Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 56
Текст из файла (страница 56)
!Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !э 3.06 ззв Естественно, в уравнениях (4.3.14), называемых уравнениями Лагранжа, возмущающая функция )г должна быть представлена как явная функция элементов й, 1, р, е, в, т (см. гл. 6). 3 а м е ч а н и е. Пря ! = 0 третье и четвертое уравнения системы (4.3.14) имеют особенность. Для ее устранения вместо наклона 1 вводят новую переменную / = соэ !, а частную произдк дя дя водную —, заменяют по формуле —.= — — а!и!.
д! д! д1 2 3.05. Уравнения Лагранжа для эллиптических кеплеровских оскулирующих элементов да 2 да д! ла де ' де ч/1 — е' да е 1/1 — е' дя ла' (1+ З/à — е- ") де д! па'е ди ! 1 дя 2 ~дЛ д/1~ е' е!п! д1е ла'З/! — е' ~да де! ае /!— 1 да ла' З/! — ее и!п ! д! К 2 да З/! — е' дк + ° лае З/1 — ее д! лаее де (4.3.15) 2 д!! 2 дя е 1/! — е' дк . + д! ла да лае З/! — е' д! ла'(1 -1- 1/! — е') де Иногда вместо первых двух уравнений системы (4.3.15) рассматриваются уравнения для среднего движения п и параметра р орбиты: дл 3 дл д! а' де др 2 З/1 — е' /дл да 1 и! ла ~дл + де/ Вторым из этих уравнений можно также заменить либо первое, либо второе уравнения сиетсмы (4.3.! 5). Если в качестве оскулирующих элементов принять а, е, 1, Я, я, е, причем во все время движения эксцентриситет е(!)( 1, то для них дифференциальные уравнения имеют вид $2ЛЕ! ГЛ.
Е. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУ!ЦЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 339 й 3.06. Уравнения возмущенного движения для канонических элементов Якоби Если движение точки происходит под действием притяжения центрального тела и потенциальной возмущающей силы, то помимо оскулирующих элементов р, е, 1, И, аг, т часто пользуются каноническими элементами Якоби ан ам ае, р!, 52, ре, связанными с первыми элементами соотношениями (е' — !) аг = ~ —, па= 1/рр, аз = 1/!Ар соз!, 1 (4.3.17) 02=И. Формулы обратного перехода имеют вид 2 / 2 а2 / 2ага аз Р= !г, е Ч + ! г, соз1 а, * (4.3.13) — а=В И=Ц.
Частные производные возмущающей функции Я по элементам выражаются следующими равенствами: дд дд Еаг г ддг Е д!1 иаг 2 \ др да, ае даг 2аг да„2аг дд р~ да, а 2 д!1 дяг дк дк — = — — т/ае — ае, д! даг 2 з дд дд дт дрг ' дд де (4.3.19) ддд дк дб дег ' д!1 да = Уравнение для элемента е можно заменить уравнением, определяющим среднюю аномалию в эпоху Я;. дгнг ! — ег дд 2 дй д! па'е де ла да ' Если вместо элементов Ме или е берется средняя аномалия М или средняя долгота 1, то следует пользоваться одним из уравнений дМ 2 дк 1 — е' дг2 1 — =л — — — —— ! д! ла да ла'е де ' д! 2 дл' К 2 дк е З/! — ег д!1 д! па да лаг 2/1 — е' дг' пег(! + З/! — е') де В формулах (4.3.15) — (4.3.16) возмущающую функцию следует выразить через используемые в уравнениях оскулирующие элементы.
Замечание из $3.04 относится также и к уравнениям (4.3.15) . Ч. ИЕ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ~4 ВОВ 340 В элементах Якоби уравнения движения точки имеют канонический вид Иа, дй др1 ' др, аг ~11 да~ ' В конкретной задаче необходимо представить Л в виде функции элементов Якоби. Заметим, кроме того, что если Д = — 0 (в не- возмущенном движении), то элементы Якоби являются произвольными постоянными, появляю|цимися при интегрировании задачи двух тел методом Гамильтона — Якоби. $3.07.
Уравнения возмущенного движения для каноняческих элементов Делоне Делоне предложил ввести систему канонических элементов: й= т/ра, 6= 1/ра(1 — ез), Н= ~ра(1 — ве) соз1, ) ' ~ (4.3.21) 1 = и (1 — т), д = и — И, А=И, Переменные (4.3.21) называются каноническими элементами Делоне.
Дифференциальные уравнения возмущенного движения точки в элементах Делоне имеют вид Н. дй' дг д1 да дй' ~ДФ ~И. ' Ж дв дН дй' дс да (4.3.22) да дс 3 Й вЂ” возмущающая функция. Элементы Делоне можно использовать только для описания движений эллиптического типа. 3 3.08. Две системы канонических элементов Пуанкаре Первая система канонических элементов Пуанкаре: 1=1+.= 1+а 1 О), = — Л, (4.3.23) да1 дй дй, * дй дС да, Е т/на, р =~/ра(1-1~ — "), ре= 1~ра(1 — ез) (1 — соз)), Щ' дп дй- дН 4 эл81 Гл. 3. урАВнения ВОзмущеннОГО дВижения телА з41 В элементах (4.3.23) уравнения возмущенного движения точки имеют вид И. дй и = дЛ дЛ дй Нр~ дк' и =деч ам~ дй' др, дй ) дг дв,' ~йа, дЯ' й= др, (4.3.24) а др, Вторал система канонических элементов Пуанкаре: А =~~ра, $, = у2р, созГВО Ез= 1/2Р» созГВМ А=1+и, П1 = 1/2р, з(п Ген П~=Ч/2р~ з(пгем (4.3.25) В элементах (4.3.26) уравнения возмущенного движения точки имеют вид И.
дк' и дл' дх ая' и дл 1 (4.3.26) да1 дй ~11 дт~~ ' дч1 дЯ' »и д4' В уравнениях (4.3.24) и (4.3.26) функция Я' выражается равенством (4.3.22), с той лишь разницей, что возмущающую функцию Я необходимо в одном случае выразить через элементы первой системы Пуанкаре, а во втором случае — через элементы второй системы Пуанкаре.
3 а м е ч а н и е 1. Канонические элементы Пуанкаре могут применяться только для описания движений эллиптического типа. 3 а меч ание 2. Элементы Делоне и первая система Пуанкаре обладают некоторой Однородностью: элементы А, О, Н; Ь, рь р, имеют размерность секториальной скорости, а элементы 1, д, й, Л, Грь Гре являются угловыми переменными. Другими словами, эти канонические элементы принадлежат к так называемым каноническим переменным едействие — угол». 3 ам е чан ие 3. Элементы ~ь тп имеют величину порядка оскулирующего эксцентриситета (для малых эксцентриситетов), а переменные $и т)з — величину порядка наклона оскулирующей орбиты (для малых наклонов), поэтому вторая система канонических элементов Пуанкаре удобна для получения явного разложения возмущающей функции в задачах астрономии. 3 а м е ч а н н е 4.
В некоторых работах применялись и другие системы канонических элементов (Леви-Чивита, Хилл, Де Ситтер, Андуайе и др.), но они не получили большого распростра. пения в небесной механике (см. (3) — 14)), Ч. !У. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ н З.ОЯ 342 2 3.09. Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа для случая малых эксцентриситетов Ма 2 дд««д д«па де ' да чl! — Ьд — Ье Гдя «!«па' Ч дь Ь дй1 + ) д- Гд' — д д 22 дй + .. ~Т=«' — д; и! ! дй Т-Р-Р ! дд «63 1 дя д! плеч/! — И« — йд Мп «д« дь ч/! — «д — ье ~дя т«др дГ пад (4,3.28) дд «д дТ-д' — И д ) + « !22 дя пад З/! — а' — Л' д« 2 дй 2 дй ла да па' 1/! — Ьд — Ь' д« д««-д' — д Гд дд «д д«Т 'ОддГ-5-д )( дд д ) В уравнениях (4.3.28) возмущающая функции 1т должна быть выражена в виде функции переменных а, й, «, И, й, е и 1. Уравнения (4.3.28), в отличие от системы (4.3.15), не имеют особенность при д = О, Второе и пятое уравнения системы (4.3.15) имеют особенность при г = О, поэтому их использование в случае эксцентриснтетов, близких к нулю, затруднительно.
Для устранения этой особенности Лагранж предложил ввести вместо Оскулирующих элементов е и и новые переменные й и Й по формулам й=гв!Нп, й=гсовп. (4.3.27) Назовем л и л переменными Лагранжа. Введем вместо эллиптических кеплеровских оскулирующих элементов а, г, 1, И, и, е новую систему Оскулирующих элементов а, й, 1, И, й, е.
В элементах а, л, «, И, й, е уравнения возмущенного движения имеют вид $ а.!01 Гл. а. уРАВнения ВОзмущеннОГО дВижения телА 343 0 3.10. Уравнении в переменных Лагранжа для случая малых наклонов Устранение особенности ! = 0 в третьем и четвертом уравнениях систем (4.3.!4) и (4.3.!5) может быть осуществлено либо с помощью замены 1'= соз 1, как было указано в замечании из $3.04, либо введением новых переменных р и г) вместо ! н ьа, как предложил Лагранж. Связь между переменными Лагранжа р и д и оскулирующими элементами ! и ьа дается соотноше.
пнями р=!я(з!Ой, ) *) д= !я!'совка. ) (4.3.29) В переменных а, е, р, г), н, В уравнения возмущенного движения имеют вид 2 дя ла де' ч/Т вЂ” Ет дЯ и Ч/! — Ет дЯ ла'е ди ла'(1+ Ч/1 — е' ) да (1+ Па+)Гт) Н дЯ ла' Ч/1 — е' д)Г р(1+р +а!) удЯ дЯч ° .'аТ=--:-Н )-,Л-ар)~, ) (а. + а.) (1+ р'+о')Ч* дЯ ла' Ч/! — е' др !(1+р +Еа) УдЯ ...))=.О )..Л~р .р, ) )а. + а.) + рз+ да дЯ + дЯ~ лаз Ч/1 — ез 1+ Ч/! + р'+ага 'ч др д)Г у /р + ЧГ'~ — дя ла'е де ' 2 дя 1+ р'+а)з 1 а.
+ .,)~ . ~ -:-,ля а' ». ( дя + дя )+ еЧ/à — еа дя др д)Г / лат(1+ ~/à — е' ) де (4.3.30) В уравнениях (4.3.30) возмущающая функция )т, разумеется, должна быть выражена в виде функции переменных а, е, р, )), н,еи1. ') Не следует путать перисннум Лагранжа р с фокалькыи параметром роиичесипго сечения, который также обозначается букаой р. ч. 1ч, теория Возмущенного движения 5 3.11 $3.11. Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа (общий случай) Для случая малых эксцентриситетов (е = О) и малых наклонов (! = О) удобнее рассматривать вместо оскулирующих эле» ментов е, 1, 11, и переменные Лагранжа й, А, р, д.
Тогда уравне. ния возмущенного движения в переменных а, й, р, д, й, е представляются равенствами да 2 д)! дт ла де ' а,ад=а' — Р . дд Ыдд И дА' ч )+ дг ла' ~ дй 1 + У'1 — И' — йд де + й(1+р'+а') 1 г дд( дд( ь "ыдд — д и + Ра-РТ'( д + а)' 1Р +д) .др (1+ ре+ ае Ь дл и! лад Ч/! — И' — Ие дд) р(1-(-р+а) ~ а~~ „И+Ч~ ла' ~! — И' — й' (1+ 1/! + р" +д') ~ дй дй де,/ дэ (1+ рд+ Ф')чд д)1 — ...,Г=Р=Р. д, а (1 + р' + а') ~ дД, д)! + аг ~ рдд — д — а'(Ра.дттр а-д)1 аа да а )' 'Г-а — а ад й д)! (4.3.31) + д!1 пал 'ч дй 1+ Ч/! — И' — йд де ) «(!+ре+ае) ! Г д)(+ р — а — Р !.рддр»- '.рР ( д д )' (Р 1) д(е 2 д)1 — = — — — + 41 ла да + !+ р'+а* ал-д — Р а~ар\» д р ( др д ) +' г р — а':Р Г„аа „Р а ад 1 па'(1+ л/1 — И' — йе ) ~ дй дй / В уравнениях (43.31) необходимо выразить возмущающую функцию !( как функцию переменных а, й, р, д, й, е и й Эти уравнения не имеют особенностей при е = 0 и ! = О.
В заключение укажем на связь между переменными Лагранжа й, й, р, д и каноническими элементами Пуанкаре (4.3.23) и (4.3.25). С точностью до первых степеней эксцентриситета а гл. ь. тгьвнв11ня возмтщзнного движения таль з45 % ьли ч/ра есова=ч/ра А, — 1/ра е в!и а = — ~/ра Ь, ь 4 ь )/)ьро 2з!п — 'созйю )/!ьро !ц!совй= )/)срс с) — ~ )сро 2 в! и — в1п й т — )/)ь ро (а 1 в! п й = 2 4 = — 1/)ьро Р. $~= т(! вь = В соотношениях (4.3.32) ро — фокальный параметр (этот символ мы ввели, чтобы отличить его от переменной Лагранжа р). $3.12. Связь между прямоугольными координатами движущейся точки и различными системами канонических элементов Прямоугольные координаты точки связаны с каноническими элементами Якоби равенствами х= 1сов(о+Ре)совРь — — жп(о+Цвыл()ь~, аь Г аь 11 (ь(1 + е соь о) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
