Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 52
Текст из файла (страница 52)
$ 1.!2. Уравнения Клеро †Лапла Введем вместо Относительных цилиндрических координат рь кь г; новые переменные иь 1,ь з; (переменные Клеро — Лапласа) по формулам 1 г и,= —, йч — — Х, з.= —. р ~ Ю (4.1 45) Еслп в качестве независимой переменной взята одна пз долгот йм то уравнения движения системы в переменных Клеро— Лапласа будут иметь вид (см. [1), [3)) вот ГЛ.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ $ 1.131 Для функций Ус, 51, А1 Клеро н Лапласом выведены фор- мулы У;= —, ', Р,.+и'„—," +Г-'„— (4.1.46) Вспомогательная функция ГА определяется дифференциальным уравнением ЕТ АА à — = —,. сгЛА ил 1(лса+ аг1) и1 чл' Г игсаг(Л1 — Л~) игсаг(Л,. — Л ) (1+ 21) 1 1 исисбгн 'с1+ 21) 2 л-1 2 ( + 21) 1=1 игигбй (1+ 21) ' «-1 и1 иг ~ 1 и~ 1 Л1+2.) 71=— г и1+и1 — Еиги1саг(Л1 — Лг)+(и,.а — и 2,)2 Ац 2 2 ! Если уравнения (4.1,45) проинтегрированы, т. е. иь Ло ес нз. вестны как функции долготы Лм то для нахождения их зависимости от времени 1 следует найти ЛА(1) из уравнения ~ЛА 2 — = иАГм аг (4.1.47) 5 1.13. Общее правило составления канонических уравнений Пусть механическая система, имеющая й степеней свободы, движется в потенциальном поле с силовой функцией У. Тогда ее движения описываются й обобщенными (лагранжевыми) координатами 41, дг, ..., 4» и уравнения Лагранжа второго рода [9] Функции Р,, Ль 2», входящие в соотношения (4.1.46), имеют следующий внд: ч.
»ч. теовия возмзщвнного движения 3 глз для этой механической системы имеют вид — ~ — ) — — = — (1 = 1, 2, ..., й), (4.!.48) д гдТ'~ дТ дУ д2 (,дд ) дд дд где Т вЂ” кинетическая энергия механической системы, Н зависит от Чь Чм * Ч» Система (4.1.48) представляет собой систему й дифференциальных уравнений второго порядка, т.
е. ее общий порядок равен 2А. Различными способами ее можно привести к системе 2й дифференциальных уравнений первого порядка, но наиболее удобной и полезной формой ивляется так называемая каноническая или гамильгонова форма: Изложим правило составления канонических уравнений. Наряду с А обобщенными координатами Чь Ч„..., Ч» введем в рассмотрение й обобщенных импульсов рь р2, ..., Р» по фор- мулам р, = —. (1=1, 2, ..., й). дТ дд» (4.1.49) Переменные Чь Чм ..., Ч», рь рз, ..., Р» называются каноническими.
Разрешая уравнения (4.1.49) относительно обобщенных скоростей Ча получим последние в виде функций обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени 2: 4»=Ч'2(Чо Чм ° ° Ч»1 Рп Рм ° ° ю Р»1 Г) (4.1.50) Составим характеристическую функцию (функцию Гамильтона) Н, равную Н(Ч1 Чь ° . Ч»* Рп Рм ° Рь' ()= ЕР Ч вЂ” Т вЂ” У (41.51) ! ! в которой обобщенные скорости Ч„входящие в первую сумму и в выражение для кинетической энергии, заменены с помощью (4.1.50) . О п р е д ел е н и е.
Канонической, или гимильгоновой, системойй дифференциальных уравнений называется система дГ дО др, дН вЂ” — — — — ((= 1, 2, ..., й). (4.1.52) д2 др, д2 дд, Каноническая система дифференциальных уравнений имеет порядок 2й и эквивалентна системе уравнений Лагранжа зов ГЛ. !. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ В ТЕЛ % !.!А! (4.!.48). Если Н не зависит явно от времени 1, то система (4.1,52) имеет первый интеграл Н(ЧН Чм ..., ЧА; р„р„..., рь)=й, (4.1.5З) называемый интегралом энераии.
В этом случае Н представляет собой полную энергию механической системы, Ь вЂ” произвольная постоянная. Из изложенного правила следует, что движение механической системы может быть описано бесконечным множеством канонических уравнений вида (4.1.52). Все определяется выбором лагранжевых координат Чь Чм ° . - ° ЧА. В 1.14. Первая каноническая форма уравнений абсолютного движения Примем абсолютные прямоугольные координаты 5!, (1= О, 1, ..., л — 1) в качестве лагранжевых координат Ч! (1 = 1, 2,..., Зп), положив Бс=Чзг+!~ г1 =Чз!+и ~!=Чз!+з (1=5, 1,, н — 1), а для масс точек ЄЄ..., Р„! введем обозначения гл! л!з!+ ! я!э!+а л!з!+з (' б 1 ~ " 1) В этих обозначениях кинетическая энергия системы принимает вид ы т= — ~ !и Чз.
1 ч ! е ° я2 )=! Обобщенные импульсы даются равенствами дТ рт —— —. — — и!.Ч, (1 = 1, 2, ..., Зп). дй 1! В канонических переменных Р; и Ч; (мы их называем абсолютными, так как они связаны с абсолютными прямоугольными координатами) уравнения движения системы имеют вид й~~ дН ИР! до — — — — — (1 = 1, 2,..., Зл), ч! др! ' и! дд где гамильтониан равен Н (Р„..., Р,„,. Ч„..., Ч„,) = т(РН ..., Р„) —. и(Ч„..., Ч ), (4.!.54) ч, пс теооия возмэщенного движения $ !.!з з!о причем зл а л-! л-! т= — 'Я вЂ” "., И= — '~„' ~" " ', ! о !=о Ла! (Чза+! !аз!+!) + (а?э!+а а!за+2) + Из!+3 !аз!+3) (а, 1'=О, 1, ..., п — 1).
Система канонических уравнений имеет интегралов. Интегралы движения центра масс: л ! л-! Х Рм+, = ап Е (юя+аЦэ! ь!— !=о а=о л-! л-! Х Рм+а=аа Х (апза+аЧъа+а а=о а-о л-! л-! Х Рм+з = аз,С (гааз;+зЧза+ъ ! Э :=о 10 известных первых !Рл+!) = "! ° 1Раа, а) — Ьа 1рз! зэ) бз Интегралы площадей: л-! Е (Чза+арза+э Во!+эрза+а) а-о л 1 Х Мза+зрза+! Чза+арза+э) а=о л-! Х (Чэа+арза+э Чзг+арз +!) ! о =с„ = са, = сз.
Интеграл энергии: $1.15. Вторая каноническая форма уравнений абсолютного движения Р, = изара, Л, = изара!1«а, Х! = апД (4.1.55) (! =О, 1, ..., п — 1). Примем абсолютные цилиндрические координаты рь Ха, ~! (! = О, 1, ..., п — 1) в качестве лагранжевых координат.
Тогда соответствующие им обобщенные импульсы Ра, Лп Е! выражаются формулами В 1.!5,' ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ в1! В новых переменных уравнения движения имеют вид др дН др Фч дН г!! дЛ! ' ~Щ дН д! дх1 ' (1=0, 1, др дН д! др дА! дН д! дх! д71 дН (4.!.56) д1 дь1 ., л — 1), где т — и, л-1 ' [р1г-+г.г,'~, 1 о л-1 л-1 1-О! О р'+ р' — 2р!р сов ~Л! — Л )+ (~1 — С!)в. Т= и= Лв = л-1 и-1 Х в!и Л! (Р,сов Л,— Л,)=а1, Р1 ) т,р,сов Л, =а!!+ Ь1, 1=О л-1 и-1 сов Л! аР!в!и Лг + Л1)=а„~, т,р, в!и Л,=ав(+Ьв, л-! л-! Х,' ав Х т1Ь! =ав!+Ьв, 1 О гг-1 Х сов Л! '[р1Е1в(п Л! — Ь! (Р! в!НЛ!+ — Л,)1 = с!, 1=о Х в[п Л! [Ь! (Р, сов Л, — — Л,) — Р,Е,сов Л,1г авг 1-О л-1 Л, =сз, 1 О Ц(Р, Л, Е; р, Л, ь) =Ь.
Известные десять перных интегралов системы (4.!.56) имеют вид Ч. ПС ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕННОГО ДВИЖЕНИЯ /$1.1$ й 1.16. Третья каноническая форма уравнений абсолютного движения Рассмотрим в качестве лагранжевых координат абсолютные сферические координаты г/, Ц, /р/ [см. формулы (4.!.32)). Тогда соответствующие им обобщенные импульсы /т/, Ль Ф/ выражаются равенствами = т/!/ = т/г';./1,. соз' /р„ (4.1.57) = /П/Г';.ф, В этих переменных дифференциальные уравнения движения имеют вид ~И/ дН (4.1.58) Гамильтониан задается равенствами Н=Т вЂ” У, т — '~ — (л//-, ', -1 — ",).
л-1 л — 1 и= —,' ~~ч'',) /=О /=О Ло = го + го — 2г г соз у 1/ 1 / / / 1/~ СОБ У// = $1П/Р/ $1П /Р/ + СОБ /Р/ СОБ /р/ СОБ (/О/ — /О/). Так как дифференциальные уравнения (4.1.58) описывают абсолютное движение системы материальных точек, то она имеет дт д/ Л/ = —. да/ дг Ф = —. дф/ (1'=О, дг/ аН д/ =ад/' а%; дН д/ = ад/ а~~р, дН д/ аэ; (1=0, 1, дг дЛ/ дН ац ' И>, дН 1// ..., л — 1).
$1.1Г! ГЛ. 1. ГЕХВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗЛДЛЧИ и ТЕЛ З1З десять известных первых интегралов: и-1 Х Мо ф, соз Л! 010 Л, (Я! сов !р! сов Л! — Фс — — Л!) г! ! гс сои!О! ! О и 1 1 0 ! и-1 ~~~, ~!2!5!пф!+, ' Ф!) ! О =а„ и-1 !л,г,совф,сов Л, =а!1+Ь„ Й и-! ~, лз!г! сов ф, в!о Л, =' а ! + Ьги и-1 х' лз!г15!пф! = 1+ Ь, 1=0 (Ф, 5!и Л, — Л,1и ф! сов Л!) = 01, 1=0 и-! (Ф! сов Л! + Л 121Р! сов Л!) = — 00, и-1 ~„Л! = ом 1=0 из! гз созз !р! l и-1 й 1.17. Первая каноническая форма уравнений относительного движения Тогда кинетическая энергия системы будет равна з,-з и ! ч! ° с! т =з ~Р!4! 1 1 Примем координаты Якоби хи уи зс (! =!, 2, ..., л — 1) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
