Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В качестве такого условия Ганзен взял равенство у (Е) х + у> (Е) ц + уг (Е) 2 О, (4.1.17) т. е. 2 — О. Координаты Х, У, О называются ганзеновскими. Очевидно, что во все время движения точки Р плоскость Р,ХУ проходит через радиус-вектор г точки Р. В координатах, Ганзена уравнения движения имеют вид (см. [3)) Х Е(то+ т) Х дЯ г' дХ ' ,у ) Е (>а> + >и) У дЯ г> дг> г Хг> уг (4.1.18) (ХУ вЂ” УХ) ' = — У вЂ”, / г г дх' 1 — аг (>г (ХУ вЂ” УХ) = Х вЂ”.
1 — а — ()г (4.1.19) аг+ наг+ уг а'+ 0г+ у'=1 4+ Й+ у,'=1, аа> + рр> + уу, = О, ааг+Ф +УУ =О (41.18) а,а, + р>рг + у,уг = О. ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ а ТЕЛ 297 З 1.ЕЛ Возмущающая функция )т должна быть выражена в виде явной функции координат Х и У. Эти уравнения определяют Х(1), У(1), оо (7), а (1), после чего можно найти уо(1), а(1), 0(Г), со1 (1), а1(1), Переход к первоначальным координатам осуществляется по формулам х(1) =а(1)Х(1)+0(Г)У(1), у (1) = а1 (г) Х (1) + 01 (1) У (1).
Е (1) = по (1) Х (1) + йо (1) У (1). Как видно из условия (4.1.17), координатная плоскость РоХУ совпадает с плоскостью оскулирующей орбиты точки Р (см. $ 3.02). В принципе можно ввести идеальные координаты и в задаче п(а ) 2) тел, однако практически это малоцелесообразно. $1.07. Уравнения абсолютного движения в цилиндрических координатах Пусть цилиндрические координаты точки Р; суть рь )„1, ~1 (1= О, 1, ..., и — !). Формулы перехода от цилиндрических К абСОЛЮтНЫМ КООРДННатаМ $ь 1)ь Ь1 ИМЕЮТ ВИД $1 = р1 соз 711, 1)1 = р1В1п А1, 11 = 11. тп1 (р р1711) д п11 дт1РА) = дл д ' дУ дУ П11Ь'1 =— дало (1 =0, 1, ..., п — 1), а-1а-1 зн 1 О1=О Ьо = р'. + р' — 2р .р соз (11 — )1,) -1- (~ — ~ )'-.
(4.1.20) Здесь ро — проекция радиуса-вектора то точки Р, на координатную плоскость 0511, Ц вЂ” долгота точки Рь т. е. Угол между положительным направлением оси 0$ и рь Уравнения движения в абсолютных цилиндрических координатах имеют вид ч. <т. твояия возмтщвнного движения <$ <,<я ду т я! ~оо(Л! Л<) Р! = !т<~ т др, г.' < а» л<! ", в<и (Л! — Л<) ак =<т<р<Х т<р! < о аи — =[т<Л. т! ~д~ л'..< <о » (!Ф<, !'=О, 1, ..., л — 1). (4.1.21) Система (4.1.20) написана в абсолютных координатах, поэтому допускает 10 известных первых интегралов.
Интегралы движения центра масс: ~ т, (р, соз Л, — р, Л, з1 и Л,) = а» «-! Х т<(р<з(пЛ, + р<Л< сов Л!) =-ао, < о «-! Х ! о (4.1.22) Х т<р,созЛ,=а,(+Ь„ <-о «-! К т<р< з)п Л< = ао( + Ьм <=о «-! г т«,< —— аФ+ Ьз.
<=: ! Интегралы ало<цадей: т,[р«.<з)пЛ,— ~<(р<ейпЛ,+р,Л,сов Л!)) =е„ Ъ «-! ~ т,[~<(р<созЛ! — р,Л,з(пЛ<) — рД<созЛ<) =е„ <=Р «-! т<р<Л! = ез о (4.1.23) В развернутом виде правые части уравнений (4.1.20) выражаются равенствами 4 ь08! гл. !, эвлвнвния движения злдхчи з тал 999 Интеграл энергии: л-! —,~ т,(р,+р',Л,+Я=и+и. ! (4.!.24) $1.08.
Уравнения относительного движения в цилиндрических координатах Формулы перехода от относительных прямоугольных координат х„ уь г, к относительным цилиндрическим координатам рь Ль г; имеют вид х! = р~ соз Лн д! = р; з!п Ло г! — г~ (1=1, 2, ..., н — 1). дй, р! — р!Л" = д,' ° дэ! 1! (рюЛ!) дЛ дй дг (4.1.25) где а = — "м'+м') +я (4.1.26) р 1 р р ш~(Л,— Л~)+гр~'1 Я,=1 т! ~ „ч ~ . (4.1.27) и =Е Ю!+ э!~' тэ рэ+ гэ и (4.1.28) !Л;! = рэ!+ р~~ — 2р р сов (Л, — Л ) + (г, — г )-', (4.1.29) Уравнения движения точек Рь Р„..., Р„, относительно точки Р, записываются следующим образом (см. (1)) ! ч. пс теояия возмлцвнного даня[ения [$1.02 зоо л-1 1 ~ т, [Р,г; в1п Х! — ~; (р в! п А, -1- р,р,, сов ~„,)[— л-1 л-1 щ ~~! т!Р! 21п Х[ )' т!21 1=! ! 1 л-1 л-1 -Е *Е-,[!р..ъи„![, .„!]=,, 1=1 1=1 »-1 е1! [г! (Р! сов Х! — р!Х[ в!п Ц) р!е, сов р„д 1=! си-! »-1 т ~Л, т[г[~~ т[(Р[совА! — р!А[в!пХ!)— ! 1 1=1 л-1 и-1 -к „...~.„,]=,! 1=1 1 ! (4.1.30) л-1 ~ т[Р[В,,— 1=1 гл — 1 л-! т [ ~.
т!Р! сов д[ ~ т, (р, в1п А!+ Р,Х! сов [[,) ! 1 ! 1 л 1 »-1 ! 1 1=1 где л-1 т=~ т,. 1-0 Интеграл живых сил л-1 ГГ" ' —,[Р!и!2!и-~![- — '[[К,[и - ъ -Ри,и ![]+ ! 1 ! Г» 1 !2 /и 1 !21 +~~ т!(р!в!пА!+Р[Х[совА[)~ +~ ) т!а!) ~=У+А', 1 1=! (4.1.31) где с[, с2, сз, К вЂ” произвольные постоянные. Интегралы алан[аде[2 в относительных цилиндрических оординатах; гл.
ь гяхвнения движения вАДАчи ч тел за! $1.09. Уравнения абсолютного движения в сферических координатах Перейдем от абсолютных прямоугольных координат $о т!о ь' к сферическим координатам па формулам К;=г,совф,савАа яд=г, сов ф,в!пЛ„ ~;=г,в!пф, (!=О, 1, ..., и — 1), (4.1.32) где г; — радиус-вектор точки Рь А; — долгота тачки Рь ф;— угол между радиусам-вектором г; и плоскостью Овт!. В абсолютных сферических координатах уравнения движения системы имеют такой вид [1): ди гл,(г, — г.ф,' — г,А. сав ф,) — —, дг~ гд 1 дП т, — (г1ф.)+гвАввшф савф д . дц л! — гг'А савтф 1 =— ~д1~! ~ ~l дХ (4.1,33) (!=О, 1, ..., н — 1). Силовая функция равна в-1в-1 ~-о !=в где Л', = ге + гт — 2г,г сав у,, (4.1.34) сов уб= вбпф, в(пф!+ совф, сов ф! сов(А~ — А!), (4.1.35) а уы — угол, образованный радиусами-векторами г, и г;. Система дифференциальных уравнений движения и тел (4.1.33) имеет !О известных первых интегралов.
и !.»о зов Интегралы движения центра масс: о ! л' т»(р» з»п ф;+ г»ф» сов»р!) = а, =о = а»1+ Ь„ = а 1+ Ь, и-! т»г! ейп »р! = ао! -4 Ьз. о=о (4.1.36) Интегралы площадей: о-! о-! (4.1.37) Интеграл знергии; л-! Как и раньше, а», ао, ао, Ь», Ьм Ьо, с», со, со, Ь вЂ” произвольные постоянные. $1.10.
Уравнения относительного движения в сферических координатах Пусть точка Р, является началом системы координат Рохуг. Введем сферические координаты г„ Х;, ф» (㻠— расстояние точки Р» (! = 1, 2, ..., п — 1) от точки Р,, Х» — долгота точки Рь т.е. угол, образованный положительным направлением оси Роя г' т; о-! 2 т; ч, пч твооия возмтщзыного движения (г, сов ф; сов),» — г»ф» в)п ф» сов Х,— г»Р.» сов ф! в)п Х») = а„ (г» сов ф» в)п А! — г»ф» в)п ф» в)п Х»+г»Х» сов ф! сов А») =- а,, )„т»г» сов »р, сов Х» о п-! ) т»г» сов ф, в)п Х» »=о г т»г,'(ф,, в)п Х» — )о, сов »р, в)п ф, сов)о.) = с„ »=о ) т»г! (ф- сов А.
+ Х. соз ф. в!и ф в»п Х») = — со, »=о и†! ~, т,.гоХ» совоф,. =с,. »=5 — т,(г,'+ гоф', + г~)!.,осовоф,) = О+ й. (4.1.38) »=о % !Да/ ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ зоз и проекцией Г1 на плоскость Рлху, ф! — угол между Г/ и плоскостью Рлху). Формулы преобразования координат будут х/ = Г/ сов ф/ сов Л!, р! = Г! сов ф! в!и Л/, а,=г,а!п!р, (1' = 1, 2, ..., и — 1). (4.1.39) Уравнения движения точек Рн Р„..., Р„! относительно точки Р, в координатах Г, ф, л имеют следующнн вид (1]! до дг, дп "! д!Р, дР, дх Г, — Г,фз — Г,Л', сов'ф = Ы вЂ” (Глф,) + Г';Л, в!и ф, сов !р; = (4.1.40) д — „, (Г!Л,, сов'/р,) = (1'=1, 2, ..., и — !), л-! / ! /Л'. =ГЕ+ ГŠ— 2Г Г соку / ! / 1/~ сов у» —— з!пф, в!пф/+ совф, сов ф/ сов(Л, — Л/). (4,1.41) т,г";(ф,.
в!п Л,. — Л,в!и ф, сов/р, сов Л,)— Х ! 1 ~л-1 л-1 ! ч — — Г/!,Г, сов ф/ в!и Л/,') т/(Г/ в! п ф/+ Г/ф/ сов ф!)— ! 1 1 1 л-1 л-1 т,г/ в!и ф! ~~ т/ (Г/ сов ф! з!п Л/— !=1 1=! Г ф, в1пф. В1п Л + Г,Л! сов ф сов Л!)) = с р (4.1.42) Четыре первых интеграла системы (4.1.40) (три интеграла площадей и интеграл энергии) записываются следующем образом: Зов Ч. [У, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ и тв Аф[ сов А[ + А, сов ф! В[п ф, в[п А ) + 1 1 л-1 и-1 + — ~~~ и[т, в[п ф, ~ и[(т,сов ф,сов А[в ! 1 — т;ф[ в! и ф, сов А! — г[А[ сов ф[в)п А,)— л-1 и-,[ -К;.! и! ° !!К,Л! ьи,+;л, л[~-- '.
1 1 л-1 ~ и,.г?А[сов2 !р,— ! 1 ~ л — 1 л-! ! !Ч~ — — 1 лт и!Г[сов ф[сов А[ ~~! и! (Г[сов ф[ в[п А;— 1 ! т!ф! 21п ф[ 81п А[ + т!А[ сов ф[ сов А[) и-1 л-1 Х ' и[г; совф[в)пА,~ и,(т,совф,совА,— — г,ф,в!и !р[совА,— г,А,сов!р[в1п А[)~=си, и-1 — и, (Р2+ твф2 + твА2 совв ф[)— и-! — — и (т,сов!р.совА,— ! 1=1 — т,ф[в!п!р,совА, — г,А[ сов !р[в!и А[)~ + 1 л-! + ~~~! и[(т[совф[ в)п А, — г ф, в!и ф, в)п А, + 12 +1,А,совф[совА[)~ + рл-! -12л + ~~~~ и!(Г[ в1пф;+ г,ф;совф[)~ ~ =О+ А', 1=! где и†! И=- Х ГПН [М3 ГЛ.
1. УРАВНЕНИЯ дВИжЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ й 1.1Ц 5 1.11. Уравнения движения в полярных координатах Ганзена Назовем полярные координаты у и ну в плоскости оскулирующей орбиты точки Р полярными координатами Ганзена (рис. 62) . Связь между идеальными (см. 5 !.06) и полярными координа- тами Ганзена дается формулами Х = у соз пу, У = у 21'и ну. В полярных координатах у и пу уравнения движения точки Р имеют внд [3] у — уй + . 2 1(пса+ л1) дд 2 ' щ дна — (утш) = —.
(4.1.43) Если обозначить через Ь=гйй='ХУ вЂ” УХ, то второе уравнение (4.1.43) запишется следующим образом: Если ус = О, то уравнения (4.1.43) описывают невозмущенное кеплеровское движение и их общее решение известно (см. ч. 11) . Рнс. 62. Идеальные координаты Ганеева. Пл. ад †основн координатная плоскостьт пл. ху — плоскость оснулирующей орбиты," и — пернпентр оскулирующей орбиты, лд о; хй и; хп уд 1-наклон; хр ы — долтота точка Р в плоскости ху; «о А — долгота точки Р в плоскостк лр; Ро а — юирота точки р; од — линия уалов.
Ч. В. ТЕОРИЯ ВОЗЫУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1$ ьм Зоб Направляющие косинусы ганзеновскай системы координат относительна первоначальной системы Р,хуг находятся из уравнений О1 у ду т, а д«' Р, «дя т2 6 д« а се, р, у, ап йн уи уз определяются пз соотношений (4.1,16), Окончательные формулы для Гелиоцентрпческих прямоугольных координат х, у, г планеты Р имеют вид х = аг соз в + йг В1п в, у = п,г соз в + й,г В1п в, г = а;г соз в + йу В! п в. (4.1.44) Формулы (4.1.44) содержат семь произвольных постоянных, но две из них характеризуют положение аси Р,Х в плоскости аскулирующен орбиты Р,ХУ, поэтому одной из них можно придать фиксированное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
