. ~м теовия возмгщеннпго движения Связь между тэта-функциями и эллиптическими функциями Якоби дается равенствами (4.5.22) Представление функций Якоби через тэта-функции является одним из наиболее эффективных способов вычисления их значений, поскольку разложения тэта-функций обладают очень быстрой сходимостью (и-й член имеет порядок д"*). В настоящее время издано много таблиц, содержащих численные значения эллиптических интегралов и эллиптических функций (20) — (23).
(4.5.25) $5.02. Гипергеометрический ряд и гипергеометрическая функция Введем для целых неотрицательных значений п обозначение (4.5.23) называемое символом Аппеля, где Г(а) — гамма-функция (функция Эйлера), определяемая несобственным интегралом Ю Г (а) = ~ е "хв ' с(х. (4.5.24) о Так как Г(а) = (а — 1) Г(а — 1), (а, О) = 1, то (а, п)=а(а+1)(а+2)...
(а+п — 1), п>0, 1 (1,п)=п1 ~ (4525) ! — а, п) , ,и а (а — 1) ... (а — и + 1) (,'1 — — ( — 1) "', — ( 1) пса ! О и р е д ел е н и е, Ряд, определяемый равенством ч (а,п)(р,п) Р(а, (3, у; а)=лг '„' я, гл. 5. специхльные Функции Зат называется гипергеометрическим рядом, Величины а„ 5, у, г называются соответственно 1-м, 2-м, 3-м и 4-м элементами ряда.
Гипергеометрический ряд является целым рядом относительно комплексного переменного г, рядом многочленов относительно а и 5. При любых комплексных числах а, 5, у (за исключением двух случаев: а) у — нуль или целое отрицательное число; б) у и а или у и 5 — нули или целые отрицательные числа) ряд (4.5.26) абсолютно сходится внутри единичного круга !г~( 1. На границе единичного круга !г~ = 1 ряд (4.5.26) абсолютно сходится, если 1!Е(у — а — 5) » О, условно сходится (за исключением точки г = 1), если — 1 ( Ке(у — а — 5) ~ О, и расходится, если Йе(у — а — 5) ( — 1. Определение.
Многозначная функция комплексного переменного г, обозначаемая г" (а, 5, у, г), являющаяся аналитическим продолжением ряда (4.5.26); называется гипергеометрической функцией !151 Гипергеометрическая функция г (а, р, у, г) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению г (! — г),~, + (У вЂ” (а+ р+ 1) г),е — а5в = О, (4.5.27) которое называется дифференциальным уравнением Гаусса, или гипергеометрическим уравнением.
Решение гипергеометрического уравнения (4.5.27) голоморфно на всей плоскости г, за исключением, быть может, точек г = О, г = 1, г = ьь, которые являются регулярными особыми точками. Если ни одно из чисел у, а — 5, у — а — 5 не является нулем или целым числом, то в окрестности каждой из особых точек существуют два линейно независимых регулярных решения. Разложения этих решений в окрестности особой точки г = О имеют вид в, (г) = г (а, 5, у; г)„ в (г) = г' «г (а + 1 — у, 6 + 1 — у, 2 — у; г).
7 (4.5.28) В окрестности особой точки г = 1 решения гипергеометрического уравнения (4.5.27) представляются гипергеометрическими рядами ()=Р(~,5,1+ +5 — у; ! — ), (4.5.29) в5(г) =(1 — г)«р(у 5 у — а, 1+у — а — (1; 1 — г). з Согласно сказанному ряды (4.5.28) и (4.5.29) абсолютно сходятся внутри кругов /г/(! и !г — 1(с 1 соответственно.
12 злз ч. 2ч. теогня возмзщенного движения зев В окрестности особой точки а = оо имеем следующие два регулярных решения: сез(а) = а-чР(а, 1+ а — у, 1+ а — 5; — ), 1 (4.5.30) сне (а) = а "Р (5, 1+ 5 — у, 1+ Д вЂ” а; -), ! абсолютно сходящиеся при ~а~ 1. Все известные 24 решения гипергеометрического уравнения (таблица Куммера) можно найти в книге (15). Приведем выражения некоторых элементарных функций через гипергеометрический ряд (17); = аР(1, 1, 2, а), ' (4.5.31) В небесной механике и астродинамике чаще всего встречается гипергеометрический ряд с вещественным аргументом, который в дальнейшем будем обозначать буквой х.
$5.03. Полиномы Лежандра. Функции Лежандра О п р е д е л е н и е. Оолиномами Лежандра называются многочлены и-й степени Рч(х)=Р~ — и, и+1, 1; ). (4.5.32) (1 — а) Ха" ч=з 1п 1 1 †агсз(п а агс1я а соз («агсз(и а) =Р(а,р,р;а), ='Р(1, 1, 1;а), РР1 з г1 з ~2' ' 2' /««1, а2) ~2' 2' 2' з в.ов! ГЛ В. СПЕПИАЛЬНЫЕ ФУНКШВИ (4.5.33) Ив предыдущей формулы имеем, в частности; Ро(х) = 1, Р,(х) = х, Р,(х) = — (Зхв — 1), 1 Рв (х) = — (5х' — Зх), 1 2 Р (х) = ! (35х' — 30. '+ Зх), Р,(х) = в (63хв — 70хв + 15х). (4.5,34) Если х=совО, то получаем Р„(сов 9) = 1 соз пО + — ° сов (и — 2) 0 + 2 (2л)1 Г ! л 2 "(л!) ! 2л — 1 ц + —,.4 (л,)(,л „сов(п — 4)0+ " ~ Р,(сов В) = 1, Р, (сов 0) = сов В, Р (сов9) = 4 (Зсов20+ 1), Р (сов9)= — (5 сов 39+ ЗсовО), Р,(сов О) = — 4(35 сов 40+ 20 сов29+ 9), 1 Р,( вО) = — „', (03 259+36 зЗО+Зо 9).
Кроме того, применяется интегральное представление Ла- пласа Р„(х) = — ~(х~ ~lх~ — 1 совф) Ыф, о (4.5.35) интегральные представления Мейера Сов(Л+ — ) ф С(ф, В/2 (со5 ф — сов В) Р„(соз 9) = — ~ о 5!О(л+ -) ф дф, у'2 (сов  — сов ф) (4.5.36) Р„(сов В) = — ~ 2 Г о Весьма распространено следующее представление для поли- номов Лежандра (форлсула Родриго); гл Р„(х) = 2„! — „((хв — 1)"]. [$ ю,юз Ч. !У.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ зто а также 'й) Рл (соз В) = ~ Рлй соя (и — 2й) В, 2 (2й — 1) [1 (2л — 2й — 1)11 йл-12 (2й)[1 (2л — 2й)11 бю=2, 51=5.= " л йл=). Соотношения ортогональности полиномов Лежандра: +! О, ятФп, Р (х) Рл(х)дх= 2 х"Рл(х)ю(х=О при й=О, 1, ..., и — 1, — ! 1 ~ЯР д й (й — 1) ...
(й — л + 2) (й+ я+ 1) (й+л — 1)... (й — я+3)' ю 2л / л ~2 1 1 С2л — ~ Рюл(сов В) дВ = ~ — "), 2я 22л ) ю — ~ Рю„ч.! (соз В) соз В ЫВ = 1 ([ С2 Сл++2 2в 2лл+ ю (4.5.37) О и р е д ел е н и е. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка в21ю ЛВ! (! — гт) — „, — 2г — „+а(а+1)ш=О (4.5.38) называется дифференциальным уравнением Лежандра, Оно имеет два независимых решения.
Первое решение — функция Лежандра 1-го рода, выражаемая с помощью гипергеометрического ряда Р,(г)=Р( — а, а+1, 1; ), (4.5.39) абсолютно сходящегося в круге ~[г — 1) < 2. Второе решение — функция Лежандра 2-го рода /11 Г('+')Г(,2~ „+1,+2 [[,(г)= х !Р~ —, —, а+ —; —,1.
(4.5.40) ' '+2/ Ч. !У, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !$ 5.04 372 Присоединенная функция Лежандра является одним из линейно независимых решений дифференциального уравнения (1 — г ) — „, — ' 2г — „+ !Еа (а+ 1) — —,~ в = О, (4.5.46) р! рассматриваемого в комплексной области, если а+ ~Ф вЂ” ис 'О.
Если и = и, р = Ги, где и — натуральное, а и! = О, 1,, и, г = х, то гипергеометрический ряд, входящий в выражение присоединенной функции Лежандра 1-го рода, обращается в обобщенный полинам Рл„(») = 2»л! (л — т)! ( — !) (2»)! (, „Е)о»л р( — — +! (4.5.47) Присоединенные функции Лежандра удовлетворяют условиям ортоеональности +! О, Рлт(») Рль(») а»= 2 !л+ т)! -! 2»+1 (» — т)! ' а!ф~ е-' ое" !ьоР„(сов 8) Р„(сов 8) в(п 808 = ГИ ~й (4.5.48) Ф о о 0; ои (л+ т)! 2л+ ! (л — т)! ' итФй (4.5,49) Важное свойство полиномов Лежандра выражается соотноше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
